單元整體視域下的菱形概念教學(xué)

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師基于單元整體視角，以大概念所蘊(yùn)含的思想和方法為驅(qū)動，激活學(xué)生的知識儲備，創(chuàng)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，建立新概念的生成模型，為學(xué)生鋪設(shè)探究新概念的路徑；學(xué)生在有向開放的探究過程中生成概念，能培養(yǎng)高階思維，發(fā)展核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 三會思想；單元整體；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實(shí)踐研究”（D/2021/02/136），徐州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“‘三會思想統(tǒng)領(lǐng)下初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的立體化建構(gòu)與實(shí)踐探索”（GH14-21-L478）.

作者簡介：魏宇亭（1981—），本科學(xué)歷，中小學(xué)高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲江蘇省第四屆鄉(xiāng)村骨干教師優(yōu)秀課一等獎、徐州市優(yōu)質(zhì)課一等獎、徐州市帶頭優(yōu)師、邳州市名師等獎項和榮譽(yù).

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：改變過去注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)［1］. 教師要立足單元整體宏觀視角，以單元核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，貼合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；要立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生以單元核心概念所蘊(yùn)含的思想和方法為驅(qū)動力，建構(gòu)新概念的生成模型，用知識催生知識、用方法催生方法，形成生成概念、運(yùn)用概念、回歸概念的教學(xué)閉環(huán). 在單元整體教學(xué)的提挈下，選用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，能有效避免教學(xué)碎片化. 學(xué)生在有向開放的探究活動中，激活知識儲備，建立新概念，重構(gòu)概念群，感悟數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含的思想和方法，感受概念螺旋生成過程，發(fā)展高階思維以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 基于上述對概念教學(xué)的理解，筆者在徐州市級教研活動中，執(zhí)教蘇科版八下（以下簡稱“教材”）“9.4? 矩形、菱形、正方形”第3課時，得到與會師生的好評.

教材分析

1. 基于單元整體的教學(xué)分析

數(shù)學(xué)核心概念是一個擁有“核心”的“概念群”，是由核心概念及其生長出來的子概念組成的知識體系［2］. 本單元的標(biāo)題為“中心對稱圖形——平行四邊形”，教材分為5節(jié)，前兩節(jié)分別為“圖形的旋轉(zhuǎn)”與“中心對稱與中心對稱圖形”. 對教材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析，中心對稱與中心對稱圖形是本章的核心概念，子概念為平行四邊形、矩形、菱形、正方形等，其中平行四邊形又是其他幾類圖形的核心概念. 基于概念的群屬關(guān)系、課堂教學(xué)的適切度，本課選用中心對稱為單元核心概念，以其所蘊(yùn)含的特殊的旋轉(zhuǎn)思想和方法為驅(qū)動力，呈現(xiàn)由三角形形成平行四邊形與矩形的范例，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境，建構(gòu)菱形的概念.

2. 基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的教學(xué)分析

本課教學(xué)，教師更樂意選用生活現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生從生活現(xiàn)象中抽象出菱形，進(jìn)而探究其概念和性質(zhì).這一方式，有交融生活與數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，但容易孤立概念，偏離單元整體，造成知識碎片化的現(xiàn)象. 基于單元整體視域俯察章節(jié)體系，引導(dǎo)學(xué)生以核心概念為驅(qū)動力，選用數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，建立核心概念與子概念的線性關(guān)系，形成完備的概念體系，能有效規(guī)避上述問題.

學(xué)生在七年級學(xué)過三角形的概念和性質(zhì)，本單元已建立中心對稱、平行四邊形等概念，具備以中心對稱這一核心概念為驅(qū)動力，建構(gòu)菱形概念的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí). 基于單元整體，以中心對稱為核心概念，立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，建立概念生成模型，鋪設(shè)有向開放的探究路徑，繪制成本課教學(xué)結(jié)構(gòu)圖（如圖1所示）.

教學(xué)設(shè)計

1. 立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

（1）導(dǎo)語：數(shù)學(xué)源于生活，也源于數(shù)學(xué)本身，前幾節(jié)課，同學(xué)們學(xué)習(xí)了平行四邊形與矩形的概念和性質(zhì)，知道矩形是特殊的平行四邊形.今天，我們從另一個視角，再認(rèn)識這兩種圖形.

（2）如圖2所示，用幾何畫板演示三角形的旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生觀察并思考：

①請用數(shù)學(xué)語言，描述這種圖形運(yùn)動. ②你有哪些發(fā)現(xiàn)？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心所在的特殊位置，由三角形到平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程.

（3）設(shè)問：可獲得怎樣的結(jié)論？

（4）如圖3所示，用幾何畫板演示直角三角形的旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生觀察并思考：①從旋轉(zhuǎn)的要素和結(jié)果來看，你有哪些發(fā)現(xiàn)？②與圖2相比，有哪些區(qū)別和聯(lián)系？③在直角三角形中，以任一邊的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形組成的一定是矩形嗎？為什么？

設(shè)計意圖? 通過旋轉(zhuǎn)，動態(tài)演示由三角形生成平行四邊形的過程，運(yùn)用先行組織者技術(shù)，喚醒學(xué)生積累的知識和方法，創(chuàng)設(shè)從三角形與旋轉(zhuǎn)中心的特殊性入手，探究菱形概念與性質(zhì)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境，以中心對稱這一核心概念為驅(qū)動力，厘清核心概念與子概念的從屬關(guān)系.

2. 基于單元整體，生成菱形概念

（1）設(shè)問：直角三角形是以角分類的特殊三角形；若以邊分類，有什么樣的特殊三角形？

（2）追問：基于特殊性考慮，旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)定在什么位置？

（3）作圖：如圖4所示，畫出以等腰三角形底邊中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°后的圖形.

（4）設(shè)問：原三角形與旋轉(zhuǎn)后的三角形組成了什么圖形？

（5）設(shè)問：請用自己的語言描述該圖形的特征，并說明理由.

（6）討論歸納菱形概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

設(shè)計意圖? 學(xué)生基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，建立探究菱形概念的模型，通過作圖，親歷菱形生成的過程；抓住等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，形成菱形概念.

3. 運(yùn)用概念模型，探究菱形性質(zhì)

（1）設(shè)問：等腰三角形具有哪些特殊性質(zhì)？

（2）設(shè)問：猜想菱形會有哪些特殊性質(zhì)，并說明理由.

（3）追問：菱形的特殊性與等腰三角形的特殊性有什么聯(lián)系？

（4）小結(jié)菱形的性質(zhì).

（5）師生互動，用三種語言描述菱形的特殊性質(zhì)（見表1）.

（6）追問：如圖5所示，在菱形中發(fā)現(xiàn)了哪些特殊的三角形？它們之間有什么關(guān)系？

（7）追問：菱形是中心對稱圖形嗎？是軸對稱圖形嗎？請說明理由.

設(shè)計意圖? 如圖6所示，以單元整體為引擎，以學(xué)生積累的等腰三角形知識以及中心對稱思想方法為數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，在核心概念的驅(qū)動下，催生菱形的特殊性質(zhì).

4. 舉一反三變式，鞏固運(yùn)用概念

（1）例題教學(xué).

出示：如圖7所示，木制衣帽架由3個全等的菱形構(gòu)成，在A，E，F(xiàn)，C，G，H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離，并在B，M處固定. 已知菱形ABCD的邊長為13 cm，要使兩排掛鉤間的距離為24 cm，求B，M之間的距離.

①要求學(xué)生獨(dú)立思考，尋找解決問題的方法.

②組織學(xué)生小組合作，隨后分組展示解題思路.

③師生互動完成求解，形成將菱形轉(zhuǎn)化為直角三角形的解題思路，體驗(yàn)化歸思想.

（2）變式教學(xué).

①在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的邊長.

②在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的周長.

③在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的面積.

（3）提煉求菱形面積的方法.

設(shè)計意圖? 運(yùn)用菱形概念解決實(shí)際問題，通過變式教學(xué)，多維度搭建數(shù)學(xué)與生活的通道，拓展探究空間，發(fā)展學(xué)生以“三會”為代表的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5. 回歸生活現(xiàn)實(shí)，完善概念體系

（1）如圖8所示，播放PPT，欣賞生活中的菱形.

（2）活動：學(xué)生列舉生活中常見的菱形.

（3）組織學(xué)生從概念、數(shù)學(xué)思想方法等方面總結(jié)本課.

（4）以搶答的形式，完成課堂檢測和鞏固.

（5）課后思考：用本課的探究思路，嘗試獲取正方形的概念和性質(zhì).

設(shè)計意圖? 向?qū)W生展示含菱形的圖片，引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中常見的菱形，在生活現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的交融中，具象菱形概念，建立并完善概念體系，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維；在解決問題的過程中，激發(fā)單元整體教學(xué)的張力，形成完整的教學(xué)閉環(huán).

6. 板書設(shè)計

見圖9.

教學(xué)反思

1. 整體統(tǒng)領(lǐng)部分，核心駕馭群屬

基于單元整體建構(gòu)概念教學(xué)，應(yīng)從整體性、關(guān)聯(lián)性、獨(dú)立性去分析單元與課時之間的關(guān)系，用整體統(tǒng)領(lǐng)部分，把脈某一概念的前承與后續(xù)；用核心概念駕馭群屬，厘清上下位關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)化的概念群，達(dá)成化部分為整體，聚零散成群屬，避免知識碎片化現(xiàn)象的產(chǎn)生. 宏觀分析，初中數(shù)學(xué)可分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三大領(lǐng)域；中觀分析，教材的每章是單元領(lǐng)域，它們從屬上述三大領(lǐng)域；微觀分析，在單元領(lǐng)域中，由核心概念統(tǒng)領(lǐng)概念群，核心概念是觀念、策略、方法，是開展單元整體教學(xué)的切口，起著輻射整體、提挈下位的作用，用核心概念的思維和方法建構(gòu)新概念教學(xué)，是開展單元整體教學(xué)的路徑之一.

分析本章的教材結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，它先從生活現(xiàn)實(shí)抽象出平行四邊形及矩形的概念，然后直接告知菱形與正方形的概念，之間的跨度較大，若就概念教概念，易偏離單元整體目標(biāo)、忽視核心概念的價值. 基于上述所言，本課從中心對稱這一核心概念中汲取思想和方法，創(chuàng)設(shè)由三角形生成平行四邊形和矩形的情境，引導(dǎo)學(xué)生用批判性思維審視情境，以核心概念為驅(qū)動力，快速激活知識儲備，形成由等腰三角形生成菱形、在菱形中發(fā)現(xiàn)特殊三角形的互逆視角，建立探究菱形概念與性質(zhì)的教學(xué)模型.

2. 立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，汲取探究力量

數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所積累的知識和方法，在核心概念的引領(lǐng)下，將數(shù)學(xué)思想方法、概念的生長點(diǎn)、概念群屬關(guān)系、解決問題的通法、學(xué)生學(xué)業(yè)水平等進(jìn)行關(guān)聯(lián)和整合，創(chuàng)生基于單元整體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí). 清晰診斷學(xué)生已有的知識和困難，確立學(xué)生已有知識的激活源，尋找新知識的類比源和生長源，不同知識點(diǎn)之間一以貫之的關(guān)聯(lián)源［3］. 學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)蘊(yùn)含著探究新知的蓬勃動力，是建立新概念的強(qiáng)大力量.

在本章中，學(xué)生學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)、中心對稱、平行四邊形和矩形，若本課仍從生活現(xiàn)實(shí)抽象菱形概念，容易孤立概念，錯失建構(gòu)單元整體的良機(jī)，產(chǎn)生知識碎片化的現(xiàn)象. 在本課教學(xué)中，從中心對稱這一核心概念汲取原生力，創(chuàng)設(shè)從三角形動態(tài)生成平行四邊形和矩形的情境；引導(dǎo)學(xué)生用批判性思維尋找共性和特性，激起新舊認(rèn)知之間的對抗力；學(xué)生從三角形、中心對稱等概念中提取知識和方法，建立研究菱形概念的模型，沿著有向開放的探究路徑，匯聚探究內(nèi)生力，形成基于單元整體的概念教學(xué)新樣態(tài).

3. 培育高階思維，發(fā)展核心素養(yǎng)

促成高階思維的學(xué)習(xí)追求不僅僅是在知識數(shù)量上的簡單增加，更是能夠建立起相互關(guān)聯(lián)的基本知識結(jié)構(gòu)框架［4］. 數(shù)學(xué)概念并不是孤立存在的，有其群屬關(guān)系.因此概念教學(xué)應(yīng)以單元核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，建構(gòu)下位概念，形成相互關(guān)聯(lián)的概念框架.基于單元整體的概念教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

中心對稱、平行四邊形、菱形的概念之間有著層層遞進(jìn)的種屬關(guān)系，既相互關(guān)聯(lián)，又相對獨(dú)立. 本課教學(xué)以中心對稱所蘊(yùn)含的思想和方法為驅(qū)動力，創(chuàng)設(shè)由三角形生成平行四邊形、矩形的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，類比建立探究菱形概念的模型；在“回歸生活現(xiàn)實(shí)，完善概念體系”的環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生回歸生活現(xiàn)實(shí)再識菱形，彰顯菱形概念的獨(dú)立性. 學(xué)生在單元領(lǐng)域中，沿著用核心概念催生新概念的有向開放路徑，經(jīng)歷聚合分散，深度建構(gòu)概念框架，能充分挖掘數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的思想和方法，增加概念教學(xué)的厚度.

結(jié)語

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師“重解題、輕概念”的行為容易誤導(dǎo)學(xué)生，使其認(rèn)為數(shù)學(xué)只是解決“形結(jié)構(gòu)”“式結(jié)構(gòu)”的考試科目，由此缺少完整的概念體系和思想方法，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)缺乏深層的理解，很難達(dá)成學(xué)科育人的目標(biāo). 基于單元整體，以核心概念所蘊(yùn)含的思想和方法為驅(qū)動力，創(chuàng)設(shè)建構(gòu)新概念的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生調(diào)動累積的知識和方法，催生新概念，完善概念體系，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可糾正“重解題、輕概念”的教學(xué)偏差.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］章建躍，宋莉莉，等. 美國高中數(shù)學(xué)核心概念圖［J］. 課程·教材·教法，2013，33（11）：115-121.

［3］陳雪梅. 素養(yǎng)本位中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)版社，2021.

［4］胡軍. 高階思維與初中數(shù)學(xué)課堂［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.