發(fā)展學(xué)生思維能力 提升數(shù)學(xué)解題效率

摘 要：解題是學(xué)生必備技能之一，解題能力體現(xiàn)了學(xué)生對知識的理解和掌握程度.文章以初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀為依據(jù)，從數(shù)學(xué)模型思想、轉(zhuǎn)化思想、化歸思想等不同層面分析提升數(shù)學(xué)解題效率策略，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生思維能力，為更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；思維能力；解題效率；策略

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0053-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：趙靜靜（1984.12-），女，安徽省蒙城人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

與小學(xué)階段相比，初中數(shù)學(xué)知識相對抽象復(fù)雜，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).縱觀初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀，普遍存在學(xué)生基礎(chǔ)知識薄弱、興趣不佳、抽象概括能力不足以及教師教學(xué)方式單一等問題，這些問題嚴(yán)重影響了解題教學(xué)質(zhì)量.為此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)在新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下，結(jié)合學(xué)生學(xué)情從多方面優(yōu)化解題教學(xué)，切實(shí)提升解題教學(xué)效果，深化學(xué)生對所學(xué)知識理解，使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高學(xué)生解題水平［1］.

1 巧用數(shù)學(xué)模型思想，提升解題效率

1.1 構(gòu)建函數(shù)模型解題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“函數(shù)”是重要的教學(xué)內(nèi)容，它能夠反應(yīng)出現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的變化關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用.如計劃決策、居民用電以及投資理財?shù)龋梢詷?gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型，完成問題的解決［2］.

例1 某個城市為了鼓勵居民節(jié)約用水，采取分段計費(fèi)的方式，月用水量不超過20立方米時，按照每立方米2元收費(fèi)，月用水量超過20立方米時，其中的20立方米依然按照2元每立方米計算，超出的部分按照2.6元每立方米計費(fèi).某學(xué)生家第一季度的用水情況如表1所示：

求解這名學(xué)生家本季度一共需要交多少水費(fèi)？

解析 根據(jù)題意可知，采取分段計費(fèi)的方式收取水費(fèi)，需分別構(gòu)建模型，根據(jù)用水量的不同，確定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).因此，可以構(gòu)建

分段函數(shù)模型.假設(shè)家庭的月用水量為x立方米，當(dāng)用水量不超過20立方米時，需要交的水費(fèi)為y1元，超過20立方米，需要交的水費(fèi)為y2元，本季度總水費(fèi)時y元，則y1=2x（0≤x≤20），y2=20×2+2.6（x-20）=2.6x-12（x>20），y是三個月水費(fèi)之和.顯然，對每個月的水費(fèi)進(jìn)行計算，最終完成本季度水費(fèi)的計算.

對于分段、分類型等問題，可以通過構(gòu)建分段函數(shù)模型進(jìn)行解題.在分段函數(shù)模型中，需要明確每個分段函數(shù)的定義域，根據(jù)題意準(zhǔn)確構(gòu)建模型.

1.2 構(gòu)建幾何模型解題

幾何模型是中考數(shù)學(xué)中考查的重要內(nèi)容，學(xué)生需熟悉并且靈活利用幾何模型解決問題，對學(xué)生空間想象能力要求較高.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目類型，構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，完成數(shù)學(xué)問題的解答，提高解題效率［3］.

例2 如圖1所示，△ABC是等邊三角形，AB=6，N是AB上的任意一點(diǎn)，∠BAC的平分線與BC相較于點(diǎn)D，M是AD上的動點(diǎn)，連接MB，MN，求MB+MN的最小值.圖1 例2題圖

解析 本題涉及到動點(diǎn)、最小值等知識，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)之間線段最短”問題進(jìn)行解決.為此，教師可以讓學(xué)生思考“將軍飲馬”模型，讓學(xué)生對問題進(jìn)行思考和解答.找出點(diǎn)B關(guān)于定直線AD的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)C.當(dāng)C，M，N三點(diǎn)在同一條直線上，且CN⊥AB時，MB+MN的值最小.如圖1，過C點(diǎn)作CE⊥AB，垂足為E，則MB+MN的最小值等于線段CE的長.

“將軍飲馬”問題是初中數(shù)學(xué)中常見的幾何模型，通過這樣的模型構(gòu)建與轉(zhuǎn)化，完成了問題解答.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其他幾何模型，為問題解決指引方向.

1.3 構(gòu)建方程、不等式模型解題

方程、不等式是將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的有效模型.利用其解決問題的基本思路是：根據(jù)題意尋找相等或不等關(guān)系，

然后，通過方程或不等式解決數(shù)學(xué)問題.現(xiàn)實(shí)生活中有很多相等或不等關(guān)系，如增長率、打折銷售以及工程問題等，利用模型思想，能夠準(zhǔn)確找出其中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)定合適的未知數(shù)，利用未知數(shù)表示數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的方程或者不等式模型，從而有效解決問題［4］.

例3 某個商店計劃用1 200元購進(jìn)A、B兩種型號的羽毛球拍，其中A型號的羽毛球拍進(jìn)價是每副12元，B型號羽毛球拍的進(jìn)價是每副10元，在銷售時，A的售價是15元/副，B的售價是12元/副，全部售完，獲利是270元.①求解A、B兩種型號的羽毛球拍各進(jìn)了多少副？②如果該商店以原進(jìn)價再次購進(jìn)A、B兩種型號的羽毛球拍，A型號羽毛球拍數(shù)量不變，B型號羽毛球拍數(shù)量是第一次的兩倍，B型號羽毛球拍按照原來的售價銷售，A型號羽毛球拍則降價銷售，當(dāng)兩種羽毛球拍銷售完，想要使得再次購進(jìn)的羽毛球拍利潤不少于340元，A型號羽毛球拍最低售價是每副多少元？

解析 假設(shè)商店購進(jìn)A型號羽毛球拍為x副，B型號羽毛球拍為y副，根據(jù)題意易得12x+10y=1200，（15-12）x+（12-10）y=270.

根據(jù)數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程模型，可求出購進(jìn)兩種型號的羽毛球拍的數(shù)量.在完成問題①的解答之后，對問題②進(jìn)行分析，根據(jù)題意構(gòu)建相應(yīng)的不等式模型，完成求解.

2 巧借數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，提升解題能力

培養(yǎng)學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要目標(biāo)，尤其各種數(shù)學(xué)思想在提升教學(xué)效率和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可小覷作用.學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并感悟數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象化特征，升至初中階段需著重培養(yǎng)思維能力，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣.轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)重要思想之一，簡言之，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想簡化學(xué)生理解知識和解題難度，提升學(xué)習(xí)效率［5］.從另一角度剖析，轉(zhuǎn)化思想即從不同角度將同一數(shù)學(xué)知識或問題轉(zhuǎn)化為易被學(xué)生理解的表達(dá)形式，激發(fā)學(xué)生深層次探究數(shù)學(xué)知識的欲望，最重要是幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)元素之間的邏輯關(guān)系，在解題中對所學(xué)知識展開深入思考，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教師可從兩個方面為學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想：其一，換元轉(zhuǎn)化.該方式旨在化繁為簡，以變量問題為例，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可多個變量問題轉(zhuǎn)為一個變量問題，減小解題難度.同時，該方式還能減少計算量，將無從下手的問題轉(zhuǎn)至常規(guī)問題后再進(jìn)行解答，增強(qiáng)分析與解答問題能力.

例4 若2x2+9xy-5y2=0，求xy的值？

如果學(xué)生運(yùn)用一元二次方程方式解答上述問題則較為復(fù)雜，此時可引入換元轉(zhuǎn)化思想.設(shè)t=xy，方程2x2+9xy-5y2=0左右兩邊同時除以y2，則原方程轉(zhuǎn)化為2t2+9t-5=0，此時題目就轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ姷囊辉畏匠?，學(xué)生易求得t1=-5，t2=12.從而可求得xy=-5或xy=12.

由此可以看出，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用有效降低了問題的難度，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的獨(dú)特與便利之處后就可激發(fā)潛在持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，在后續(xù)學(xué)習(xí)和解題中遇到相同問題也可順利解決.

其二，化同為殊.縱觀初中幾何問題，命題者給出的已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系較為隱蔽，學(xué)生需深入思考后通過添加輔助線解答，

使已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系外顯化，拓寬學(xué)生解題思維，提升學(xué)生解題能力.

例5 在△BCD中，∠C=60°，BC長度為6，BD的長度為8，求三角形的邊CD的長度.

如果學(xué)生運(yùn)用初中數(shù)學(xué)知識解答上述題目則較為復(fù)雜，尤其題目可用信息相對較少，此時可通過添加輔助線，化難為易，使問題順利解決.

解題思路如下：在△BCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E.在△BCE中，易求得BE=33，CE=3.在△BED中，由BE2+DE2=BD2，易得DE=37.從而可知CD=CE+DE=3+37.

由此可見，在解答幾何問題時，添加輔助線可降低問題難度，即將多個難度較大的問題轉(zhuǎn)為較為簡單的小問題后再運(yùn)用所學(xué)知識解決，提升解題能力.

3 巧用數(shù)學(xué)化歸思想，提升解題能力

顧名思義，“化歸”為轉(zhuǎn)化與歸納簡稱.數(shù)學(xué)中的化歸思想是指將較為復(fù)雜或抽象的問題轉(zhuǎn)化為較易被學(xué)生解答的簡單問題，或?qū)⑽粗D(zhuǎn)為已知，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，等等.化歸思想作為初中數(shù)學(xué)解題不可缺少的數(shù)學(xué)思想，在解決相關(guān)問題時運(yùn)用其分析問題，能有效提升學(xué)生解題效率.縱觀初中數(shù)學(xué)解題，有很多方面都體現(xiàn)化歸思想，對此，教師可指導(dǎo)學(xué)生理解化歸思想，巧妙將該思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題.例如在解答不等式問題時就可運(yùn)用化歸思想，提升解題能力.

例6 已知a3=b4=c5，試求a+2b+ca的值.

解析 在此問題中，雖然未知數(shù)的次數(shù)都是1，但是未知數(shù)的數(shù)量較多，采取常規(guī)解題方式比較復(fù)雜，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想，對問題進(jìn)行簡化，將多元轉(zhuǎn)化成一元.設(shè)a3=b4=c5=k，所以得出a=3k，b=4k，c=5k，將三個不同的未知量通過k表示出來，實(shí)現(xiàn)多元向一元的轉(zhuǎn)化，將a、b、c的值代入，得a+2b+ca=3k+5k+8k3k=163.

在以上解題中，有效利用化歸思想，將多個未知數(shù)用含同一個字母的代數(shù)式表示出來，對多元問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過等元抵消，快速計算得出結(jié)果.

總之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生基于不同角度思考和分析問題，改變思維定勢，靈活運(yùn)用多種方式解決問題，提升解題效率，發(fā)展思維能力.教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元解題技巧分析和解決問題，不僅能使學(xué)生學(xué)會應(yīng)用所學(xué)知識與技能解決問題，而且能使學(xué)生對題目所涵蓋的知識形成深刻印象，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，更能幫助學(xué)生掌握多元解題技巧，拓寬解題思路，實(shí)現(xiàn)舉一反三學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：［1］ 花萌.基于創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)一題多解探索［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（30）：158-160.

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［5］ 王福銀.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用［J］.啟迪與智慧（中），2021（09）：41.

［責(zé)任編輯：李 璟］