多角度探尋規(guī)律，深度理解“分”與“配”

楊豫暉 龍江麗

【摘? ?要】“乘法分配律”的學習，可以幫助學生鞏固已有的運算定律知識，建立乘法與加法的聯系，為后續(xù)學習奠定基礎，對提高學生的知識技能，實現知識的結構化有很大幫助。教師從德育、智育、美育三個維度深挖教材信息，并進行整體化處理，遵循“數學思考—數學創(chuàng)造—數學欣賞—數學應用”的模式設計并實施了“乘法分配律”的教學；利用數學文化搭橋，聚焦核心素養(yǎng)和四基四能，提升了活動探究的“含金量”，切實激活并保持了學生學習的主體性，實現了知識的結構化。

【關鍵詞】數學文化；乘法分配律；德育；智育；美育

【教學思考】

“乘法分配律”是人教版教材四年級下冊“運算律”單元中的教學內容，它是在學生學習了整數四則運算以及加法、乘法交換律與結合律的基礎上，對運算定律的進一步探究。乘法分配律的學習，可以幫助學生鞏固已有的運算定律知識，建立乘法與加法的聯系，為后續(xù)運算定律在小數、分數中的應用，小數、分數混合運算（簡便運算），式與方程等內容的學習奠定基礎，對提高學生的知識技能，實現知識的結構化有很大幫助。

教材編排了“分組植樹活動”的教學情境，以“一共有多少名同學參加了這次植樹活動”為核心問題展開討論。接著展示了兩種不同的計算思路，一種是先計算小組人數再乘以組數，另一種是分別計算植樹與澆樹的人數再算總人數，引導學生觀察和分析兩種運算算式的特征及意義，引出乘法分配律，并嘗試用字母表示規(guī)律。在練習環(huán)節(jié)，“做一做”中設置了2道題目：第1題為判斷題，注重形式表達的認識與強化，其中前2個算式分別設置了去括號時沒有正確分配、改變運算符號等錯誤，第3個算式為乘法分配律的逆運算；第2題是結合兩位數乘兩位數的筆算過程，思考其中蘊含的乘法分配律。

基于對數學文化教學資源的理解，筆者對本內容中的數學文化元素進行了相應的挖掘和處理。首先，教材呈現了觀察、歸納、總結規(guī)律的過程，可以引導學生意識到數學知識的獲得需要經歷嚴謹且有邏輯的探究，這屬于德育資源中的理性精神。其次，教材引導學生通過列算式解決問題，發(fā)現兩種運算算式的意義關聯，體驗由具體到一般的抽象過程，從而引出乘法分配律，提升學生的數感和符號意識素養(yǎng)；引導學生通過練習題進行辨析，分析筆算乘法與乘法分配律的步驟、算理，發(fā)現二者的聯系，促進學生對乘法分配律的深入理解，滲透歸納、數形結合、聯系的數學思想，這些屬于智育資源。最后，用字母表示乘法分配律，體現了數學符號語言的簡潔美，這屬于美育資源。

在學習加乘法交換律和結合律時，學生積累了“具體例子—表象化模型—符號表征”的探究經驗，為本內容的學習奠定了基礎?？紤]到該階段的學生正處于從具體思維向抽象思維過渡的關鍵時期，需要借助直觀具體來歸納數學規(guī)律，筆者綜合《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出的“探索并理解乘法對加法的分配律，能用字母表示運算律”的內容要求，制訂了本內容的教學目標。

1.德育目標：在發(fā)現、驗證乘法分配律的過程中，感受數學發(fā)現的嚴謹與理性，養(yǎng)成嚴謹縝密的思維習慣，培育理性精神。

2.智育目標：（1）通過列式、觀察、猜想，發(fā)現乘法分配律并用符號表示，發(fā)展數感、符號意識等核心素養(yǎng)；（2）多角度理解乘法分配律，并會應用乘法分配律進行一些簡便運算，促進數學知識的結構化。

3.美育目標：列算式找規(guī)律，結合乘法交換律、結合律等知識，類比歸納出乘法分配律的符號表征，感受數學的美觀。

【教學過程】

v教學模塊1：數學思考

受《數學文化讀本》中“裝修衛(wèi)生間”情境的啟發(fā)，且教學對象是佛山本地學生，筆者對“分組植樹活動”這一教學情境進行了二度創(chuàng)造，將陶瓷這一當地特色產業(yè)作為教學背景，創(chuàng)設了“校園鋪瓷磚”教學情境，圍繞教學目標，開展計算瓷磚數量的活動。一方面，突出學生的校園主人翁意識；另一方面，便于學生利用幾何圖形直觀感受乘法分配律的意義，凸顯數形結合思想對數學學習的重要意義。由此制訂了任務1和任務2。

任務1：創(chuàng)設“校園鋪瓷磚”教學情境，借助主題圖引導學生提出問題、解決問題，初步感知數形結合思想。

師：如果邀請你當佛山的宣傳大使，你會介紹佛山的哪些特色呢？

生：陶瓷、瓷磚、舞獅、詠春、粵劇，還有特色小吃雙皮奶。

師：今天我們就從佛山有名的陶瓷展開學習。為了把校園裝飾得更加美麗，學校從瓷磚廠購進一批黃色瓷磚，用以裝飾校園文化墻。如圖1所示，工人師傅已經鋪好了一部分。仔細觀察這幅圖，你能提出什么數學問題？

生：一共鋪了多少塊瓷磚？

生：已經鋪了多少塊瓷磚？

生：還需要鋪多少塊瓷磚？

生：校園文化墻一共要鋪多少塊瓷磚？

［核心問題1］已經鋪好的兩面墻一共鋪了多少塊瓷磚？

師：你是怎么想的？

生：我先算左面墻的瓷磚數：[6×5=30]（塊）。再加上右面墻的瓷磚數：[8×5=40]（塊），然后把兩個部分相加：[30+40=70]（塊）。

生：把左、右兩面墻已鋪瓷磚的列數相加：[6+8=14]（列）。再乘每一列的瓷磚數，得出一共鋪了[14×5=70]（塊）。

任務2：引導學生觀察兩個算式，尋找關聯，分析“算式不同，結果相等”的原因，感受數學的統(tǒng)一美。

師：仔細觀察這兩個算式，你發(fā)現了什么？

[6×5+8×5=70]? ?（6+8） [×5=70]

生：兩個算式不一樣，但計算結果是一樣的。

［核心問題2］為何兩個算式不同，所得的結果卻相等，你能嘗試分析這兩個式子的結果相等的原因嗎？

生：因為[6×5]可以表示6個5相加，而[8×5]可以表示8個5相加。[6+8=14]，相當于14個5相加。

師：他運用了乘法意義和乘法交換律來解釋，還有哪個小組有不一樣的想法？

生：右邊的算式是把文化墻看成一個整體，然后直接把整體算出來。而左邊的算式是把它拆成兩部分，分別算出來再相加。

師：所以把它看成整體和拆成兩塊計算已鋪的瓷磚數有什么關系？

生：結果是一樣的。

師：同學們結合圖形解釋了兩個算式不同，但得數卻一樣，即（6+8）[×5=6×5+8×5]。在這里我們利用圖形將問題直觀化了，這能輔助我們更好地分析問題。這個過程中運用到了數形結合思想。

實施效果：以瓷磚這一本土文化為背景提出數學問題，極大地激發(fā)了學生的探究熱情，拉近了數學與生活的距離。課堂中，學生踴躍提出自己的數學問題，結合抽象出的幾何圖形，從整體和部分兩個角度解決了“為何兩個算式不同，所得的結果卻相等”這一核心問題，并在過程中運用乘法的意義進行解釋，建立起新舊知識之間的聯系。這在一定程度上提升了學生分析問題的能力，實現了“習得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標。

v教學模塊2：數學創(chuàng)造

小學四年級學生的思維正處于由具體向抽象過渡的階段，教學模塊1基于兩個具體算式之間的聯系，結合圖形引導學生思考等式兩邊算式的意義。教材展示了根據一組具體算式探究乘法分配律的過程，基于此，筆者對教材進行二度創(chuàng)造，引導學生繼續(xù)列算式，尋找共性，歸納規(guī)律，充分體現合情推理的過程，重視學生嚴謹、理性思維的培養(yǎng)。圍繞教學目標，滲透理性思維，使學生經歷從解決具體問題到找到“抽象化”“一般化”規(guī)律的過程，從而理解乘法分配律的實質。由此制訂了任務3和任務4。

任務3：繼續(xù)鋪瓷磚，引導學生列等式找規(guī)律，滲透“聯系”的思想。

師：如果工人師傅繼續(xù)鋪瓷磚，類似這樣的等式還有沒有呢？請你列出等式。

生：（6+9）[ × 5=75]（塊）。

生：[6×5+9×5=75]（塊）。

生：也就是（6+9）[×5=6×5+9×5]。

師：工人叔叔繼續(xù)鋪瓷磚。說說你列的等式是什么樣子的。

生：（6+9）[×5=6×5+9×5]。

生：（6+10）[×5=6×5+10×5]。

生：（6+11）[×5=6×5+11×5]。

［核心問題3］請你仔細觀察這些等式，它們有什么規(guī)律？

（學生獨立思考，教師巡視指導，小組交流發(fā)現的規(guī)律）

生：兩邊得數依次加5。

師：兩邊得數依次加5的原因是什么？

生：因為多了一列。

師：剛才的同學通過縱向觀察得到了規(guī)律，那橫向有沒有什么規(guī)律？

生：都有乘5。

生：算式的左邊都是把6和另一個數加起來再乘5，而右邊是把括號里面的數拆開，然后依次乘5。

生：我發(fā)現右邊的算式比左邊的算式更簡便一些。因為左邊的算式是兩位數乘一位數，而右邊的算式是一位數乘一位數再相加。

任務4：總結規(guī)律，感知乘法分配律，結合實例體會乘法分配律的實質。

師：來看看這個等式，（6+9）[×5=6×5+9×5]。兩個數的和，是誰和誰的和？

生：6和9的和。

師：和同誰相乘？

生：同5相乘。

師：把這兩個加數拆開，依次和誰相乘？

生：依次和5相乘，然后再相加。

（同桌互相說說其他算式的計算規(guī)律，教師巡視指導）

師：我們可以說，兩個數的和與一個數相乘，可以先把兩個數分別與這個數相乘，再相加，結果不變。

實施效果：教師通過繼續(xù)列舉鋪瓷磚的算式，讓學生在縱向和橫向觀察中發(fā)現等式左右兩邊的規(guī)律，初步感知“分”與“配”，初步引出乘法分配律的雛形，并感受到因“創(chuàng)造”知識而獲得的快樂，實現“培育理性精神”的德育目標。

v教學模塊3：數學欣賞

數學語言能夠將復雜的文字簡單化。在前面的探究中，學生都是采用較為復雜的文字語言和圖形語言對規(guī)律進行說明。本教學模塊在教材直接給出用字母表示的基礎上，活用教材，圍繞教學目標，設計開放題，引領學生用喜歡的方式表示發(fā)現的規(guī)律，并通過類比舊知的方法，引導他們用字母表示所發(fā)現的規(guī)律。由此制訂了任務5和任務6。

任務5：用多種方式表達規(guī)律，通過類比獲得乘法分配律的字母表達式。

［核心問題4］你能在練習紙上用你喜歡的方式表示這個規(guī)律嗎？

（學生獨立表示規(guī)律，教師巡視搜集學生作品，如圖2所示）

師：大家很聰明，用文字、符號和字母等不同的方式表示出了規(guī)律。這個規(guī)律就是我們這節(jié)課學習的乘法分配律。

師：我們來一起觀察這幾種表達式，哪一種方式最簡單呢？

生：用字母表示最簡單。

師：想想前面所學的乘法交換律和結合律都是用什么表示的。

生：用小寫字母。

師：如果用小寫字母表示乘法分配律，應該怎么寫？

生：（a+b）[×c=ɑ×c+b×c]。

師：通過對算式的觀察有所發(fā)現，總結規(guī)律，得到乘法分配律的表達式為：（a+b）[×c=][ɑ×c+b×c]。

任務6：用乘法分配律進行運算，加深理解，感悟數學符號語言的簡潔美。

練習1：下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。

① （19+28）[×56=19×56+28]? ? ? ? ?（? ? ）

② 32×（7×3）[=32×7+32×3]? ? ? ? ?（? ? ）

③ [64×64+36×64=]（64+36）[×64] （? ? ）

練習2：運用乘法分配律進行計算。

（4+2）[×25]

（4+8）[×125]

[16×91]

[125×81]

練習3：[25×12]，請大家列豎式計算。

（學生獨立完成練習，教師巡視指導，對練習3進行討論）

師：利用乘法分配律，[25×12]可以寫成什么形式？

生：[25×2+25×10]。

生：[25×（2+10）]。

師：觀察[25×12]的豎式運算和乘法分配律的運算形式，你發(fā)現了什么？

（學生進行小組交流，表達自己的想法）

生：[25×12=25×]（2+10）[=25×2][+25×][10]，其

中，25×2、25×10的計算，和豎式運算中把12分成10和2分別去乘25是一樣的（如圖3）。

實施效果：學生都用自己喜歡的方式表示了所發(fā)現的規(guī)律，并成功類比乘法交換律、結合律的表達式，選擇用字母表達式表示乘法分配律。在練習中，練習1、練習2在數學應用中強化學生對乘法分配律的辨識，大多數學生都能夠很好地完成，可見學生頭腦中已經形成了對乘法分配律的穩(wěn)定認知；練習3是通過師生互動一起完成的，學生從中發(fā)現了乘法筆算與乘法分配律的關系，實現了“感受美觀”的美育目標和“發(fā)展核心素養(yǎng)”“習得知識技能”的智育目標。

v教學模塊4：數學應用

在學習運算定律的基礎上，面對實際問題，如何正確選擇合適的方法解決問題對學生來說極為重要。因此，圍繞教學目標，設計了可以自行選擇運算方法的題目，讓學生通過對比解決問題的不同方法，明白不同的運算方法適用于不同的情境，需要根據實際情況選擇最優(yōu)的方法，從而達到完善學生知識體系的效果。由此制訂了任務7和任務8。

任務7：以例題比較乘法分配律和豎式運算，感悟解題方法的多樣性，引導學生擇優(yōu)解題，培養(yǎng)理性精神。

教師出示題目：125×16；102×22；146×34。

師：看看這些題目，猜一猜用乘法分配律和用豎式計算哪種方法算得更快?，F在請兩名同學上臺來，一個直接使用豎式計算，另一個運用乘法分配律計算，看看他們誰算得快。

師：兩名同學分別用兩種不同的方式計算這些題目，從中你有什么發(fā)現？

生：“125×16”運用乘法分配律計算更快，125×16=125×（10+6）=125×10+125×6；“102×22 ”使用兩種方法差不多快；“146×34”使用乘法分配律后還要進行兩次豎式計算，因此用豎式計算比較快。

師：125×16還可以用什么方法來計算？

生：125×16=125×（8×2）。

師：用到了乘法結合律。因此，在做計算題時，我們要依據題目的特征選擇最為簡便的計算方法。

任務8：談收獲提猜想，發(fā)散思維，為后續(xù)學習奠定基礎。

師：這節(jié)課我們一起學習了什么？誰來分享一下你的收獲？

生：學習了乘法分配律。

生：學會了歸納、數形結合、聯系的數學思想。

師：結合乘法分配律，你還有哪些大膽的猜想？

生：有乘法分配律，那么有除法和減法分配律嗎？

師：這是一個很大膽的猜想，這個問題我們課后一起研究。

實施效果：比賽游戲成功激發(fā)了學生的競爭意識。學生從比賽游戲中感悟到了不同運算方法的便捷之處，從而明白在解題的時候要選擇最優(yōu)的方法。在課堂總結中，學生積極分享收獲，繼續(xù)進行發(fā)散性思考，并提出了新的猜想，為以后的學習埋下伏筆，實現了“培育理性精神”的德育目標和“滲透思想方法”的智育目標。

【教學意蘊解析】

這是一節(jié)以“校園鋪瓷磚”情境引領學生經歷“發(fā)現并提出問題—解決問題—發(fā)現規(guī)律—歸納總結—認知結構化”過程的數學文化課。整節(jié)課以4個核心問題為主線，引導學生發(fā)現并從乘法的意義、圖形面積等角度理解乘法分配律，通過類比乘法交換律、結合律的字母表達式，將乘法分配律符號化、數學化，借助對比運算的游戲，發(fā)現乘法筆算與乘法分配律的內在聯系。

本教學適當對教材進行了二度創(chuàng)造，并深入挖掘了教材中蘊含的豐富的數學文化元素。比如，運用字母表達乘法分配律可進一步挖掘美育資源，即啟發(fā)學生用文字、圖形、符號等自己喜歡的方式來表達規(guī)律，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造才能，在此基礎上，引導學生通過對比、類比其他運算定律的表達式，發(fā)現用字母表示乘法分配律的簡潔性，從而深刻體會用字母表示運算定律的簡潔美。這與《課程標準》倡導的“欣賞數學語言的簡潔與優(yōu)美”具有一致性。

綜上所述，從對教材的具體處理及實施過程中的效果來看，本節(jié)數學文化課相關資源的開發(fā)和課堂實施具備有效性。挖掘和融入數學文化資源，使得本內容彰顯了以下特色：（1）切實激活并保持了學生學習的主體性。例如，在數學思考模塊，教師充分利用學生熟知的本地特色產業(yè)展開教學；在數學欣賞模塊，給予學生足夠的時間去發(fā)散思維，讓學生用自己喜歡的方式表達規(guī)律，享受成功“創(chuàng)造”知識的樂趣；在數學應用模塊，借助比賽游戲讓課堂氛圍再度高漲，激發(fā)學生想“露一手”的興趣，再度烘托了高漲的課堂學習氛圍。（2）利用數學文化搭橋，聚焦核心素養(yǎng)和“四基”“四能”，提升了活動探究的“含金量”。例如，在探究乘法分配律時，學生經歷猜想、驗證的知識生成過程，積累了從具體到抽象的探究活動經驗、一定的感性知識、情緒體驗及應用意識。又如，在課堂練習中，教師側重于考查學生對三種運算方式的理解，達到讓學生在不同的問題中選擇最優(yōu)的運算方式的目的，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。

在教師的引領下，學生經歷新知的創(chuàng)造過程，多角度探尋規(guī)律，深度感知“分”與“配”的關系，逐步形成理性且嚴謹的數學思維，實現由具體到一般的思維轉變，并從中感知數學符號語言的簡潔美。這正是我們所倡導的數學文化內核的充分體現，準確地實現了數學文化的德育、智育、美育的協(xié)同作用，凸顯了數學課程的綜合育人功能。

（佛山科學技術學院）