從有限到無限，逐步感知極限思想

鮑慶賀

[摘 要]極限思想是小學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想之一，蘊(yùn)含于許多知識之中，但極限思想?yún)s是學(xué)生最難以理解的思想之一。在教學(xué)“圓的面積”過程中，教師應(yīng)層層深入，化抽象為直觀，從有限到無限，讓學(xué)生逐步感知極限的存在，并充分借助可以直觀化的教學(xué)工具展示教學(xué)過程，提升學(xué)生對極限思想的認(rèn)識。

[關(guān)鍵詞]極限思想;圓的面積;幾何畫板

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）02-0062-02

在一次借班上課前，知道了要上“圓的面積”這一課，一位學(xué)生便問道：“要帶圓規(guī)嗎？”我答：“不需要?！睂W(xué)生聽到后十分詫異，可見，他們已經(jīng)根深蒂固地將圓列為一個(gè)“特殊對象”了，根本不可能把“圓”與“方”扯到一起。如何打破這種想法？何不從圓與方之間的關(guān)系入手，讓學(xué)生感受到“圓”與他們認(rèn)識的“方”之間的關(guān)系？

一、感知圓與方的聯(lián)系，在想象中感受無限的存在

要求圓的面積，就必須將圓轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形等基本圖形。如何設(shè)計(jì)教學(xué)才能讓學(xué)生自然而然地感受到圓與方之間存在聯(lián)系呢？我從圓與邊長為圓的半徑的正方形的面積出發(fā)。

師：這里有一個(gè)圓，如果以它的圓心為一個(gè)頂點(diǎn)，以它的半徑為邊長畫一個(gè)正方形。你知道正方形的面積嗎？（半徑為r）

生1：半徑乘半徑。

生2：可以直接說成r2。

師：接著畫3個(gè)這樣的圖形，得到一個(gè)大的正方形，它的面積是多少？

生3：4×r2。

師：在圓內(nèi)也可以畫一個(gè)最大的正方形，你知道它的面積嗎？

生4：大正方形的面積是4r2，把它平均分成8份，這個(gè)小正方形剛好占了4分，是它的一半。

生5：我發(fā)現(xiàn)只要將下面的兩個(gè)小三角形移上去，就變成了兩個(gè)小正方形，所以它的面積也是2r2。

師：在這方與圓、圓到方之間，能否估計(jì)圓的面積的范圍呢？

生6：圓比大正方形小，比圓內(nèi)的正方形大，所以它的面積大于2r2小于4r2。

師：我們通過觀察和推測，知道了圓的面積和圓的半徑好像有一定的關(guān)系，但它們之間是否有關(guān)系呢？具體的關(guān)系是怎樣的？還需要我們繼續(xù)研究。

師：剛才我們在圓內(nèi)畫了一個(gè)最大的正方形，現(xiàn)在我們在圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正五邊形、正六邊形……繼續(xù)畫下去，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（課件呈現(xiàn)：圓內(nèi)的正多邊形邊數(shù)逐漸變多）

生7：正多邊形變得越來越像圓了。

生8：當(dāng)邊數(shù)變得很多的時(shí)候，它就成了圓。

生9：圓就是一個(gè)正無數(shù)邊形。

師：是啊，我們和古代數(shù)學(xué)家劉徽想到一塊兒了，他在《九章算術(shù)注》中提出了……（課件出示：“割之彌細(xì)，所失彌少;割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！保?/p>

師：“割之又割，以至于不可割，則與圓合體。”你能說說這句話的意思嗎？

生10：當(dāng)正多邊形的邊數(shù)足夠多，且沒法再多的時(shí)候，它就變成圓了。

師：是的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有時(shí)候看不到的，可以借助想象。想象讓我們發(fā)現(xiàn)，圓變成了一個(gè)正無數(shù)邊形，一個(gè)曲線圖形就變成了一個(gè)直線圖形。

從圓與邊長為圓的半徑的正方形入手，再引出圓的外切正方形和內(nèi)接正方形，可以幫助學(xué)生從范圍上估測圓的面積，發(fā)現(xiàn)圓的半徑和面積存在著一定的關(guān)系。而后再從內(nèi)接正方形出發(fā)，接著畫其他內(nèi)接正多邊形，讓學(xué)生從視覺上感知到“隨著邊數(shù)的逐漸增多，正多邊形與圓越來越接近”，并借助想象初次感知無限的存在，再借古代數(shù)學(xué)家的想法印證學(xué)生的猜想，讓學(xué)生既能體驗(yàn)到成功的喜悅，又能感知古代數(shù)學(xué)家的大智慧，繼而產(chǎn)生繼續(xù)猜想的意愿。

二、在想象中擺拼，化圓為方，發(fā)散思維

常規(guī)的圓面積探究往往會(huì)讓學(xué)生直接把圓平均分成16份、32份等，然后告知學(xué)生去拼成平行四邊形，這樣的一個(gè)過程，看似引導(dǎo)學(xué)生找尋圓和近似平行四邊形的關(guān)系，但學(xué)生只是按照要求操作了一番，根本沒有經(jīng)過真正的思考和探究。為什么平均分成16份就能研究圓的面積？為什么要去拼成一個(gè)平行四邊形？學(xué)生不知道，可能有些教師也不知道。要想讓思維真正發(fā)生，就必須給學(xué)生足夠的空間，放手讓他們?nèi)ハ胂蟆⑷?chuàng)造。

師：我們無法將正無數(shù)邊形呈現(xiàn)出來，也沒辦法去研究圓和正無數(shù)邊形之間的關(guān)系，但是我們知道在解決復(fù)雜問題的時(shí)候可以從簡單的情景入手，找尋它們的共同點(diǎn)。下面我們就以正十六邊形為例展開探索。

師：咱們在探究平行四邊形面積時(shí)是如何操作的？

生1：沿著平行四邊形的一條高剪下一個(gè)三角形或者梯形，將它平移到另一邊，這樣拼成了一個(gè)長方形，就能求出它的面積了。

師：是啊，我們在學(xué)習(xí)的時(shí)候經(jīng)常需要把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的內(nèi)容。你也能按照這樣的方式，剪一剪、拼一拼，把圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)認(rèn)識的圖形嗎？

師：在操作的過程中要想一想，可以將圓拼成我們已經(jīng)認(rèn)識的什么圖形？轉(zhuǎn)化后的面積和圓又有著怎樣的聯(lián)系？

（學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[拼，有的拼成了平行四邊形，有的拼成了三角形，還有的拼出了梯形）

師：拼出圖形與圓相比，什么變了，什么沒變？

生2：形狀變了，面積沒變。

有了前面的教學(xué)，學(xué)生對“無限”已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，也發(fā)現(xiàn)根本沒有辦法去探究一個(gè)正無數(shù)邊形與圓之間的關(guān)系，所以通過一個(gè)“復(fù)雜問題簡單化”的方法，引導(dǎo)學(xué)生找尋它們之間的共同點(diǎn)，便可以展開研究，將圓等分成16份也就順其自然了。

在動(dòng)手操作這一環(huán)節(jié)，教師沒有直接告訴學(xué)生要拼成什么圖形，而是先讓他們回憶平行四邊形面積的探究過程，化未知為已知，激發(fā)學(xué)生利用舊知解決新問題。雖然探究有一定難度，但是在擺拼的過程中，每個(gè)學(xué)生無不在思考中探索、在思考中體驗(yàn)，這可以更好地幫助他們與自己對話，學(xué)有所思，讓思維看得見。因?yàn)闆]有了束縛，學(xué)生的思維都發(fā)散開來。因此，教師應(yīng)該把課堂還給學(xué)生，把時(shí)間留給他們。

三、借助動(dòng)態(tài)演示，直觀感受極限思想

本節(jié)課的難點(diǎn)在于如何在有限的操作和想象中讓學(xué)生直觀感受極限思想。雖然前面已經(jīng)借助正多邊形讓學(xué)生對“無限”有了一個(gè)初步的感受，但這種感受只停留在表面，學(xué)生還是感覺非常抽象的。怎樣才能直觀感受極限思想呢？幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，就能幫助學(xué)生觀察、想象，更直觀地感受極限思想。

師：轉(zhuǎn)化后的圖形是我們認(rèn)識的圖形嗎？能計(jì)算它們的面積嗎？

生1：它們分別是近似的長方形、三角形、梯形。

生2：現(xiàn)在只是將圓分成了16等份，所以它的底邊是有弧度的，但是如果分的份數(shù)足夠多，底邊就越來越直，最后就變成了直的。

師：真的是這樣嗎？眼見方為實(shí)，我們一起來看一下。

借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示：

師：你有什么想說？

生3：這條底越來越直了。

生4：我發(fā)現(xiàn)越來越像平行四邊形了。

生5：到最后變成一個(gè)長方形了。

......

如果只是告訴學(xué)生把圓平均分成16等份、32等份、64等份……讓學(xué)生去想象，這樣直白的文字并沒有給學(xué)生一個(gè)直觀的感受。但借助幾何畫板將圓分成16等份，再通過“加”的運(yùn)算，使圓的份數(shù)逐漸增多，學(xué)生便能直接觀察到這樣一個(gè)變化過程，發(fā)現(xiàn)底邊變得越來越直，斜邊也變得越來越直，圓最終變成了一個(gè)長方形。學(xué)生在幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示過程中慢慢體味無限等份，感受變化，最終也就明白了這抽象的、難理解的極限思想。

【教學(xué)反思】

從圓與方的關(guān)系出發(fā)，首先，讓學(xué)生感知圓的面積的大致范圍，感受到圓與半徑存在著一定的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生借助想象將圓與正無數(shù)邊形聯(lián)系在一起，即初步體驗(yàn)了“無限”的存在，又將圓與方、曲與直巧妙聯(lián)系在一起，讓圓變得不再陌生;接著，引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形面積的探究過程入手，動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作，充分給予他們思考的空間;最后，操作后觀察拼成的圖形與直線圖形的區(qū)別，讓學(xué)生繼續(xù)思考無限分割的必要性。在這過程中，幾何畫板動(dòng)態(tài)演示邊的變化，給學(xué)生以視覺上的沖擊，將極限思想巧妙滲透給學(xué)生，學(xué)生在悄無聲息中便體驗(yàn)到了面積公式推導(dǎo)的合理性。

極限思想是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的重要思想，雖然很抽象，但也貫穿于小學(xué)教材。作為課堂教學(xué)的組織者和引導(dǎo)者，教師要給予學(xué)生充分的思考時(shí)間和空間，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候借助一些教學(xué)工具將極限思想直觀呈現(xiàn)給他們，為他們以后運(yùn)用極限思想解決問題提供幫助，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和抽象意識。

（責(zé)編 金 鈴）