從“相對(duì)誤差”談收尾速度的合理性設(shè)問(wèn)

華星亮 曾長(zhǎng)興

摘 ? 要：針對(duì)一道電磁感應(yīng)中導(dǎo)體棒切割磁感線平動(dòng)時(shí)的收尾速度題目出現(xiàn)的科學(xué)性錯(cuò)誤，給出了用相對(duì)誤差在解決數(shù)據(jù)不自洽時(shí)的修改建議，為科學(xué)命制此類試題提供參考。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；導(dǎo)體棒；收尾速度；相對(duì)誤差

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2023）7-0056-4

電磁感應(yīng)在高中物理中占有非常重要的地位，其中導(dǎo)體棒切割磁感線平動(dòng)的收尾速度問(wèn)題更為常見(jiàn)。該類問(wèn)題常涉及以下兩種情境：一是在恒定外力作用下，導(dǎo)體棒切割磁感線平動(dòng)并逐漸加速，最終勻速運(yùn)動(dòng)；另一種是在安培力和其他阻力作用下，導(dǎo)體棒切割磁感線平動(dòng)并逐漸減速，最終速度為零。由于所用知識(shí)超出高中物理范疇，命題者在設(shè)計(jì)具體數(shù)據(jù)時(shí)，某些數(shù)據(jù)可能不自洽，從而導(dǎo)致試題已知條件和結(jié)論存在多處矛盾。

在物理實(shí)驗(yàn)中，相對(duì)誤差等于測(cè)量值與真實(shí)值之差的百分比，可表示為

在沒(méi)有其他阻力時(shí)，導(dǎo)體棒切割磁感線達(dá)到收尾速度的理論時(shí)間和理論位移都是無(wú)窮大。考慮實(shí)際應(yīng)用的需要，設(shè)單棒初速度為v0，收尾速度為vm，t時(shí)刻的速度為vt，借用相對(duì)誤差的概念，設(shè)k=，用k描述t時(shí)刻單棒速度vt接近收尾速度vm的程度，vt越接近vm，則k值越小。本文借助高等數(shù)學(xué)工具，結(jié)合k值對(duì)該類情境中出現(xiàn)的自洽性問(wèn)題進(jìn)行較為深入的定量分析，并對(duì)已知條件進(jìn)行剖析與修正。

1 ? ?恒定外力作用下導(dǎo)體棒變加速問(wèn)題

1.1 ? ?題型示例

例1 如圖1所示，足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ豎直放置，其寬度L=1 m，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過(guò)導(dǎo)軌平面，導(dǎo)軌的上端M與P之間連接阻值R=0.40 Ω的電阻，質(zhì)量m=0.01 kg、電阻r=0.30 Ω的金屬棒ab緊貼在導(dǎo)軌上?，F(xiàn)使金屬棒ab由靜止開始下滑，下滑過(guò)程中ab始終保持水平，且與導(dǎo)軌接觸良好，其下滑距離x與時(shí)間t的關(guān)系如圖2所示，圖中的OA段為曲線，AB段為直線，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g取10 m/s2（忽略ab棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)原磁場(chǎng)的影響）。求：

（1）判斷金屬棒兩端a，b的電勢(shì)高低；

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

（3）在金屬棒ab從開始運(yùn)動(dòng)的1.5 s內(nèi)，內(nèi)阻R上產(chǎn)生的熱量。

1.2 ? ?情境質(zhì)疑

從圖2可知1.5 s后金屬棒達(dá)到最大速度7 m/s。根據(jù)題中條件，易得B=0.1 T。那么，金屬棒運(yùn)動(dòng)1.5 s后是否下滑距離為7 m，此時(shí)是否恰好勻速下滑，題目中設(shè)置的時(shí)間、速度、位移等數(shù)據(jù)是否自洽？

類似情境如圖3和圖4所示。圖3中金屬棒沿光滑（或粗糙）平行的傾斜金屬導(dǎo)軌以一定的初速度開始下滑，圖4中金屬棒在恒定拉力F作用下沿光滑（或粗糙）平行的水平金屬導(dǎo)軌以一定的初速度開始向右運(yùn)動(dòng)。這類情境若是給出具體數(shù)據(jù)要求學(xué)生計(jì)算，命題者一定要先論證這些數(shù)據(jù)是否自洽，是否符合實(shí)際。

1.3 ? ?模型論證

為得出問(wèn)題的通解，不妨設(shè)此類問(wèn)題的總電阻皆為R+r，全程存在的恒定動(dòng)力為F0（如重力、重力沿斜面分力、恒定拉力），初速度為v0，最終收尾速度為vm，t時(shí)刻的速度為vt，并令t0=（t0表示僅在F0作用下金屬棒從0加速到vm的時(shí)間）。根據(jù)平衡條件，有

上式表明，t越大，x越大，若t趨近無(wú)限大時(shí)vt才能認(rèn)為達(dá)到vm，則相應(yīng)的x也必須無(wú)限長(zhǎng)。若以k≤0.03近似認(rèn)為金屬棒已經(jīng)達(dá)到收尾速度，則t可取3.5t0，將t=3.5t0代入（10）式即可求得金屬棒近似達(dá)到收尾速度時(shí)的位移。

1.4 ? ?情境優(yōu)化

結(jié)合例1的條件，代入數(shù)據(jù)，可知t0=0.7 s，要近似認(rèn)為金屬棒做勻速運(yùn)動(dòng)，至少需要t=3.5t0=2.45 s。若將t=2.45 s代入（10）式，可得x≈12.4 m，在此之后，可近似認(rèn)為金屬棒已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，x-t圖像才是一條傾斜的直線。由以上分析可知，例1圖2中時(shí)間1.5 s可改為2.45 s，對(duì)應(yīng)的位移7.0 m則可改為12.4 m，相應(yīng)地可將時(shí)間2.1 s改為2.95 s，位移11.2 m改為15.9 m；第（3）問(wèn)中的時(shí)間1.5 s改為2.45 s。

此分析也可拓展到其他阻力與速度成正比、最后勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型中，如雨滴從靜止開始下落直至收尾速度，金屬小球從靜止開始豎直落入水中直至收尾速度等。

2 ? ?恒定阻力作用下導(dǎo)體棒變減速問(wèn)題

2.1 ? ?題型示例

例2 某電磁阻尼減速裝置的簡(jiǎn)易原理如圖5所示，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌傾角為30°，導(dǎo)軌間距L=1 m，上端連接阻值R=1 Ω的定值電阻，整個(gè)裝置放在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2 T，質(zhì)量m=1 kg的金屬棒在金屬導(dǎo)軌上與導(dǎo)軌接觸良好，以v0=10 m/s的初速度沖上導(dǎo)軌平面，運(yùn)動(dòng)位移x=1 m時(shí)速度剛好減為零并立即鎖定。導(dǎo)軌和金屬棒的電阻均忽略不計(jì)，取g=10 m/s2。求上升全過(guò)程中：

（1）金屬棒加速度a的最大值；

（2）流過(guò)定值電阻的電荷量q；

（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t。

2.2 ? ?情境質(zhì)疑

金屬棒在安培力作用下，加速度、速度、位移等物理量相互制約，題目中給出的信息“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導(dǎo)軌平面，運(yùn)動(dòng)位移x=1 m時(shí)速度剛好減為零”，題目中設(shè)置的位移、速度等數(shù)據(jù)是否自洽？

類似問(wèn)題如圖6所示，金屬棒以初速度v0沿光滑（或粗糙）的水平金屬導(dǎo)軌滑行，最終速度減為零，易分析出金屬棒從開始到速度減為零的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的位移是有限的，但具體的位移是多少呢？命題者應(yīng)通過(guò)計(jì)算設(shè)置數(shù)據(jù)，保證數(shù)據(jù)的自洽，從而保證試題命制的科學(xué)性。

2.3 ? ?模型論證

再將t代入（20）式，可得x≈1.8 m。故可將題目中條件“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導(dǎo)軌平面，運(yùn)動(dòng)位移x=1 m時(shí)速度剛好減為零并立即鎖定”更改為“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導(dǎo)軌平面，運(yùn)動(dòng)位移x=1.8 m時(shí)速度剛好減為零并立即鎖定”。

此分析也可拓展到其他阻力與速度成正比、最后靜止的動(dòng)力學(xué)模型中，如動(dòng)車在恒定制動(dòng)力和空氣阻力下減速到零、密度比水小的小球以一定初速度豎直向下射入水中直至減速到零等。

3 ? ?思考與建議

國(guó)務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》明確指出，要依據(jù)高校人才選拔要求和國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性和綜合性，著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。導(dǎo)體棒在做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，相關(guān)物理量之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系［1］。因此，教師在命制電磁感應(yīng)單棒切割的相關(guān)試題時(shí)，給出的具體數(shù)據(jù)也應(yīng)遵循科學(xué)性原則，而邏輯自洽、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑囶}也可以培養(yǎng)學(xué)生正確的物理觀念、科學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬北河，黃尚鵬．物理命題必須遵循科學(xué)性原則——電磁感應(yīng)典型錯(cuò)題分析與重置［J］．中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（10）：64-66．（欄目編輯 ? ?蔣小平）