平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的歸類(lèi)解法與技巧

胡道成

(貴州省畢節(jié)第三實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

平拋運(yùn)動(dòng)是一種重要的曲線運(yùn)動(dòng),解決平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是在“化曲為直”思想的指導(dǎo)下,將平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),是“合成與分解法”這一重要物理方法的具體應(yīng)用。平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題與生產(chǎn)生活和現(xiàn)代科技結(jié)合得非常緊密,能夠承載“情境問(wèn)題”,內(nèi)容還涉及牛頓運(yùn)動(dòng)定律及“等效思想”的應(yīng)用,對(duì)考查學(xué)生的理解能力、推理論證能力、模型建構(gòu)能力和“能量觀念”具有不可替代性,也就成了高考命題的熱點(diǎn)。做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中往往會(huì)受到幾何條件的約束,因此,解題策略上要按落點(diǎn)情況進(jìn)行歸類(lèi),解題方法上要以“速度正交分解法或位移正交分解法”為突破口,解題技巧上要以求時(shí)間為橋梁,結(jié)合等時(shí)性、三角函數(shù)關(guān)系、勾股定理、相似三角形等知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題,形成結(jié)構(gòu)化、程序化的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系至關(guān)重要。

一、物體落點(diǎn)在豎直面上,水平位移決定時(shí)間

【例1】如圖1所示,玩具射擊槍水平放置,槍與目標(biāo)靶中心位于離地面足夠高的同一水平線上,槍口與目標(biāo)靶之間的距離為x=100 m,子彈射出的水平速度v0=100 m/s,子彈從槍口射出的瞬間目標(biāo)靶由靜止開(kāi)始釋放,不計(jì)空氣阻力,重力加速度g=10 m/s2。

圖1

(1)求子彈從射出到擊中目標(biāo)靶的時(shí)間t;

(2)求目標(biāo)靶從釋放到被子彈擊中下落的高度h。

【點(diǎn)評(píng)】解題過(guò)程就是尋找等量關(guān)系的過(guò)程,本題中子彈恰好擊中目標(biāo)靶,說(shuō)明子彈和目標(biāo)靶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間上相等,空間上下落高度相等,據(jù)此列出等式即可求解。

二、物體落點(diǎn)在水平地面上,豎直位移決定時(shí)間

【例2】如圖2所示,x軸在水平地面上,y軸在豎直方向。圖中畫(huà)出了從y軸上不同位置沿x軸正向水平拋出的三個(gè)小球a、b和c的運(yùn)動(dòng)軌跡,小球a從(0,2L)拋出,落在(2L,0)處;小球b、c均從(0,L)拋出,分別落在(2L,0)和(L,0)處。不計(jì)空氣阻力,下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖2

A.a和b的初速度相同

B.b和c的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同

C.b的初速度是c的2倍

D.a的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是b的2倍

【答案】BC

三、物體垂直打在斜面上,分解速度突破

【例3】如圖3所示,長(zhǎng)木板OA的傾角θ=30°,在O點(diǎn)正上方的P處水平拋出一個(gè)小球,結(jié)果小球恰好垂直打在板面上距離O點(diǎn)為L(zhǎng)的B點(diǎn)。重力加速度大小為g,空氣阻力忽略不計(jì)。下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖3

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于物體垂直打在斜面上的情形,分解末速度是解題突破口。本題未給出初速度,先由幾何關(guān)系找出小球水平位移和豎直位移,通過(guò)分解小球在B點(diǎn)的速度,根據(jù)幾何關(guān)系找出小球初速度與時(shí)間的關(guān)系即可求出時(shí)間,以此為橋梁又可求出小球打在B點(diǎn)的速度,再由幾何關(guān)系求出O、P兩點(diǎn)間的距離。

四、物體從斜面頂端拋出落到斜面上,分解位移突破

【例4】高山滑雪是2022年北京冬奧會(huì)的比賽項(xiàng)目之一。如圖4所示,假設(shè)兩名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員a、b(均可視為質(zhì)點(diǎn))從雪道末端先后以初速度之比va∶vb=1∶3沿水平方向向左飛出,不計(jì)空氣阻力,兩名運(yùn)動(dòng)員從飛出至落到雪坡上的整個(gè)過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖4

A.他們飛行的時(shí)間之比為3∶1

B.他們的水平位移之比為1∶3

C.他們落到雪坡上的瞬時(shí)速度方向不相同

D.他們?cè)诳罩须x雪坡的最大距離之比為1∶9

【答案】D

圖5

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于滑雪這類(lèi)體育運(yùn)動(dòng)中的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,構(gòu)建平拋運(yùn)動(dòng)模型往往是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。本題中的運(yùn)動(dòng)員從雪坡上端水平飛出后落到雪坡上,識(shí)別出“斜面+平拋運(yùn)動(dòng)”模型后,通過(guò)分解位移就能找到求解時(shí)間的突破口,進(jìn)而結(jié)合幾何關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行解答;對(duì)于“求物體離斜面的最大距離”的問(wèn)題,則用“物體垂直于斜面方向上的分速度為零時(shí),物體離斜面的距離最大”來(lái)解決。

五、物體落點(diǎn)在曲面凹側(cè)或凸側(cè),軌跡與曲面相切,通過(guò)“角度關(guān)系”來(lái)突破

物體落在曲面凹側(cè)或凸側(cè),并與曲面相切的問(wèn)題,解題的突破口在于充分利用末速度與曲面相切的特點(diǎn),分解末速度,再用豎直速度求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間,往往問(wèn)題就能迎刃而解;對(duì)于末速度與曲面不相切的問(wèn)題,則要用分解位移的方法來(lái)求解;對(duì)于物體平行于斜面方向進(jìn)入斜面上的問(wèn)題,也是根據(jù)瞬時(shí)速度方向與斜面方向平行的幾何關(guān)系,通過(guò)分解速度來(lái)進(jìn)行求解。

【例5】如圖6所示,圓弧形凹槽固定在水平地面上,其中ABC是位于豎直平面內(nèi)以O(shè)為圓心的一段圓弧,OA與豎直方向的夾角為α,一小球以速度v0從桌面邊緣P水平拋出,恰好從A點(diǎn)沿圓弧的切線方向進(jìn)入凹槽。小球從P到A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)_______,直線PA與豎直方向的夾角β為_(kāi)_______。

圖6

【點(diǎn)評(píng)】本題的解答過(guò)程中,抓住小球沿切線方向進(jìn)入曲面這個(gè)條件,通過(guò)連接落點(diǎn)和圓心,由幾何關(guān)系找出分解速度所需的角度,利用三角函數(shù)關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間,然后分解位移來(lái)尋找位移偏向角與速度偏向角之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得以解決。對(duì)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)與曲面不相切的問(wèn)題,則需要分解位移,且落入曲面高度相同的情況下,可能會(huì)有兩個(gè)不同的水平位移,需要注意多解問(wèn)題。

【例6】如圖7所示,ab為豎直平面內(nèi)的半圓環(huán)acb的直徑,c為環(huán)上的最低點(diǎn),環(huán)半徑為R。將一個(gè)小球從a點(diǎn)以初速度v0沿ab方向拋出,重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力。則 ( )

圖7

C.當(dāng)小球的初速度v0取適當(dāng)值時(shí),小球可以垂直撞擊圓環(huán)

D.小球的初速度v0不同,撞擊到環(huán)上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能相同

【答案】AD

六、物體落在邊界范圍內(nèi)的臨界問(wèn)題,求時(shí)間突破

平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題主要是球類(lèi)不觸網(wǎng)也不出界問(wèn)題、小物體落入容器問(wèn)題或穿越矩形孔問(wèn)題之類(lèi)的“受限”問(wèn)題,解決問(wèn)題的基本思路是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為物理模型,利用平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡,根據(jù)幾何關(guān)系尋找水平速度、豎直速度、水平位移、豎直位移等臨界條件,結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法和基本規(guī)律進(jìn)行求解。

【例7】乒乓球發(fā)球機(jī)是一個(gè)很好的輔助練習(xí)者練球的工具。如圖8所示的乒乓球桌面ABCD的AB邊長(zhǎng)為L(zhǎng)1,BC邊長(zhǎng)為L(zhǎng)2,球網(wǎng)GIJK豎直放置于桌面的正中間,網(wǎng)高為h;發(fā)球機(jī)簡(jiǎn)化為EF,其中E點(diǎn)固定在AB邊的中點(diǎn),F點(diǎn)為乒乓球發(fā)射點(diǎn),EF始終保持豎直,高度為H(可調(diào))。乒乓球看成質(zhì)點(diǎn),每次均從F點(diǎn)水平發(fā)射,發(fā)射方向可以在水平面內(nèi)任意調(diào)整,不計(jì)空氣阻力和周?chē)h(huán)境對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的影響,也不考慮乒乓球旋轉(zhuǎn),當(dāng)球擦網(wǎng)而過(guò)時(shí),則下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖8

C.只要H大于h,就一定能設(shè)置合適的發(fā)球速率,使球落在JKCD區(qū)域內(nèi)

D.若球以垂直于AB邊的方向發(fā)射能夠擦網(wǎng)而過(guò)后直接落到CD邊界上,則適當(dāng)調(diào)整發(fā)射速度后,只要是落在CD邊界上的球一定是擦網(wǎng)而過(guò)的

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】由于高度決定了時(shí)間,水平位移由初速度和高度決定,因而乒乓球可能會(huì)出現(xiàn)恰好過(guò)網(wǎng)或恰好不出界的臨界狀態(tài)。解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)：一是發(fā)球速率較小時(shí),乒乓球剛好沿中心線擦著球網(wǎng)上邊緣而落到球網(wǎng)右側(cè)桌面上;二是發(fā)球速率較大時(shí),乒乓球剛能落在球網(wǎng)右側(cè)桌面上,且落點(diǎn)在桌角處。處理這類(lèi)臨界問(wèn)題需要認(rèn)真觀察具體情境,充分發(fā)揮空間想象能力,學(xué)會(huì)換個(gè)視角看情境(側(cè)視、俯視),順利識(shí)別出情境中的物理模型至關(guān)重要。

七、物體落在圓盤(pán)上的組合問(wèn)題,求時(shí)間突破

做平拋運(yùn)動(dòng)的物體落在做圓周運(yùn)動(dòng)的物體上這類(lèi)組合問(wèn)題,需要利用豎直位移決定時(shí)間,求出時(shí)間作為解題的紐帶,將水平位移與落點(diǎn)的半徑聯(lián)系起來(lái),要注意的是圓周運(yùn)動(dòng)的周期性運(yùn)動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)多解。

【例8】如圖9所示,M是水平放置的半徑足夠大的圓盤(pán),繞過(guò)其上表面圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng),以經(jīng)過(guò)圓心O水平向右的方向作為x軸的正方向。在O正上方距盤(pán)面h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器,該容器從t=0時(shí)刻開(kāi)始隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度大小為v。已知容器在t=0時(shí)滴下第一滴水,以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤(pán)面上時(shí)再滴一滴水。

圖9

(1)每一滴水經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間落到盤(pán)面上;

(2)要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上,求圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω;

(3)求第二滴水與第三滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)間的最大距離s。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的組合問(wèn)題,解題突破口都是用時(shí)間作為橋梁,需要用“側(cè)視”和“俯視”來(lái)觀察兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的具體情景,注意周期性導(dǎo)致的多解,尤其要弄清待求量是圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)nπ還是2nπ的情形,還要確定n的取值范圍;若涉及極值問(wèn)題,則尋找極值條件是個(gè)難點(diǎn),要善于畫(huà)出示意圖來(lái)分析。

八、物體落在“函數(shù)面”上,用曲線方程突破

平拋運(yùn)動(dòng)物體與圓面、橢圓面、拋物面等的“邂逅”問(wèn)題,拋體運(yùn)動(dòng)的落點(diǎn)位置必然與這些曲面對(duì)應(yīng)的函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系,落點(diǎn)的位置坐標(biāo)一定滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)的曲線方程,且落點(diǎn)與拋出點(diǎn)之間的水平和豎直位移又滿(mǎn)足平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律,實(shí)現(xiàn)了物理規(guī)律與曲線方程、數(shù)學(xué)方法的完美組合。

【例9】如圖10所示,一個(gè)質(zhì)量為0.4 kg的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以v0=1 m/s的初速度從水平臺(tái)上的O點(diǎn)水平飛出,擊中平臺(tái)右下側(cè)擋板上的P點(diǎn)。現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)在豎直面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,擋板的形狀符合方程y=x2-6(單位：m)的曲線,不計(jì)一切摩擦和空氣阻力,重力加速度g=10 m/s2,則下列說(shuō)法正確的是 ( )

圖10

A.小物塊從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間為1 s

B.小物塊剛到P點(diǎn)時(shí)瞬時(shí)速度方向與水平方向夾角的正切值等于5

C.小物塊剛到P點(diǎn)時(shí)速度大小為10 m/s

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】處理平拋運(yùn)動(dòng)物體與圓面、橢圓面、拋物面等“函數(shù)面”結(jié)合的問(wèn)題,抓住拋體運(yùn)動(dòng)的落點(diǎn)位置坐標(biāo)一定滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)的曲線方程,且拋體(質(zhì)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)過(guò)程也滿(mǎn)足平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律,結(jié)合起來(lái)就能找到解決問(wèn)題的方法。值得一提的是有些問(wèn)題里的“拋出點(diǎn)”與函數(shù)方程的“原點(diǎn)”并不重合,這時(shí)還要將落點(diǎn)的位置坐標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)變換才滿(mǎn)足曲線方程,代入數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)要倍加小心。