運(yùn)用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)試題

摘 要：高中數(shù)學(xué)試題具有復(fù)雜性和抽象性，學(xué)生不易找到解決的方法，這就要求教師既要注重培養(yǎng)學(xué)生善于觀察試題的能力，也要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，依據(jù)試題的特點(diǎn)構(gòu)造出典型的模型，從而有效地解決試題.構(gòu)造法的運(yùn)用，既有助于啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想意識(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用構(gòu)造法解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，靈活地構(gòu)造出已知模型，順利解決高中數(shù)學(xué)問題.文章將以具體的試題為例，闡述構(gòu)造法的具體運(yùn)用，旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用構(gòu)造法解題的技巧.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造法；解題策略

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）21-0005-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：劉明花（1978.11-），女，甘肅省慶陽環(huán)縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)知識(shí)通常具有較強(qiáng)的抽象性與復(fù)雜性，尤其是綜合性試題，常常會(huì)使學(xué)生陷入解題困境.當(dāng)正向的解題思路不能迅速求解出數(shù)學(xué)問題時(shí)，就需靈活運(yùn)用逆向思維，通過構(gòu)造法分析問題，挖掘數(shù)學(xué)試題中的顯性與隱性信息，迅速地找出問題求解時(shí)必備的解題條件，構(gòu)造成已知的數(shù)學(xué)模型，簡化試題的求解過程，高效解決問題，提高學(xué)生的解題能力.

1 構(gòu)造法概念及其作用

1.1 構(gòu)造法的概念

構(gòu)造法主要是指依據(jù)數(shù)學(xué)題中已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系、特征和性質(zhì)，運(yùn)用新的角度去分析和觀察研究對象，以反映問題條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系為主線，靈活地運(yùn)用問題的坐標(biāo)、數(shù)據(jù)和外形等方面的特征，通過試題中給出的已知條件，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)關(guān)系式或是理論工具構(gòu)造成滿足試題條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，這樣就能夠通過構(gòu)造新對象的方法將試題中的隱含條件和關(guān)系展現(xiàn)出來，并通過新構(gòu)造的對象高效、簡便地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.對于構(gòu)造法而言，其主要的優(yōu)勢就是幫助學(xué)生更加簡潔地分析數(shù)學(xué)試題，迅速構(gòu)建具體解題思路，以促使學(xué)生迅速、有效地解決相關(guān)數(shù)學(xué)試題［1］.

1.2 構(gòu)造法在解決高中數(shù)學(xué)試題中的作用

構(gòu)造法主要是依據(jù)題設(shè)條件或者是結(jié)論之間所具備的性質(zhì)、特征，構(gòu)造與條件或者結(jié)論相符的數(shù)學(xué)模型或?qū)ο螅⑼ㄟ^構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型或?qū)ο笥行У亟鉀Q數(shù)學(xué)問題.將構(gòu)造法運(yùn)用于解高中數(shù)學(xué)試題中，通常有著重要作用，具體表現(xiàn)為：

第一，有利于提高學(xué)生的解題能力.構(gòu)造法是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)試題的一種重要方法，學(xué)生只有掌握了構(gòu)造法在試題問題解決中的運(yùn)用技巧，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題能力的提升.

第二，有利于提高學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)學(xué)科通常對學(xué)生的思維能力有著較高的要求，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不僅需掌握數(shù)學(xué)的概念、公式，而且還需具備思維意識(shí).而構(gòu)造法的應(yīng)用，就能使學(xué)生形成主動(dòng)探索的創(chuàng)新思維，通過類比、歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型或?qū)ο蟮臉?gòu)造，實(shí)現(xiàn)高效解題的目的.

第三，有利于提高學(xué)生的聯(lián)想能力.在解決高中數(shù)學(xué)試題中運(yùn)用構(gòu)造法的前提就是學(xué)生要具備一定的聯(lián)想能力，通過試題中圖形或數(shù)量的特征展開聯(lián)想，引入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或?qū)ο?，從而運(yùn)用已有的方法和經(jīng)驗(yàn)解決問題.因此，數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，從問題的結(jié)構(gòu)和特征聯(lián)想到類似的已知問題，構(gòu)造一個(gè)類似的簡單問題進(jìn)行分析和研究，從而使學(xué)生形成相應(yīng)創(chuàng)新能力［2］.

第四，有利于提高學(xué)生命題轉(zhuǎn)化的能力.高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科有許多的知識(shí)點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中，容易忽視各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致其掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏關(guān)聯(lián)性與完整性.

2 構(gòu)造法運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)策略

2.1 培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造理念

構(gòu)造法的運(yùn)用，通常能夠提高學(xué)生的解題正確率與效率.高中數(shù)學(xué)的題量、難度都比較大，想要使學(xué)生能夠主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的解題積極性，教師需引導(dǎo)學(xué)生嘗試在數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行分析和解決，以幫助學(xué)生更好地掌握構(gòu)造法的解題技巧，并為后期的練習(xí)奠定基礎(chǔ)，形成應(yīng)用構(gòu)造法解題的意識(shí)，能夠運(yùn)用特殊情形構(gòu)造、聯(lián)想構(gòu)造、命題轉(zhuǎn)化、間接構(gòu)造等方法分析和解決問題，使學(xué)生充分理解構(gòu)造法的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)高效解題.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需以具體的問題為載體，積極地滲透構(gòu)造的思想與方法，以此使學(xué)生有效了解到運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行數(shù)學(xué)試題解答的優(yōu)勢，突破常規(guī)的解題模式，簡化解題步驟，提高解題能力.

2.2 培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

以往，教師常常依據(jù)常規(guī)的方法引導(dǎo)學(xué)生對問題實(shí)施分析和解決，而學(xué)生依據(jù)教師的方法和步驟開展解題活動(dòng)，導(dǎo)致思維活躍度不高.對此，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)當(dāng)中，要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度和層面進(jìn)行問題的分析，嘗試運(yùn)用不同的方法構(gòu)造已知條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，開闊學(xué)生的解題思路，發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.由此可知，想要使學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法有效解決數(shù)學(xué)試題，學(xué)生自身的思維培養(yǎng)也是極其重要的.

2.3 與多種解題法結(jié)合

就構(gòu)造法來說，因?yàn)槠淠軌驇椭鷮W(xué)生迅速找出解題思路，實(shí)現(xiàn)解題效率與正確率有效提高而被廣泛運(yùn)用.但是，構(gòu)造法并不能適用于所有的數(shù)學(xué)試題.因此，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)題解答時(shí)，只有依據(jù)試題的特征熟練應(yīng)用各種解題方法，才能實(shí)現(xiàn)高效解題.例如，函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)較為常見的試題，在實(shí)施解題的時(shí)候，可通過函數(shù)的極值思想進(jìn)行解題，此時(shí)，構(gòu)造法就不再適用，又或者學(xué)生通過兩邊平方進(jìn)行方程題解決時(shí)，構(gòu)造法的運(yùn)用也是不合適的.對此，構(gòu)造法的運(yùn)用目的主要是幫助學(xué)生形成一定的聯(lián)想與關(guān)聯(lián)能力，讓學(xué)生通過教師所講解的理論知識(shí)，盡量迅速地掌握更多的解題方法，這樣學(xué)生在具體解題時(shí)，才能夠充分了解到構(gòu)造法具備的優(yōu)勢與不足，并形成數(shù)學(xué)思維，能夠在具體問題中正確地運(yùn)用構(gòu)造法高效解題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合水平.

3 運(yùn)用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)試題的策略

3.1 運(yùn)用已知條件構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，主要是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)試題已知條件與結(jié)論之間具備的特性進(jìn)行分析，構(gòu)造能夠直觀體現(xiàn)試題條件與結(jié)論內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)對象或模型，從而有效解決問題.學(xué)生在解題的時(shí)候，不僅能形成清晰的思路，而且還能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律，通過數(shù)學(xué)試題的已知條件，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)內(nèi)容，有效解決問題.例如，在“解不等式”的教學(xué)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生在面對問題的時(shí)候，會(huì)通過傳統(tǒng)思維的方式解題，雖然這樣也能夠獲得答案，但是解題的整個(gè)過程較為復(fù)雜，運(yùn)算量比較大，學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，為了防止該類情況出現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師就需引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造法對“不等式”試題的條件和結(jié)論之間的特征實(shí)施分析，通過已知的條件進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造，利用函數(shù)的單調(diào)性和圖形，對論證的過程實(shí)施深化.

例題1 已知x、y、z都位于區(qū)間（0，1）中，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析 試題只給出了x、y、z的定義域，看似和求證內(nèi)容并沒有太多聯(lián)系，學(xué)生沒有直接證明的思路.通過觀察試題的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其可以變形為（1-y-z）x+（y-yz+z-1）<0，因此可以嘗試構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)f（x）=（1-y-z）x+（y-yz+z-1）.

3.2 運(yùn)用等量關(guān)系構(gòu)造方程式

在面對相對復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通常會(huì)出現(xiàn)多個(gè)因變量或自變量，這就需要學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)基本概念.數(shù)學(xué)教師以此作為基礎(chǔ)，指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)變量的特征和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行方程式構(gòu)造，不論是一元二次的方程式，還是二元二次的方程式，在具體解題中，都需將未知量的解決作為解題目的，在面對定量關(guān)系的時(shí)候，業(yè)可依據(jù)等量關(guān)系進(jìn)行方程式的構(gòu)造.

例題2 已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的取值范圍.

分析 試題中并沒有給出取值范圍，a，b，c之間也沒有明顯的區(qū)別，通過觀察，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造方程，利用方程的定義、系數(shù)之間的關(guān)系能夠建立起已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系，有效地解答a+b的取值范圍.a+b+c=1可以變形為a+b=1-c；兩邊平方：（a+b）2=（1-c）2，代入a2+b2+c2=1得：ab=c2-c.因此，可以構(gòu)造兩個(gè)實(shí)根為a、b的方程式：

x2+（c-1）x+c2-c=0.

3.3 運(yùn)用題設(shè)特征構(gòu)造數(shù)列

等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，數(shù)列有許多的性質(zhì)，也是高考的必考內(nèi)容.在對數(shù)列問題進(jìn)行解決時(shí)，可通過構(gòu)造法的運(yùn)用，將不規(guī)則的數(shù)列轉(zhuǎn)化為規(guī)則的等比或等差數(shù)列，從而運(yùn)用數(shù)列的概念和公式解決問題.在構(gòu)造法的具體運(yùn)用中，教師需指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題設(shè)特征分析，以聯(lián)想或等效替代的方式進(jìn)行等差數(shù)列或等比數(shù)列的構(gòu)造，明確數(shù)學(xué)問題的具體求解要點(diǎn)，化繁為簡，從而使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.

例題3 已知在數(shù)列{an}中，a1=1，并且an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

分析 通過觀察，數(shù)列{an}中，前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系既不符合等比數(shù)列的要求，也不符合等差數(shù)列的要求，{an}是一個(gè)特殊的數(shù)列，這就使得其通項(xiàng)an難以用等比數(shù)列或等差數(shù)列的性質(zhì)求出.因此，通過觀察an+1=2an+1，進(jìn)行變形an+1+1=2an+2，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列{an+1+1}，問題就迎刃而解.

3.4 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造圖像

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的有效方法，在一些不易直接求解的代數(shù)問題中，可以借助問題的條件構(gòu)造圖像，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像，通過圖像直觀、準(zhǔn)確地解決問題.

例題4 求函數(shù)f（x）=cosxsinx-2的值域.

分析 對函數(shù)f（x）=cosxsinx-2的值域進(jìn)行求解的時(shí)候，如果按照傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式下，學(xué)生在復(fù)雜的計(jì)算過程中，不僅浪費(fèi)了大量的時(shí)間，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，無法保證答案的正確性.據(jù)此，就可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用sinx2+cosx2=1這一性質(zhì)，將sinx、cosx看作是圓sinx2+cosx2=1上的一點(diǎn)，構(gòu)造圖像（如圖1）（單位圓圖），則原問題就轉(zhuǎn)化為求圓上任意一點(diǎn)與（2，0）連線斜率的問題，借助圖像的觀察，對其值域進(jìn)行正確求解.

綜上所述，構(gòu)造法是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效方法.但是，即便學(xué)生已經(jīng)熟練地掌握了構(gòu)造法的內(nèi)涵，在運(yùn)用其解決具體的問題時(shí)仍然具有較大的難度.因此，教師需引導(dǎo)學(xué)生觀察復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的特征，嘗試通過構(gòu)造函數(shù)、方程式、數(shù)列等方法進(jìn)行問題的解決，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)構(gòu)造思想，提高學(xué)生的解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李逾洹.高中數(shù)學(xué)解題中“構(gòu)造法”的應(yīng)用［J］.新教育時(shí)代電子雜志（學(xué)生版），2017（19）：150.

［2］ 高慧明.割補(bǔ)法、構(gòu)造法、特值法應(yīng)用綜述：高中數(shù)學(xué)解題基本方法系列講座（9）［J］.廣東教育（高中版），2018（3）：20-22.

［責(zé)任編輯：李 璟］