探索數學規(guī)律，體驗智慧快樂

林春妮 張宏蕾

【摘? ?要】“神奇的數字‘9”是通過探索多位數乘9的規(guī)律，對“多位數乘一位數”單元教學內容進行拓展的以數學文化為核心的活動課。學習過程中，學生經歷“觀察、發(fā)現(xiàn)與表達規(guī)律—猜想與交流規(guī)律—驗證與應用規(guī)律”的歸納推理過程，聚焦推理意識與創(chuàng)新意識，在探索規(guī)律的過程中培養(yǎng)獨立思考、嚴謹推理的理性精神，在數學文化的浸潤下實現(xiàn)認知與情感的交融互動，感悟數學的神奇與美妙。

【關鍵詞】數學文化；探索規(guī)律；德育；智育；美育

【教學思考】

“神奇的數字‘9”是以人教版教材三年級上冊“多位數乘一位數”單元的教學內容為載體，通過探索“多位數乘9”的規(guī)律對教材內容進行拓展的以數學文化為核心的活動課，旨在啟發(fā)學生自主探索，培養(yǎng)學生善于觀察、敢于提問和猜想的數學精神，引導學生在探索規(guī)律的過程中創(chuàng)造知識，體驗數學智慧，享受成功的快樂，從而發(fā)展他們的推理意識、創(chuàng)新意識。

“多位數乘一位數”單元設置了4道探索規(guī)律的相關練習。練習十三第18題是星號題，要求學生通過觀察前4個第一個因數是99，第二個因數依次增加1的乘法算式（99×1=99、99×2=198、99×3=297、99×4=396），猜想并驗證99與一位數相乘的規(guī)律：積的首位都比第二個因數少1，末位與首位的和為9，中間一位都是9（從積的大小看，第二個因數與積相加都是相應的整百數，這一規(guī)律更具有一般性）。然后應用規(guī)律直接寫出最后2個算式的積（99×8=、99×9=）。練習十四第12題是星號題，探究項數為奇數時，等差數列的和與中間數個數的關系，即Sn=中間數×n?！罢砗蛷土暋彼伎碱}引導學生發(fā)現(xiàn)多位數乘9加上一位數，結果是各個數位都是1的多位數（1×9+2=11、12×9+3=111、123×9+4=1111）。練習十六第5題讓學生通過觀察前三列數的特征，從而找出第二行的數是第一行數的4倍，上下兩行數成正比例關系的規(guī)律。

教材中呈現(xiàn)的探索規(guī)律練習題均強調讓學生經歷“猜想—驗證”的過程，培養(yǎng)學生歸納推理的能力，使學生感受數學的趣味性，且練習十三的星號題與“整理和復習”的思考題都涉及數字“9”的相關規(guī)律。因此，筆者遵循教材中探索規(guī)律的推理步驟，設計了探索“多位數乘9”規(guī)律的活動課。

基于對數學文化教學資源的理解，教學時，首先，讓學生自主探索，引導他們用自己的語言表達規(guī)律；其次，組織全班交流各種方法，不僅要讓學生發(fā)現(xiàn)形式上的規(guī)律，還要啟發(fā)學生探索規(guī)律的基本原理；最后，對規(guī)律加以驗證，并通過對比滲透優(yōu)化思想。在整個學習過程中，學生經歷了“觀察、發(fā)現(xiàn)與表達規(guī)律—猜想與交流規(guī)律—驗證與應用規(guī)律”的歸納推理過程，養(yǎng)成獨立思考、嚴謹推理的習慣，獲得用數學規(guī)律解決問題的成就感，感悟數學規(guī)律的美好與美妙。除了深挖教材之外，筆者還參考了數學文化讀本中“九九歌”的來歷，既從歷史文化層面激發(fā)學生的愛國情懷和探究欲望，又體現(xiàn)數學與生活的密切聯(lián)系，引導學生欣賞數學的應用價值。

三年級學生已具備有關乘法口訣、乘法的意義和多位數乘一位數運算的知識，積累了觀察、表達與歸納的學習經驗，基于此，筆者綜合《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“能借助計算器進行計算，探索簡單的規(guī)律”的內容要求，制訂了本內容的教學目標。

1.德育目標：（1）了解九九乘法表的歷史故事，激發(fā)民族認同感和自豪感，培養(yǎng)愛國情懷；（2）經歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證”的歸納推理過程，培育獨立思考、嚴謹推理的理性精神。

2.智育目標：（1）立足“多位數乘一位數”“乘法的意義”等知識技能，憑借經驗和直覺發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過歸納和類比推斷猜想規(guī)律，并對規(guī)律加以驗證，得出結論，發(fā)展數感、推理意識和創(chuàng)新意識；（2）通過對比一般筆算與應用規(guī)律的運算，滲透優(yōu)化思想。

3.美育目標：（1）應用規(guī)律得出結論，感受數學規(guī)律帶來的美好，發(fā)現(xiàn)數字“9”的神奇與美妙；（2）通過觀看與“9”有關的傳統(tǒng)文化視頻，體悟生活中處處有數學的智慧。

【教學過程】

v教學模塊1：數學思考

運用數學文化讀本中的“九九歌”情境，介紹九九乘法表的故事，彰顯我國古人的智慧，調動學生的學習興趣；遵照歸納推理過程，圍繞教學目標，以9的乘法口訣引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)并表達規(guī)律，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力，由此制訂任務1和任務2。

任務1：介紹九九乘法表的來歷，引出數字“9”。

（教師播放介紹“九九乘法表”的故事的視頻）

師：看了這個視頻，你們有什么體會？

生：我國古代勞動人民非常聰明，因為中國的九九乘法表領先西方國家600年。

生：作為中國人太幸運了，我感到開心、驕傲、自豪。

師：我們在為祖先的智慧感到驕傲和自豪的同時，也不能忘了把中國古代勞動人民的智慧傳承下去。今天，就讓我們一起來研究與數字“9”相關的數學規(guī)律。

任務2：多角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)數學表達能力。

［核心問題1］觀察9的乘法口訣及算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

教師用課件呈現(xiàn)乘法口訣及算式。

一九得九? ? ? ? ? ? ? ? ?[1×9=9]

二九十八? ? ? ? ? ?[2×9=18]

三九二十七? ? ? ?[3×9=27]

四九三十六? ? ? ?[4×9=36]

五九四十五? ? ? ?[5×9=45]

六九五十四? ? ? ?[6×9=54]

七九六十三? ? ? ?[7×9=63]

八九七十二? ? ? ?[8×9=72]

九九八十一? ? ? ?[9×9=81]

師：仔細觀察乘法口訣算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：第1個因數依次加1。

生：第2個因數都是9。

生：算式的結果是十位上的數字依次加1，個位上的數字依次減1。

生：第2個算式[2×9=18]，乘積十位上的1加個位上的8，和是9，即[1+8=9]；第3個算式3×9=27，2+7=9；第4個算式4×9=36，3+6=9……第9個算式9×9=81，8+1=9。

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生：每個算式的第1個因數和積個位上的數字相加為10。

生：[2×9]表示9個2，把9看成10，2×10表示10個2，計算2×9可以看成2×10－2。

生：我發(fā)現(xiàn)，算式2×9=18與算式9×9=81，前面算式的積是18，后面算式的積是81，十位和個位上的數剛好互換了。算式3×9和算式8×9也一樣。除了1×9，其他幾對都符合這個規(guī)律。

師：同學們都很棒，能從因數和積的關系、乘法的意義等角度發(fā)現(xiàn)并表達規(guī)律。

實施效果：依托九九乘法表的故事，學生切實感受到了中國古代勞動人民的智慧，產生了民族自豪感。在發(fā)現(xiàn)與數字9相關的乘法規(guī)律這一活動中，教師給予學生充足的時間，引導學生觀察、思考，并讓學生進行多角度的交流、討論。這個過程中，學生表達自己觀點，傾聽別人的想法，提高了探究的熱情，提升了用數學語言表達規(guī)律的能力，實現(xiàn)了“習得知識技能”的智育目標和“激發(fā)民族自豪感”的德育目標。

v教學模塊2：數學創(chuàng)造

引導學生在多角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎上，圍繞教學目標，對“2×9=2×10-2”的規(guī)律進行驗證，深刻理解乘法的意義，進而探尋多位數乘9是否具有相同的規(guī)律，直觀感知該規(guī)律比一般筆算更簡便，由此制訂任務3和任務4。

任務3：聯(lián)系乘法意義，強化規(guī)律理解，優(yōu)化思想。

教師出示如下題組，讓學生獨立完成。

9×2=20-2

9×4=40-4

9×6=（? ?）- 6

9×7=（? ?）-（? ?）

9×8=（? ?）-（? ?）

［核心問題2］能嘗試用一句話總結這個規(guī)律嗎？

師：前面的乘法口訣算式竟然有這么多有趣的規(guī)律！現(xiàn)在我們繼續(xù)研究2×9用20-2表示的規(guī)律。從剛才的題目中，你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一句話總結這個規(guī)律嗎？

生：9乘一個數，結果等于這個數的10倍減去這個數。

師：這是通過乘法的意義得出來的，大家都理解了嗎？挑戰(zhàn)一下。

生：對于算式6×9，可以把9看成10，6×10=60，多了6個1，所以60-6=54。

生：對于算式7×9，把9看成10，7×10=70，70-7=63。

生：8×9=80-8=72。

任務4：建立知識聯(lián)系，感悟規(guī)律帶來的簡便美。

［核心問題3］多位數乘9也可以用這樣的規(guī)律嗎？

師：一位數乘9有這樣的規(guī)律，多位數乘9的結果會不會也是如此？我們來一起驗證一下13×9的結果是多少。

生：把9看成10，結果應該是130-13=117。

師：列豎式計算9×13，結果是多少？

生：117。

師：兩位數也有這樣的規(guī)律，那么三位數呢？133×9的結果是多少？

生：把9看成10，133×10=1330，1330-133=1197。

師：我們發(fā)現(xiàn)，一位數、兩位數和三位數都有這樣的規(guī)律。比起列豎式計算，這樣的規(guī)律能幫助我們快速地計算出多位數乘9的結果。

實施效果：在深入研究“9乘一個數，結果等于這個數的10倍減去這個數”這一規(guī)律的過程中，學生能用自己的語言總結規(guī)律，能在具體的算式中清晰地表達出規(guī)律的由來，體會運用規(guī)律的簡便性，體驗到創(chuàng)造知識的快樂，實現(xiàn)了“習得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標、“培育理性精神”的德育目標和“體驗美好”的美育目標。

v教學模塊3：數學欣賞

為了讓學生充分經歷“猜想—驗證”的數學化過程，圍繞教學目標，基于“9的乘法口訣算式中，積個位上的數字和十位上的數字相加是9”這一規(guī)律，設計兩位數與9相乘的表格，啟發(fā)學生進一步合作探究多位數與9相乘之積的各個數位數字之和與9的關系，并借助計算器進行驗證，感悟與9相乘的算式的神奇之處，由此制訂任務5和任務6。

任務5：合作驗證猜想，深化應用意識。

師：我們已經驗證過，一位數乘9，積的各個數位之和是9，那么兩位數乘9也是這樣嗎？

（學生分組觀察兩位數與9相乘的表格并分享發(fā)現(xiàn)，教師巡視指導）

生：我們第1組觀察部分，積的各個數位上的數相加是9。

生：我們第2組觀察部分相加也是9。

生：我們第3組加起來是18。

生：我們第4組也是18。

師：第1組和第2組都是9，第3組和第4組都是18，這個結果是不是有一些規(guī)律？

生：都是9的倍數。

生：繼續(xù)相加，1加8也等于9，最終結果還是9。

師：也就是說兩位數乘9，積的各個數位上的數相加與9有關系。你們能不能有一個大膽的猜想？

生：三位數或多位數與9相乘，積的各個數位上的數之和都是9。

師：這是一個大膽的猜想，我們需要驗證一下。如399×9，積的各個數位上的數之和是多少？

生：我算過了，積是3591，3+5+9+1=18，1+8=9。

任務6：借助計算器應用推理，感悟規(guī)律的美好。

師：我們可以借助計算器來驗證猜想。

（讓學生用計算器進行驗證）

總結：一個數乘9得到的積，積的各個數位上的數之和是9或9的倍數，將這個和各個數位上的數繼續(xù)相加，結果是9。

實施效果：學生在一位數乘9的規(guī)律的基礎上，對多位數乘9的規(guī)律進行了猜想，通過分組觀察兩位數與9相乘的乘法表，交流、總結出兩位數與9相乘的規(guī)律，并推廣到多位數與9相乘的規(guī)律，體現(xiàn)出“大膽猜想，小心求證”的科學精神。整個學習過程以“游戲化”的形式展開，學生能體會到“數學好玩”，實現(xiàn)了“習得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標和“感悟美妙”的美育目標。

v教學模塊4：數學應用

在學生探索了多位數乘9的規(guī)律的基礎上，圍繞教學目標，創(chuàng)編“被9整除的數”的活動，讓學生逆向應用數學規(guī)律解決問題，從而積累數學基本活動經驗，深化創(chuàng)新意識，最后介紹其他學科和生活中的“9”，鼓勵學生保持好奇心，學會用數學的眼光觀察事物，由此制訂任務7和任務8。

任務7：逆向應用，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

［核心問題4］寫出一個數，要求這個數除以9沒有余數，這個數要具備什么條件？

師：一個數除以9沒有余數，這個數有什么特點？

生：這個數一定是9或9的倍數，可以看這個數各個數位上的數字相加是不是9或是9的倍數。

師：你來嘗試編一個數，驗證一下這個數是否滿足除以9沒有余數。

生：我編了一個數是162，因為這個數各個數位上的數字相加是9（1+6+2=9）。

師：如果這個數是1258，它還滿足要求嗎？

生：不滿足。因為這個數各個數位上的數字相加是16（1+2+5+8=16），不是9或9的倍數。

師：我們借助計算器來確定一下1258除以9有沒有余數。

生：有余數。

師生小結：一個除以9沒有余數的數一定是9或者9的倍數，并且每一個數位上的數字加起來都是9或者9的倍數。

任務8：文化滋潤，體悟生活中數學智慧的美妙。

師：結合今天學習的內容，如果用一個詞來形容“9”這個數字，你會用什么詞？

生：神奇。

師：“9”這個數字有很多神奇的地方，我們一起欣賞語文以及生活中的 “9”。

（教師播放相關視頻）

師：通過觀看視頻，我們發(fā)現(xiàn)9還有其他奇特之處，希望大家在生活中，能夠繼續(xù)用發(fā)現(xiàn)美的眼睛探索更多的數字美。

實施效果：通過創(chuàng)編“被9整除的數”的活動，實現(xiàn)了規(guī)律的逆向應用，提升了學生解決問題的能力。在總結時，學生用“神奇”來形容數字9，情感得到共鳴，由此實現(xiàn)了“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標和“體悟數學美妙”的美育目標。

【教學意蘊解析】

教師利用教材中的練習題進行擴展與創(chuàng)造，形成了這樣一節(jié)以數學文化為核心的活動課。本課內容以數字“9”為知識生長點，以“9”與一個數相乘的規(guī)律為延伸點，圍繞4個核心問題落實了學生理性精神的培養(yǎng)，提高了學生的推理意識。

教學時，教師抓住數字“9”的相關規(guī)律特征，對教材進行二度創(chuàng)造，并對相應的數學文化資源進行挖掘?；诖耍龑W生經歷“觀察—猜想—驗證”的歸納推理過程。整個學習過程彰顯出以下特色：（1）核心素養(yǎng)導向。整節(jié)課層層遞進、環(huán)環(huán)相扣，讓學生先在數學思考模塊中分享9乘一位數的發(fā)現(xiàn)，然后在數學創(chuàng)造以及數學欣賞模塊中加以驗證和擴充，最后在數學應用模塊逆向應用規(guī)律，逐步發(fā)展學生的歸納能力、推理意識以及創(chuàng)新意識。（2）認知與情感交融。在數字9規(guī)律的探究過程中，全班學生浸潤在數學文化中進行欣賞，由衷感嘆數字9的神奇，并在完成對9的規(guī)律的認知內化后，自主形成對數字9的美的感知。

學生參與發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索規(guī)律的數學活動，并在教師引導下堅持驗證規(guī)律的嚴謹意識，正是我們所倡導的數學文化內核的充分體現(xiàn)。在數學美的熏陶下，學生獲得情感的共鳴和思維的啟迪，這種情感喚醒了學生數學學習的原動力，促使學生產生運用規(guī)律并嘗試自己創(chuàng)造規(guī)律的飽滿熱情?？傮w上，本節(jié)課的內容遵循數學共同體創(chuàng)造文化成果的理念，使學生在數學文化德育、智育和美育的共同滋潤下，獲得想象力和智力的滿足，由此營造了學習數學的愉快過程。

（佛山科學技術學院）