利用不等式求最值常見(jiàn)題型的解法探討

云南省昆明市石林縣第一中學(xué) 王 強(qiáng)

利用不等式求最值的題型有很多,解法多種多樣.有些題型可能有多種解法,但有些題型可能會(huì)令我們束手無(wú)策,怎樣才能找到這些題型的解法呢?這就需要我們能夠抓住題中的條件式、求值式的結(jié)構(gòu)特征找到它們的解法!下面就以一些常見(jiàn)題型為例來(lái)探討這些題型的解法.

1 題型一:條件式為二次式,求值式為一次式

對(duì)于“已知x2+my2+kxy=p,求x+ny的最值”,可以先將條件式變形,再用柯西不等式,如例2.

例1已知x>0,y>0,且x2+2y2=9,則x+4y的最大值為.

故x+4y的最大值為9.

方法點(diǎn)睛：利用柯西不等式降次,實(shí)現(xiàn)由條件式向求值式的轉(zhuǎn)化.

例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足4x2+y2+xy=1,求4x+y的最大值.

方法點(diǎn)睛：通過(guò)配方將條件式轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)平方和的形式,再用柯西不等式實(shí)現(xiàn)由條件式向求值式的轉(zhuǎn)化.

2 題型二:條件式為一次式、二次式,求值式為分式且分母為一次式、二次式

方法點(diǎn)睛：先對(duì)求值式的分母進(jìn)行升次變形,再用權(quán)方和不等式實(shí)現(xiàn)求值式向條件式的轉(zhuǎn)化.

方法點(diǎn)睛：先找出條件式與求值式分母之間的關(guān)系,再用權(quán)方和不等式實(shí)現(xiàn)由求值式向條件式的轉(zhuǎn)化.

3 題型三:求值式為齊次分式

方法點(diǎn)睛：先化作比值,再將比值換元,實(shí)現(xiàn)由二元變量向一元變量的轉(zhuǎn)化,再用均值不等式求最值.

4 題型四:求值式為和(積)的形式,條件式可變形為積(和)的形式

對(duì)于“求(x+m)+p(y+n)型式子的最值”,可以將已知條件變形為(x+m)(y+n)=k;對(duì)于“求(x+m)(y+n)型式子的最值”,可以將已知條件變形為(x+m)+p(y+n)=l.

例6已知0

故選答案:C.

上文結(jié)合具體實(shí)例探討了利用不等式求最值常見(jiàn)題型的解法,但由于利用不等式求最值的題型比較多,特征也多種多樣,解題方法也不只有上述幾種,因此,我們應(yīng)該在平常的解題過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)、積累,養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.