掌握物理核心概念“壓強”突破“固體切割疊加”問題

楊莉 常超 牟銀勇

摘 ?要：以初中物理階段的典型試題為素材，對以考查壓強知識為載體的“固體切割疊加”情境類試題進行分類，按照不同類型總結(jié)歸納“切割”“疊加”和“切割疊加組合”三種典型情境的解題思路，并以重慶市2020年、2021年和2022年近三年中考試卷中相關(guān)的真題為例，梳理解題思路，展示固體切割疊加問題的解析過程。

關(guān)鍵詞：壓強；固體切割疊加；重慶市；中考試題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2023）7-0040-6

1 ? ?問題來源

課標對壓強部分的內(nèi)容要求是通過實驗，理解壓強；知道增大和減小壓強的方法，并了解其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用［１］。課標對“壓強表示壓力作用效果”“壓強指單位面積上受到的壓力大小”等概念內(nèi)容的要求是“理解”層次，可見壓強內(nèi)容在初中物理階段中的重要性。重慶近年中考題都涉及到以固體的切割和疊加為情境的壓強考查，考查的題型主要有選擇題、填空題和計算題，且都集中在各類題型的最后一題處，分值在2分至6分不等，可見切割疊加模型的分析在中考中的重要地位。切割疊加模型往往組合考查，受力面積和壓力大小都會發(fā)生變化，以“壓力”“重力”“壓強”“高度”等各種物理概念呈現(xiàn)題干，結(jié)合圖像和數(shù)值計算或比值運算，要求學(xué)生讀懂情境豐富的題目，掌握準確的物理概念，進行精準快速的運算，考查學(xué)生的綜合能力，難度較大。故以典型試題為素材，對切割疊加類問題進行分類，歸納總結(jié)解決固體切割疊加類問題的思路方法，再以重慶市2020年、2021年和2022年三年中考試卷中相關(guān)的真題為例，展示固體切割疊加問題的解析過程。

2 ? ?結(jié)合壓強的切割疊加問題的基本類型

這類試題常以固體壓強為考點，按照固體切割類型、重疊類型、切割重疊組合類型可分成三大類，各自繼續(xù)細分，呈現(xiàn)常見的情境和對應(yīng)的試題描述，如表1所示。

3 ? ?結(jié)合壓強的切割疊加問題的解題思路

分析引起壓強變化的原因，需充分理解壓強的核心概念。根據(jù)壓強的定義可知，無外乎是改變其壓力大小和受力面積大小兩種類型導(dǎo)致，所以分析的重心始終是各類情境下壓力和受力面積的比值如何變化［２］。合理利用題干中的已知情境，例如初始狀態(tài)兩個物體的壓強相等，高度和面積可通過圖像直接看出，則應(yīng)直接使用壓強定義的變形式F=pS分析出兩個物體的壓力關(guān)系，進而分析出二者的重力和質(zhì)量關(guān)系；同時把握柱形固體的特點，用p=F/S公式可導(dǎo)出柱形固體的壓強還可以用p=ρgh進行求解，從而分析出二者的密度關(guān)系。反之，若是初始狀態(tài)已知二者的壓力關(guān)系，則用逆向思維將上述公式進行變形反推即可。具體分類總結(jié)如表1所示。

3.1 ? ?固體切割類型引起的壓強變化

（1）判斷：對于固體的切割類型，首先判斷是豎向切割還是橫向切割。

（2）豎向切割：無論是二者切去相同質(zhì)量或相同體積還是相同厚度，壓力和受力面積均會隨之發(fā)生改變，但壓力和受力面積的比值相同。無論使用定義式F=pS或柱形固體適用的導(dǎo)出式p=ρgh，均可分析出豎向切割不影響物體對地面的壓強值（未全部切完的情況下）。

（3）橫向切割：橫向切割題目情境需要具體分類，在比較剩余部分對地面的壓強時，往往會陷入矛盾境地，例如圖1中甲、乙兩物體最初對地面壓力相同，則可知ρ<ρ，切去相同高度時，對于剩余部分甲的高度雖大但密度小，利用常規(guī)思路p=ρgh分析發(fā)現(xiàn)無法比較二者剩余部分對地面的壓強大小。故在橫向切割情境下，對于切去相同高度往往使用公式Δp=ρgΔh分析出變化量，再用p'=p-Δp即原壓強減去壓強變化量比較兩個剩余部分對地面的壓強；對于切去相同質(zhì)量等效于壓力變化量相同，則往往使用公式Δp=ΔF/S分析出變化量，再用p'=p-Δp比較剩余部分對地面的壓強；而對于切去相同體積則需要結(jié)合到兩個物體的面積關(guān)系，將體積關(guān)系轉(zhuǎn)化為高度關(guān)系或者壓力關(guān)系，再按上述“切高度”或者“切質(zhì)量”的思路繼續(xù)求解。綜上，切割類型引起壓強變化的具體解題思路如圖6所示。

3.2 ? ?固體疊加類型引起的壓強變化

（1）判斷：當兩個底面積不同的物體重疊在一起后，新的整體就不再是上下底面積一樣的柱形固體了，故推導(dǎo)式p=ρgh就不再適用。因此，對于疊加類型求解壓強只能用壓強的定義式p=F/S進行求解。對于固體疊加類問題，首先判斷是上小下大還是上大下小類型，不同的類型對應(yīng)的壓力和受力面積不同。

（2）對照：充分理解壓強定義中涉及到的壓力和受力面積兩個核心概念，對平衡物體進行平衡狀態(tài)下的受力分析很關(guān)鍵。對于上方物體，支持力與重力二力平衡，故它對下方物體的壓力大小等于自身重力；下方物體靜止時受到自身重力、上方物體施加的壓力（數(shù)值上等于上方物體的重力）、地面施加的支持力，故它對地面的壓力就等于兩個物體的重力之和，受力面積是指壓力真正作用的面積。以圖2和圖3的情境為例，固體疊加類型的具體解題思路如圖7所示，其關(guān)鍵在于找準所求物理量對應(yīng)的壓力值及其對應(yīng)的受力面積。

3.3 ? ?固體切割疊加組合類型引起壓強變化

（1）判斷：對于切割疊加模型，首先判斷是一方被切割，然后將切下部分直接疊至對方的單向疊加類型；還是雙方都被切割，然后將各自切下部分互相疊放于對方的剩余部分的雙向疊加類型。

（2）單向疊加：單向疊加情境下，對于單方被切的物體，根據(jù)題目橫切還是豎切，回到上述基本的切割類型解題思路；對于單向被疊加的物體，回到上述基本的疊加類型解題思路。

（3）雙向疊加：對于兩個物體都被切割，同時將切割下來的部分疊加至對方剩余部分上，情境是最復(fù)雜的。如果是豎直切割，則被切割的物體壓力和受力面積都會發(fā)生變化，但由于是等比例變化，故一般設(shè)未知數(shù)表示被切下的比例，則壓力和面積都可以用同一個未知數(shù)進行表達，更便于計算；如果是橫向切割，則受力面積不發(fā)生改變，只有壓力發(fā)生改變，此時設(shè)切去部分的壓力或者比例為未知數(shù)都可以。固體切割疊加組合類型的具體解題思路如圖8所示，對于該類型，其題目呈現(xiàn)形式無論是圖像還是比值，其解題技巧幾乎都是方程思想。

4 ? ?重慶中考固體切割疊加類試題解析

按照上述解題思路，以重慶市近三年來的中考真題中切割疊加類問題為例，展示固體切割疊加問題的具體解題思路和解析過程。

例1 （2022年A卷第8題） A，B兩個質(zhì)量均勻的正方體放在水平地面上，如圖9甲所示，B的邊長是A的2倍，將A沿豎直方向切去寬為L的部分，把切去部分疊放在B上，B對地面的壓強pB與L的變化關(guān)系如圖9乙所示。切割后，A剩余部分對地的壓強為pA，則以下分析正確的是（ ? ）

A. B的重力是50 N

B. L=2.5 cm時，pA：pB=16：21

C. B的底面積為100 cm2

D. A切去一半后，pA=2 000 Pa

解題思路 該模型屬于上述的切割疊加組合類型中的單向切割，A被切割，B被疊加。具體來說A是被豎直切割，則其剩余部分對地面的壓強始終不發(fā)生變化；B被疊加后對地面的壓力變成兩部分重力之和，受力面積不發(fā)生改變。結(jié)合圖像兩個特殊點，起始點是A未被切割狀態(tài)，終止點是A全部被切割，通過特殊點分析二者的其他物理量。

解析 由圖可知，lA=10 cm，lB=2lA=20 cm，SA=l=100 cm2，SB=l=400 cm2，故GB=pBSB=5×103 Pa×4×10-2 m2=200 N，GA=△F=△pBSB=1×103 Pa×4×10-2 m2=40 N，則p'A=pA=FA/SA=GA/SA=4 000 Pa；當A被切去2.5 cm時，根據(jù)長度比值知切去部分占A的1/4，故p'B=（GA+GB）/SB=（10 N+200 N）/4×10-2 m2=5 250 Pa，p'A：p'B=16：21。

答案：B。

例2 （2022年B卷第8題） 有A，B兩個均勻?qū)嵭膱A柱體，A的高為5 cm、底面積為20 cm2，B的高為8 cm、底面積為50 cm2。若將它們按圖10甲、乙的方式放在水平桌面上，A對桌面的壓強為p1=1×103 Pa，B對桌面的壓強為p2；若按圖丙的方式放置時，B對A的壓強為p3=6×103 Pa，A對桌面的壓強變?yōu)閜4。下列判斷正確的是（ ? ?）

A. A的重力是20 N

B. B的密度為3.0 g/cm3

C. p3：p2=2：5

D. p4=1.6×104 Pa

解題思路 該模型屬于上述疊加類型中的上大下小情境。p1和p2是二者單獨放置時的對地壓強，求解方法是用各自的重力大小除以底面積即可；上大下小重疊后，B對A的壓強p3和A對地的壓強p4的受力面積相同，都應(yīng)取SA，二者壓力大小不同，前者壓力大小等于B的重力大小，后者壓力大小等于A，B的重力大小之和。

解析 單獨放置時GA=FA=p1SA=1×103 Pa×2×10-3 m2=2 N，GB=FB=p3SA=6×103 Pa×2×10-3 m2=12 N，同時VB=SBhB=400 cm3，故ρB=GB /gVB=1 200 g/400 cm3=3 g/cm3；因為p2=FB/SB=GB/SB=2 400 Pa，故p3：p2=

5：2；p4=F'/SA=（GA+GB）/SA=（2 N+12 N）/2×10-3 m2=7 000 Pa。

答案：B。

例3 （2021年A卷第13題） 如圖11所示，ABC是以O(shè)為支點的輕質(zhì)杠桿，AB=40 cm，OB=30 cm，OC=60 cm，水平地面上的實心均勻正方體物塊M重為80 N，用細線與C點相連，在A點用60 N的力沿某方向拉杠桿，使M對地面的壓力最小，且杠桿處于水平位置平衡，此時細線的拉力為 ? ? ? ? ? ? ? N；保持A點的拉力大小和方向以及杠桿的狀態(tài)不變，要使M對地面的壓強變?yōu)樵瓉淼?/15，可將物塊M沿豎直方向切去的質(zhì)量為 ? ? ? ? ? ? ? kg（忽略支點處的摩擦）。

解題思路 此題考查內(nèi)容是杠桿結(jié)合壓強，綜合切割類型的情境，比較新穎。首先結(jié)合杠桿知識，動力大小和阻力臂不變情況下，動力臂最長時，阻力最大，此時M對地面的壓力最小，根據(jù)此時的壓力和物體底面積求出此時對地的壓強值。第二問為豎切類型，但有所不同的是拉力保持不變的情況下，壓力和受力面積不再成比例變化，故該模型屬于切割和重疊組合的模型，只是“疊加”的是一個恒定向上的拉力而不是向下的壓力。但重力和受力面積依舊是比例變化，故可根據(jù)比值建立方程思想。

解析 由勾股定理得，OA=50 cm，由杠桿平衡條件F1l1=F2l2得知，60 N×50 cm=F×60 cm，解得F=50 N。對物體進行受力分析，得出地面對物體的支持力F=G-F=30 N。設(shè)切去后剩余部分占物體的n倍，n為分數(shù)，同時由于底面積未知，設(shè)物體底面積為S，則根據(jù)前后壓強關(guān)系p'=8p/15，建立方程：=×，約掉方程兩邊的S，代入重力和拉力的數(shù)值，解出n=25/32，則切去部分占比為7/32，乘以總質(zhì)量8 kg，得出切去1.75 kg的質(zhì)量。

答案：50；1.75。

例4 （2021年B卷第8題）如圖12所示，質(zhì)量分布均勻的甲、乙兩個正方體疊放在水平地面上，甲放在乙的中央。若乙的邊長是甲的2倍，甲對乙的壓強與乙對地面的壓強相等。將它們分別放入足夠多的水中靜止時上下表面都處于水平位置，正方體乙漂浮且有3/10的體積浸入水中，下列判斷正確的是（）

解題思路 此題是浮力結(jié)合壓強，綜合上小下大的重疊類型的情境，比較新穎。首先根據(jù)邊長關(guān)系可找出二者面積和體積關(guān)系，同時結(jié)合重疊模型的兩個壓強，可以逆推出兩個物體間的重力關(guān)系。當重力和體積已知后，可求出密度和兩個物體置于水中的浮沉情況，從而對浮力進行求解。

例5 （2020年B卷第12題） 甲、乙為兩個質(zhì)量分布均勻的實心圓柱體，放置在水平桌面上，沿水平方向切去上部分，剩余部分對桌面的壓強p與切去部分高度h的關(guān)系如圖13所示，已知甲的密度為4.0×103 kg/m3，則圓柱體甲的高度為

cm。當切去的高度為12 cm，將各自切去部分放置在另一個圓柱體的剩余部分的上表面時，甲剩余部分和乙切去部分的組合體對桌面的壓強為p1，乙剩余部分和甲切去部分的組合體對桌面的壓強為p2，且p1：p2=3：2，則甲、乙圓柱體的底面積之比為 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解題思路 ?首先判斷該題型是以壓強為考點，以切割重疊中的雙向疊加為情境，由于題干的呈現(xiàn)方式是圖像，將題目的難度再次拔高。先找到圖像中的特殊點，當甲、乙未被切割時，各自自然放置對地面的壓強已知，結(jié)合乙最終被切完的總高度已知，甲的密度已知，可利用柱形固體壓強推導(dǎo)式p=ρgh，分析出甲的總高度和乙的密度值。當切去的高度已知并交換疊加后，只能用總壓力除以總面積的思路建立方程，其中切去的高度會改變各自的重力，可以用切去部分比值表示，減少方程的計算量。

5 ? ?結(jié)束語

當掌握好壓強的核心概念后，就能基于概念視角準確找到特定壓強對應(yīng)的“壓力”“受力面積”，同時需要根據(jù)題意判斷屬于哪類的切割疊加問題，并充分理解上述的基本解題思路，以壓強為核心考點、以切割疊加為情境的題型便能迎刃而解。在創(chuàng)新題型中，切割疊加類型可以結(jié)合到浮力或者杠桿等相關(guān)力學(xué)知識求解，情境多變，更要求學(xué)生能夠掌握力學(xué)概念的核心要義，配合嚴密的受力分析，方能抓住內(nèi)核以不變應(yīng)萬變。這也要求教師在日常教學(xué)中，重視物理最基礎(chǔ)的概念教學(xué)和對學(xué)生分析能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從各類題型中抽象出關(guān)鍵模型，發(fā)展科學(xué)思維和物理核心素養(yǎng)；同時教師也需要多提煉和反思總結(jié)，方能授學(xué)生以“漁”，更好地實現(xiàn)師生關(guān)系的教學(xué)相長。

參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育物理課程標準（２０２２年版）［Ｓ］．北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２．

［２］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．義務(wù)教育教科書物理八年級下冊教師教學(xué)用書［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１６．

（欄目編輯 ? ?陳 ?潔）