數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

何朝富

一、引言

隨著課程改革的深入推進(jìn),數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用受到高度關(guān)注。在教學(xué)過程,教師巧妙滲透數(shù)形結(jié)合思想,不但能夠幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò),理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),而且還能提高其數(shù)學(xué)問題解決能力。因此,研究數(shù)形結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用具有現(xiàn)實(shí)意義。

二、數(shù)形結(jié)合思想概述

初中數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)學(xué)和幾何圖形相結(jié)合,通過幾何圖形來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。這種思想方法可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍非常廣泛,可以應(yīng)用于各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域,如平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等。在平面幾何中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解平面幾何概念和平面幾何知識,如相似三角形、勾股定理、圓的性質(zhì)等。在立體幾何中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解立體幾何概念和立體幾何知識,如立體圖形的表面積和體積、圓錐及側(cè)面展開圖等。在三角函數(shù)中,數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)概念和三角函數(shù)知識,如正弦、余弦、正切等。

總之,數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)與解題中常見的思想方法,可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,提升解題正確率。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

三、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

新課標(biāo)對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)建議為“教學(xué)過程教師要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想,積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗”。在常規(guī)課堂教學(xué)環(huán)節(jié),數(shù)學(xué)知識可以視為“明線”,直接在教材當(dāng)中即可找到,而數(shù)學(xué)思想可以視為“暗線”,需要學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識進(jìn)行內(nèi)化,經(jīng)過總結(jié)和提煉才能獲得。初中階段,不同知識的講解數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方式不同。比如,在解析幾何問題教學(xué)方面,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用是將坐標(biāo)法作為核心,利用圖形引領(lǐng)學(xué)生參與代數(shù)運(yùn)算,總結(jié)圖形性質(zhì),輔助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念,明確數(shù)學(xué)算理知識,把握數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系,對于學(xué)生核心素養(yǎng)的培育具有重要影響。

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠?qū)W(xué)生思維空間拓展,對于其數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也有促進(jìn)作用。與此同時,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可指導(dǎo)學(xué)生多角度感受和體驗數(shù)學(xué)知識,在解決問題的時候能夠靈活多變。比如,教師在函數(shù)知識講解階段,可以選擇數(shù)形結(jié)合思想講解函數(shù)概念,以圖形作為切入點(diǎn),輔助學(xué)生快速、準(zhǔn)確掌握函數(shù)概念與性質(zhì)。在數(shù)形結(jié)合應(yīng)用環(huán)節(jié),還能為學(xué)生提供諸多解題思路,在數(shù)和形轉(zhuǎn)化過程提升學(xué)生形象思維與抽象思維。

整體而言,初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)形結(jié)合應(yīng)用價值體現(xiàn)在以下三方面:第一,具備實(shí)用性,在數(shù)學(xué)思想應(yīng)用階段,可從學(xué)生的生活情境角度出發(fā),建立實(shí)物模型,帶領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)量關(guān)系,將抽象數(shù)學(xué)問題直觀呈現(xiàn),讓學(xué)生輕松學(xué)習(xí)和記憶,調(diào)動其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性。第二,具有輔助性,部分?jǐn)?shù)學(xué)概念抽象,學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和掌握相對困難,引入數(shù)形結(jié)合,輔助學(xué)生依托圖形來記憶數(shù)學(xué)公式或者概念,能夠滿足其思維發(fā)展需求。第三,具有發(fā)展性,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以將學(xué)生形象、抽象等思維緊密結(jié)合,指引學(xué)生在數(shù)形互助環(huán)境之下開拓學(xué)習(xí)思路,發(fā)展思維。因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)方面,教師要積極利用數(shù)形結(jié)合輔助學(xué)生理解問題、記憶知識、尋找思路,在學(xué)生腦海當(dāng)中建立完善的數(shù)學(xué)體系,促進(jìn)學(xué)生思維全面發(fā)展。

四、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

(一)不斷學(xué)習(xí),強(qiáng)化對數(shù)學(xué)思想認(rèn)識

在育人過程中,要給學(xué)生一碗水,教師必須要有一桶水。也就是說,教師本身的知識水平十分重要,需要不斷提高自身對知識的認(rèn)識和理解,才能做好育人工作。數(shù)學(xué)教師對于數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識程度決定著該思想在數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中的應(yīng)用成效。當(dāng)教師教學(xué)經(jīng)驗豐富時,能夠抓住數(shù)學(xué)思想的滲透時機(jī),根據(jù)教學(xué)需求,準(zhǔn)確地將數(shù)形結(jié)合引入課堂。因此,教師要不斷學(xué)習(xí),豐富自身理論素養(yǎng),加強(qiáng)閱讀,重點(diǎn)閱讀數(shù)學(xué)思想發(fā)展史相關(guān)書籍,明確數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程,從根源入手,對于數(shù)形結(jié)合形成深刻的認(rèn)識。在課堂授課階段,適當(dāng)引入數(shù)學(xué)典故或者數(shù)學(xué)問題,向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思想,激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣,鍛煉學(xué)生思維能力。

(二)研讀課標(biāo),分析數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)知識聯(lián)系

課標(biāo)和教材是教師教學(xué)過程重要依據(jù),其中凝練優(yōu)秀教育者智慧結(jié)晶。只有教師對課標(biāo)要求有正確的理解,才能明確數(shù)形結(jié)合可以在講解哪些講解階段應(yīng)用,有助于學(xué)生哪些素養(yǎng)的提升,讓課堂教學(xué)目標(biāo)明確,輔助學(xué)生深度學(xué)習(xí)。要做到以上幾點(diǎn),需要教師深入研讀課標(biāo)內(nèi)容,對于幾何直觀、空間觀念等關(guān)鍵詞語有全方位了解,明確數(shù)學(xué)課程具體內(nèi)容和教學(xué)建議,對于教材深入挖掘,梳理其中和數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的內(nèi)容,才能精準(zhǔn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想。

例如,在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域,涉及如下幾種數(shù)學(xué)思想:第一,數(shù)與式,其中數(shù)軸部分涉及利用數(shù)軸表示有理數(shù);絕對值這部分內(nèi)容,涉及利用數(shù)軸理解絕對值含義、相反數(shù)等;實(shí)數(shù)內(nèi)容的講解通過數(shù)軸理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間有一一對應(yīng)關(guān)系;平方差公式講解利用拼圖方式來驗證平方差公式等以上知識都反映出以形助數(shù)思想。第二,方程與不等式,在一元一次方程講解階段,要求學(xué)生利用線段圖對等量關(guān)系進(jìn)行分析,列出方程;二元一次方程和一次函數(shù)內(nèi)容講解,要求學(xué)生根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一次函數(shù)位置關(guān)系,判斷方程組解;不等式解集內(nèi)容講解,要求學(xué)生用數(shù)軸代表不等式或者不等式組解集等以上知識都反映出以形助數(shù)思想。第三,函數(shù),利用圖像表示變量關(guān)系內(nèi)容講解,要求學(xué)生觀察圖像,對于自變量和因變量關(guān)系進(jìn)行分析;函數(shù)部分講解,選擇圖像法代表函數(shù),利用函數(shù)圖像分析函數(shù)關(guān)系;一次函數(shù)圖像內(nèi)容講解,根據(jù)圖像對于正比例函數(shù)、一次函數(shù)之間性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行分析等以上知識點(diǎn)當(dāng)中也反映出以形助數(shù)的思想。

(三)因材施教,尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

從教育心理學(xué)角度分析,不同年級學(xué)生心理特征不同,學(xué)習(xí)特點(diǎn)也各不相同。七年級學(xué)生剛剛升入初中,形象思維處于主導(dǎo)地位;八年級學(xué)生心理和思維逐漸發(fā)展,教學(xué)過程需要教師引導(dǎo),否則當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容過于抽象的時候,可能令學(xué)生產(chǎn)生畏難心理;九年級學(xué)生學(xué)習(xí)壓力較大,能夠利用抽象思維思考問題。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合之前,需要教師對不同年級學(xué)生特點(diǎn)有全方位的了解,選擇差異性教學(xué)方式。七年級學(xué)生教學(xué),優(yōu)先選擇直觀教學(xué)方式,輔助其理解圖像概念,注重學(xué)生動手畫圖這項能力培養(yǎng);八年級數(shù)學(xué)教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生分別從“數(shù)”“形”角度出發(fā),理解所學(xué)內(nèi)容,感受數(shù)學(xué)圖形的直觀性和美觀性,進(jìn)而體會代數(shù)方法的精準(zhǔn)性;九年級數(shù)學(xué)教學(xué),教師可以將數(shù)學(xué)思想和方法系統(tǒng)化向?qū)W生介紹,引領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié),鼓勵其利用畫圖、想象等方法解決問題,對于難以用代數(shù)方法解決的問題,選擇幾何方法解決,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力,根據(jù)學(xué)生特長和優(yōu)勢,指導(dǎo)其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問題。

(四)創(chuàng)設(shè)情境,感受數(shù)形結(jié)合思想

新課標(biāo)明確指出,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中,教師要采取多種措施,培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)興趣,滿足其個性化發(fā)展需求。部分學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識薄弱,本質(zhì)原因在于其對數(shù)形結(jié)合理念和特點(diǎn)理解不夠深入,教師要反思教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)是否能夠滿足學(xué)生需求,教學(xué)方法是否能夠調(diào)動學(xué)生興趣,教學(xué)流程設(shè)計是否科學(xué)合理,精心設(shè)計教學(xué)活動,指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

例如,在講解“平面直角坐標(biāo)系”這部分內(nèi)容時,教師可選擇生活化情境,組織教學(xué)活動?！耙髮W(xué)生在課堂上將桌椅并攏,利用兩根長繩(帶有箭頭標(biāo)記)交錯,將一個學(xué)生作為原點(diǎn),所有學(xué)生都作為坐標(biāo)點(diǎn),將班級分為4個象限,相鄰正坐標(biāo)軸區(qū)域的學(xué)生處于第一象限內(nèi),在課堂進(jìn)行游戲輔助學(xué)生認(rèn)識平面直角坐標(biāo)系”。以游戲活動為載體,讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。幾何知識的講解,也可以利用實(shí)物模型,為學(xué)生提供棱柱、圓柱等學(xué)具,鼓勵學(xué)生探究觀察,尋找事物幾何性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系,積極參與數(shù)形結(jié)合活動,強(qiáng)化應(yīng)用意識,感受數(shù)形結(jié)合思想。

(五)科學(xué)引導(dǎo),輔助學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中,數(shù)學(xué)語言的地位顯著,具體包括字、符號、圖像三種,數(shù)學(xué)語言是表示數(shù)學(xué)領(lǐng)域物體位置關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系的基本形式。在教學(xué)過程中,數(shù)形結(jié)合應(yīng)用即指三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化,解決數(shù)學(xué)問題。部分學(xué)生難以準(zhǔn)確利用數(shù)學(xué)語言對于數(shù)學(xué)問題當(dāng)中數(shù)量關(guān)系或者圖形特點(diǎn)進(jìn)行分析,主要原因是學(xué)生對于數(shù)形之間的表征轉(zhuǎn)化能力相對較弱。事實(shí)上,不同語言的優(yōu)勢不同,文字語言簡練精確,符號語言優(yōu)雅簡明,圖像語言生動形象,將三種語言有機(jī)融合是學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合關(guān)鍵所在。所以,在數(shù)學(xué)課堂上,教師可以重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。

例如,在講解“垂徑定理”內(nèi)容時,使用文字語言進(jìn)行描述,為垂直圓弦的直徑同時平分這條弦和其所對的弧;使用圖形語言進(jìn)行描述,如圖1所示,使用符號語言進(jìn)行描述,AB是圓O的一條弦,CD為圓O的直徑,若CD垂直于AB,垂足為M,則AM和BM相等,弧AC等于弧BC,弧AD等于弧BD。通過數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)語言的簡潔美和外形美,調(diào)動學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用熱情,提高學(xué)習(xí)效率。

圖1 垂徑定理的圖形表達(dá)

(六)習(xí)慣培養(yǎng),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決問題

新課標(biāo)針對初中階段學(xué)生教學(xué)提出如下要求,“掌握圖形性質(zhì)、運(yùn)動規(guī)律、物體位置等特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生空間觀念,運(yùn)用圖形來思考問題,建立幾何直觀”。充分體現(xiàn)以形助數(shù)方法的運(yùn)用。部分學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)圖像解決不等式獲得方程問題能力相對薄弱,選擇的解題方法不夠簡潔,這種情況能夠反映學(xué)生難以利用圖像解決數(shù)學(xué)問題。所以,在日常教學(xué)過程當(dāng)中,教師要給予學(xué)生習(xí)慣培養(yǎng)高度重視,讓學(xué)生能夠根據(jù)問題根據(jù)畫圖,養(yǎng)成認(rèn)真讀圖和善于用圖的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

比如,針對“行程問題”的求解,要求學(xué)生使用線段圖,形象直觀地將速度、時間、路程之間關(guān)系呈現(xiàn)出來,讓等量關(guān)系一目了然;針對函數(shù)問題的求解,要突破代數(shù)運(yùn)算的解題思維,善于利用圖形,在畫圖過程提取有效信息,借助圖像對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析,梳理函數(shù)和方程、不等式之間關(guān)系,深入分析待解決問題,找到最佳解題路徑。教學(xué)過程中,重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決問題的習(xí)慣,用簡單的方法或者思路解決復(fù)雜問題,感受數(shù)形結(jié)合應(yīng)用能夠起到化繁為簡的作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信。

(七)重視基礎(chǔ),強(qiáng)化概念講解數(shù)學(xué)思想滲透

課標(biāo)對于基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)提出明確要求,部分學(xué)生對于教材當(dāng)中的概念和定義學(xué)習(xí)重視度不足,認(rèn)為以上內(nèi)容相對簡單,無須深入研讀,只需要做題階段會運(yùn)用即可。事實(shí)上,數(shù)學(xué)概念和定理當(dāng)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想,夯實(shí)基礎(chǔ)知識能夠幫助學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

(八)全面融入,在不同課型中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)新課講解階段,教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想,以直觀圖形輔助學(xué)生理解和學(xué)習(xí)抽象概念。在講解新的公式和定理的時候,既要關(guān)注學(xué)生對知識結(jié)論能否習(xí)得,又要將數(shù)學(xué)知識實(shí)質(zhì)呈現(xiàn)出來;在講解數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)和法則的時候,應(yīng)用圖形的直觀性進(jìn)行分析和討論,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程,體會從具體向抽象方向發(fā)展的規(guī)律,進(jìn)而對數(shù)形結(jié)合形成初步認(rèn)識。

例如,在“有理數(shù)”知識學(xué)習(xí)階段,針對相反數(shù)這一概念,教師在講解過程可以選擇數(shù)軸輔助教學(xué),便于學(xué)生直觀觀察相反數(shù)特點(diǎn),進(jìn)而理解絕對值相同且符號不同兩個數(shù)即互為相反數(shù),將數(shù)學(xué)概念、直觀圖形之間建立對應(yīng)關(guān)系,直觀呈現(xiàn)數(shù)和形的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力與數(shù)感能力。

在習(xí)題課教學(xué)方面,教師同樣可以選擇數(shù)形結(jié)合思想,先為學(xué)生講解如何在題目中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想思考問題,然后實(shí)踐運(yùn)用。比如,實(shí)數(shù)、數(shù)軸上的點(diǎn)之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系,能夠判斷有理數(shù)大小這類問題;在一元一次方程、二元一次方程求解過程中,教師可以利用函數(shù)圖像法講解;幾何問題若未給出圖形,學(xué)生可以根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)圖形尋找其中隱含的關(guān)系,運(yùn)用正確的方法解決問題。

除此之外,在復(fù)習(xí)課上,教師也可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想輔助教學(xué)。比如,一次函數(shù)內(nèi)容講解以后,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧函數(shù)定義、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二元一次方程等知識,總結(jié)本單元涉及的數(shù)形結(jié)合思想,在學(xué)生了解的基礎(chǔ)上,在解決問題當(dāng)中展開實(shí)際應(yīng)用,提高其解決問題能力,不斷完善學(xué)生的知識體系,使其通過數(shù)形結(jié)合,感受數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。

五、結(jié)語

綜上所述,在初中數(shù)學(xué)課堂上,教師要高度關(guān)注數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的重要性,不斷學(xué)習(xí)豐富自身的知識儲備,研讀課標(biāo)和教材,尋找數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用要點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和興趣特點(diǎn),創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)環(huán)境,讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合應(yīng)用優(yōu)勢,強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)語言之間轉(zhuǎn)化能力,培養(yǎng)其讀圖和用圖習(xí)慣,基于數(shù)學(xué)內(nèi)容講解,將數(shù)形結(jié)合思想巧妙引入課堂,提高課堂教學(xué)效率。