“數(shù)學(xué)分析”課程啟發(fā)式教學(xué)探索與實(shí)踐

李曉艷 吳然超

摘? 要：“數(shù)學(xué)分析”課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程。熟練掌握該課程的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力的提升、數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的作用。文章鑒于數(shù)學(xué)分析課程知識(shí)的特點(diǎn)，積極探索啟發(fā)式教學(xué)模式。啟發(fā)式的教學(xué)以學(xué)生為中心、以老師為主導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性和積極性，有助于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)與學(xué)習(xí)，能夠訓(xùn)練學(xué)生的思考問題、探究問題的能力，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量和人才培養(yǎng)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：啟發(fā)式教學(xué)；以學(xué)生為中心；教學(xué)探索與實(shí)踐；教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號(hào)：O171? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1673-7164（2023）14-0050-04

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)各專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，是數(shù)學(xué)各專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)后繼各課程的最基礎(chǔ)的課程［1-2］。該課程具有完備的知識(shí)體系、系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論、豐富的課程內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)科長期發(fā)展、不斷完善而形成的課程體系。該門課程的學(xué)習(xí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、嚴(yán)密的邏輯推理能力、熟練的計(jì)算能力等，具有至關(guān)重要的作用；對(duì)于本科階段后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起到重要的支撐作用。

“數(shù)學(xué)分析”的核心內(nèi)容是微積分，其發(fā)展過程大體經(jīng)過三個(gè)階段。十七世紀(jì)科學(xué)家牛頓和萊布尼茲在繼承前人科學(xué)家們的成果基礎(chǔ)上，將微積分逐漸發(fā)展成為一門系統(tǒng)的學(xué)科［3］。經(jīng)過科學(xué)家們將近多兩百年的努力，到十九世紀(jì)五六十年代，柯西、黎曼及維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家們建立了嚴(yán)格的極限理論，嚴(yán)格證明了微積分所有的定義和定理。到了二十世紀(jì)初，龐加萊、格拉斯曼、嘉當(dāng)?shù)葦?shù)學(xué)家創(chuàng)立了外微分形式的語言，形成了現(xiàn)代“數(shù)學(xué)分析”的基本理論體系。如何讓學(xué)生理解、掌握并應(yīng)用好該門課程，是教師一直追求的教學(xué)目標(biāo)和效果。應(yīng)從加強(qiáng)“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)隊(duì)伍建設(shè)、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改革教學(xué)過程與方法、創(chuàng)新教學(xué)手段等方面進(jìn)行改革創(chuàng)新，以實(shí)現(xiàn)提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目標(biāo)和期望，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，并提升學(xué)生創(chuàng)新能力。

一、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

近年來，教師在講授基本知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，不斷優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容安排，對(duì)課程講解內(nèi)容做部分調(diào)整和增減，這樣做一方面能夠與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)較好地銜接，另一方面，能不斷加強(qiáng)與現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的其他分支的聯(lián)系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而又不加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，這是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)實(shí)踐的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。

（一）以史為引，了解才能熱愛

在教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容穿插講述微積分發(fā)展的過程與歷史，講述與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的傳奇數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的故事，體會(huì)數(shù)學(xué)之美［4］。例如由兔子問題得到的斐波那契數(shù)列；例如最浪漫的函數(shù)——心形線背后的數(shù)學(xué)家的愛情；體會(huì)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，例如無窮多個(gè)無窮小之和有可能是無窮大，表明量變產(chǎn)生質(zhì)變等。數(shù)學(xué)原本在古代就是哲學(xué)的分支，許多偉大的數(shù)學(xué)家也是哲學(xué)家，數(shù)學(xué)的知識(shí)體系與發(fā)展過程都蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想和科學(xué)思維。鼓勵(lì)學(xué)生課后閱讀數(shù)學(xué)發(fā)展史的書籍，了解是熱愛的前提，能夠使得學(xué)生理解克萊因的那句：“學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的困難，也是這些數(shù)學(xué)家們遇到的困難”，使得學(xué)生能夠微笑面對(duì)數(shù)學(xué)的世界，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣與熱愛，從容學(xué)習(xí)本門課程。學(xué)完本門課程后，不但學(xué)習(xí)掌握了理論知識(shí)，也能夠了解“數(shù)學(xué)分析”這門課程簡單發(fā)展歷程。

（二）增加中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容

教學(xué)內(nèi)容需要與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相銜接，保持連貫性和一致性［5］。中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了多年的教學(xué)改革，教學(xué)內(nèi)容在不斷調(diào)整，由于高考對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革，考察得很少。因此，在中學(xué)階段，對(duì)逆映射、反函數(shù)，參數(shù)方法，極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程，三角函數(shù)公式，反三角函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容介紹得也比較少，有些甚至沒做介紹。這些知識(shí)對(duì)于課程學(xué)習(xí)是不可或缺的，“數(shù)學(xué)分析”課程內(nèi)容中卻沒有這部分知識(shí)，所以需要增加此部分內(nèi)容予以介紹。微積分內(nèi)容中導(dǎo)數(shù)的概念、相關(guān)性質(zhì)與計(jì)算，定積分的概念與簡單計(jì)算等內(nèi)容在中學(xué)階段已經(jīng)做了介紹，對(duì)于分析中的此部分內(nèi)容可以適當(dāng)減少授課時(shí)間。

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了面對(duì)高考，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，往往跳過很多數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，直接告訴他們重要的結(jié)果與定理，只要會(huì)用于解題即可。因此，在進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)特別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這門課程時(shí)，有些內(nèi)容要進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)充講解。對(duì)這些知識(shí)內(nèi)容的掌握是順利理解數(shù)學(xué)分析相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，在這些內(nèi)容上花些時(shí)間十分必要的。

（三）增加與現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)系的相關(guān)內(nèi)容

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)各專業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)，在教學(xué)過程中根據(jù)內(nèi)容增加一些與數(shù)學(xué)其他各分支聯(lián)系的講解，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維，拓展思路，不要局限于目前的知識(shí)內(nèi)容，這樣不但可以緩解理論講解的枯燥，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還可以更好地學(xué)習(xí)后繼課程，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)體系化具有一定的了解和把握。比如，介紹函數(shù)連續(xù)性時(shí)，可以介紹函數(shù)的連續(xù)性是一般映射的連續(xù)性的特殊情況，告訴學(xué)生在后面學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等課程時(shí)，還會(huì)介紹連續(xù)性，其思想基本是一致的；在講解兩個(gè)重要數(shù)列之一的極限時(shí)，講解數(shù)學(xué)家伯努利提出了復(fù)利問題：在相同的年利率下，復(fù)利計(jì)算的越頻繁，收益越好，那么這一切是否有某種上限？這類內(nèi)容必然會(huì)對(duì)金融數(shù)學(xué)專業(yè)某些后繼課程的學(xué)習(xí)有幫助；再比如，在講述函數(shù)列時(shí)，當(dāng)它的極限存在時(shí)是我們關(guān)注的，一旦極限不存在我們就一般不再關(guān)心了，其實(shí)這個(gè)極限不存在時(shí)，再來研究其變化，也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)序列復(fù)雜的變化，這正是以后在動(dòng)力系統(tǒng)理論中要討論的混沌系統(tǒng)的范疇。當(dāng)然在與數(shù)學(xué)其他內(nèi)容建立一些聯(lián)系時(shí)，原則上不增加所講教材內(nèi)容的難度，以不增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)為前提，點(diǎn)到為止。

二、改革教學(xué)方法和教學(xué)過程：啟發(fā)式教學(xué)

數(shù)學(xué)分析課程由于其講解的知識(shí)內(nèi)容多、理論推理詳細(xì)等特點(diǎn)，往往采取“滿堂灌”“填鴨式”的教學(xué)方式。這些教學(xué)方式有些學(xué)生不能適應(yīng)，教學(xué)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量不理想，逐漸不符合新時(shí)代的教學(xué)規(guī)律和教學(xué)要求，需要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方式方法，更新教學(xué)理念。讓課堂“以教師為主”向“以學(xué)生為中心”轉(zhuǎn)變，倡導(dǎo)“以教師的主導(dǎo)、以學(xué)生的主體”教學(xué)理念，采用啟發(fā)式、探究式教學(xué)方式方法，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，提高課前、課中、課后學(xué)習(xí)的效果，不斷提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量。

啟發(fā)式教學(xué)運(yùn)用，能提高學(xué)生的興趣和積極性，培養(yǎng)探究問題的習(xí)慣和提高能力。在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式下，教師在講臺(tái)講授知識(shí)，學(xué)生在被動(dòng)接受知識(shí)，加上數(shù)學(xué)知識(shí)比較枯燥乏味，整個(gè)課堂教學(xué)氛圍比較沉悶，同學(xué)課堂注意力不容易集中。啟發(fā)式教學(xué)能夠提高教學(xué)和學(xué)習(xí)的效果。在有條件的情況下，課前請(qǐng)教師預(yù)習(xí)課堂教授的知識(shí)，對(duì)于不理解的知識(shí)，在課堂上集中聽講認(rèn)真思考，課下可以和老師、同學(xué)進(jìn)行交流探討。在課堂教學(xué)過程中，教師可以設(shè)計(jì)一些問題，請(qǐng)學(xué)生思考并回答。通過設(shè)計(jì)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，加強(qiáng)師生溝通交流，提高教學(xué)和學(xué)習(xí)的效果。

（一）精講與引導(dǎo)教學(xué)結(jié)合

由于數(shù)學(xué)分析知識(shí)內(nèi)容繁多，且具有公理化、邏輯性、抽象性的特點(diǎn)，對(duì)于關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，如基本概念、定理、引理、結(jié)論、公式及典型例題，進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)和講授是十分必要的。但是由于課堂時(shí)間有限，教師可以就所要學(xué)的內(nèi)容布置若干問題，引導(dǎo)學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，開展啟發(fā)式探究式學(xué)習(xí)等自學(xué)活動(dòng)等，通過這樣學(xué)習(xí)方式的訓(xùn)練，不僅能夠讓他們思考、理解、掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)內(nèi)容，而且能夠培養(yǎng)他們的自學(xué)能力、思考能力、創(chuàng)新能力，對(duì)于以后的學(xué)習(xí)和繼續(xù)深造也是十分必要和重要的。

大學(xué)學(xué)習(xí)和中學(xué)課程的學(xué)習(xí)不同，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下自主學(xué)習(xí)，不斷進(jìn)行思考、探究和總結(jié)，不但可以更好地理解掌握基本概念、定理、結(jié)論，還可提高自學(xué)的能力。比如，學(xué)過求導(dǎo)以及積分之后，做一個(gè)方法總結(jié)性小報(bào)告，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)；在學(xué)過“無限多個(gè)開集的并是開集，無窮多個(gè)閉集的交仍是閉集”后，課后啟發(fā)學(xué)生思考“無窮多個(gè)開集的交是不是還是開集？無窮多個(gè)閉集的是不是還是閉集？如不是請(qǐng)?jiān)嚺e反例”等等［6］。通過一系列啟發(fā)式引導(dǎo)教學(xué)措施，鍛煉自學(xué)能力，以此取得良好的學(xué)習(xí)效果。

（二）抽象性與直觀性結(jié)合

數(shù)學(xué)是高度抽象的學(xué)科，“數(shù)學(xué)分析”內(nèi)容是真正需要抽象思維能力的先學(xué)課程，抽象思維能力是需要培養(yǎng)的［7］。通過在“數(shù)學(xué)分析”課程的教授過程中的直觀感受，才能建立經(jīng)驗(yàn)、形象化的意識(shí)和能力，產(chǎn)生形象思維。在形象思維的基礎(chǔ)上理解抽象概念、模型以及抽象的規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上上升到創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力。抽象思維能力需要以直觀感受為基礎(chǔ)，在教學(xué)過程中對(duì)抽象性的概念及定理盡量展現(xiàn)通俗的描述，以直觀的圖形加強(qiáng)直觀感受和抽象的理解。比如一元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)性，可以描述為“曲線在該點(diǎn)處的左右兩邊通過這一點(diǎn) ‘粘住了”。再比如，函數(shù)列在區(qū)間上的一致收斂性與收斂性區(qū)別一直是學(xué)生理解的難點(diǎn)。通常會(huì)這樣解釋，如果函數(shù)列里的每取一變量當(dāng)成一個(gè)學(xué)生，在進(jìn)行2000米的測試時(shí)，收斂性代表每一個(gè)學(xué)生能跑完2000米即可，不管時(shí)間長短（存在N即可）；而一致收斂是能不能找到統(tǒng)一的時(shí)間（統(tǒng)一的N對(duì)每個(gè)同學(xué)），比如四分鐘，在四分鐘內(nèi)所有的學(xué)生均跑完2000米，稱函數(shù)列是一致收斂的。

（三）一般性與特殊性相結(jié)合

數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)內(nèi)容有些具有相同性，具有一般的共性特點(diǎn)，有些具有特殊性。可以先重點(diǎn)介紹具有一般性的知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，對(duì)后面具有共性的類似知識(shí)，教師可以簡要介紹概念、結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生自主完成證明推導(dǎo)應(yīng)用等。比如函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參量積分的一致收斂及其性質(zhì)等，可以只詳細(xì)介紹其中一個(gè)概念以及相關(guān)結(jié)論、證明推導(dǎo)，后面的概念結(jié)論可以簡要介紹，具體的證明推導(dǎo)可以留一部分給學(xué)生完成。

對(duì)于具有特殊性知識(shí)部分，需要有不同程度的側(cè)重介紹。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，需要熟練掌握基本知識(shí)和運(yùn)算能力，在此基礎(chǔ)上，逐步掌握理解比較抽象復(fù)雜的命題與定理。對(duì)于這些特殊的復(fù)雜的定理的證明，力求先給予直觀的解釋，讓學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì)，在直觀解釋和理解基礎(chǔ)上，給予比較簡潔的證明，讓學(xué)生能夠理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用自主完成證明。比如利用極限的定義證明、實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性、隱函數(shù)定理、一致連續(xù)及其性質(zhì)等，并啟發(fā)學(xué)生是否可以改變其中的條件、是否可以用其他的方法來完成證明等，讓他們進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。

三、完善教學(xué)手段

（一）傳統(tǒng)教學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合

“數(shù)學(xué)分析”課程理論推導(dǎo)多，在教學(xué)過程中主要堅(jiān)持傳統(tǒng)黑板教學(xué)為主，多媒體教學(xué)為輔。適應(yīng)新時(shí)代的教學(xué)要求，不斷加強(qiáng)信息技術(shù)在教學(xué)中應(yīng)用。充分利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，不斷完善電子教學(xué)資源，如電子參考書、課程的課件、習(xí)題、練習(xí)、測試等。使得學(xué)生能夠充分利用信息技術(shù)帶來的便利，進(jìn)一步促進(jìn)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)，為教學(xué)帶來更多的方便［8］。

近兩年教師不斷加強(qiáng)信息技術(shù)在教學(xué)中應(yīng)用，完善適合本校數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生與教材的成套教學(xué)課件。同時(shí)在線上教學(xué)期間借助學(xué)校提供的教學(xué)平臺(tái)以及網(wǎng)上其他優(yōu)質(zhì)的教學(xué)平臺(tái)和教學(xué)資源，提供更加豐富的電子教學(xué)資源，供學(xué)生學(xué)習(xí)和參考。通過網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)可以增強(qiáng)線上與學(xué)生的互動(dòng)交流機(jī)會(huì)，老師和學(xué)生可以通過平臺(tái)布置課后作業(yè)提交完成后的作業(yè)和測試，通過平臺(tái)增加和老師互動(dòng)的機(jī)會(huì)，學(xué)生可以有更多機(jī)會(huì)提問題，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，以達(dá)到良好的線上教學(xué)效果。

（二）加強(qiáng)習(xí)題課以及課外輔導(dǎo)力度

為提高數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)效果，讓新進(jìn)年輕老師擔(dān)任數(shù)學(xué)分析課程的助教工作，承擔(dān)每周的批改作業(yè)、習(xí)題課的講解及答疑工作，充實(shí)教學(xué)隊(duì)伍，為以后教學(xué)做準(zhǔn)備，每周為學(xué)生定期安排學(xué)生答疑時(shí)間。通過加強(qiáng)平時(shí)的課程教學(xué)管理，實(shí)現(xiàn)對(duì)課程學(xué)習(xí)的全過程管理，能夠掌握平時(shí)的答疑、作業(yè)完成情況、測試情況，大大提高了學(xué)生課后學(xué)習(xí)的效率，有利于發(fā)現(xiàn)問題并及時(shí)針對(duì)性地改進(jìn)。

（三）改革數(shù)學(xué)分析的考試方式

加強(qiáng)過程考核，將平時(shí)、期中、期末成績綜合進(jìn)行評(píng)定。目前的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)考核與成績?cè)u(píng)定，主要采用平時(shí)成績分與期末考試成績綜合評(píng)定，期末的考試成績占比較高。對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程考核在該方式中體現(xiàn)不足，不能較全面地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，不利于促進(jìn)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)。知識(shí)的掌握在于持續(xù)不斷的學(xué)習(xí)和積累，平時(shí)的作業(yè)、提問，期中考試、期末考試都是學(xué)生學(xué)習(xí)情況的反應(yīng)。

改革由各主講教師出卷進(jìn)行期中期末考試的方式，實(shí)施教學(xué)與考試分離。此方式有利于考核教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，比較公平和公正，有助于科學(xué)、有效的教學(xué)評(píng)價(jià)，有助于教風(fēng)和學(xué)風(fēng)的改變。能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，考核評(píng)定的好壞取決于自己全程學(xué)習(xí)的努力程度、取決于對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與理解程度。同時(shí)在過程考核中，增加每月小測試以及小報(bào)告等環(huán)節(jié)，促使學(xué)生回歸基礎(chǔ)，注重點(diǎn)滴知識(shí)的積累。

四、結(jié)語

通過多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與摸索，數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、抽象思維能力、創(chuàng)新能力以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，有著非常重要的作用。隨著新時(shí)代人才培養(yǎng)和教學(xué)改革的需要和要求，不斷更新教學(xué)理念、創(chuàng)新教學(xué)方式方法、改革教學(xué)模式，以提高教學(xué)效果、教學(xué)質(zhì)量和人才培養(yǎng)質(zhì)量。由于數(shù)學(xué)分析課程的知識(shí)體系和教學(xué)特點(diǎn)，啟發(fā)式教學(xué)在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過程中發(fā)揮著積極的作用，能夠幫助學(xué)生理解掌握知識(shí)、培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。但是，教學(xué)過程中也面臨著需要改進(jìn)的問題，如由于教學(xué)班人數(shù)相對(duì)較多，教學(xué)難易度與進(jìn)度都難以兼顧所有同學(xué)；每周的習(xí)題課與測試由于時(shí)間無法統(tǒng)一，導(dǎo)致部分同學(xué)無法參加；任課教師之間定期的交流不能保證等等?？傊澳牬┝执蛉~聲，何妨吟嘯且徐行”，培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才的道路任重而道遠(yuǎn)。

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