初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)應(yīng)用題解題教學(xué)研究

蘇春榮

【摘要】解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要構(gòu)成，數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注解題教學(xué)的合理開(kāi)展，并聯(lián)系實(shí)際教學(xué)情況來(lái)構(gòu)建解題教學(xué)策略，生成高效的教學(xué)環(huán)節(jié).二次函數(shù)應(yīng)用題是中考命題的要點(diǎn)，這一類題目具有較高的難度和綜合性，對(duì)學(xué)生的信息獲取能力和函數(shù)解題能力均有較高的考查要求.為了幫助學(xué)生突破二次函數(shù)應(yīng)用題的解法學(xué)習(xí)，教師便可以從應(yīng)用題的基本構(gòu)成出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué).本文對(duì)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)應(yīng)用題解題教學(xué)的開(kāi)展作出研究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注的內(nèi)容，教師需要借助解題教學(xué)的開(kāi)展幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的方法，提升其解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.應(yīng)用題是數(shù)學(xué)題目中難度較高的一類題目，這一類題目的題干往往會(huì)提供一個(gè)現(xiàn)實(shí)的場(chǎng)景，學(xué)生不僅需要掌握相應(yīng)的解題方法，還需要具有解析應(yīng)用題、將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)計(jì)算題的能力.二次函數(shù)應(yīng)用題是以二次函數(shù)知識(shí)考查為核心的應(yīng)用題，這一類應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)，為了幫助學(xué)生突破二次函數(shù)應(yīng)用題的解法學(xué)習(xí)，教師需要從實(shí)際解題規(guī)律出發(fā)做出設(shè)計(jì).

1重視概念教學(xué)，打好解題基礎(chǔ)

概念教學(xué)是應(yīng)用題教學(xué)的基礎(chǔ).通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題雖然與一般的題目存在解題方法上的差異，但應(yīng)用題解題的本質(zhì)也是概念知識(shí)的解題運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和零點(diǎn)計(jì)算是二次函數(shù)應(yīng)用題的常用公式.若學(xué)生不能有效地掌握二次函數(shù)的概念知識(shí)，其在應(yīng)用題解答中就難以合理地解析并設(shè)列算式.在當(dāng)前，為了推動(dòng)學(xué)生的二次函數(shù)應(yīng)用題解法掌握，教師需要關(guān)注概念教學(xué)的開(kāi)展，并在解題教學(xué)前利用基礎(chǔ)習(xí)題的展示幫助學(xué)生回顧基礎(chǔ)概念，為其打好解題基礎(chǔ).

例如在實(shí)際中，教師可以給學(xué)生展示如下習(xí)題，帶領(lǐng)學(xué)生回顧二次函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容.

例1一個(gè)小球由靜止開(kāi)始從一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過(guò)儀器觀察得到小球滾動(dòng)的距離s（米）與時(shí)間t（秒）的數(shù)據(jù)如下表（s與t的關(guān)系可以視為符合二次函數(shù)關(guān)系）：

例2拋物線y=-1/2x²的對(duì)稱軸是_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______，開(kāi)口方向_______.當(dāng)x_______時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x_______時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=_______時(shí)，該函數(shù)有最_______值是_______；

在展示出兩道例題后，教師便可以聯(lián)系實(shí)際引領(lǐng)學(xué)生回顧，讓學(xué)生思考已經(jīng)學(xué)過(guò)的二次函數(shù)的相關(guān)概念內(nèi)容，讓其明確判定二次函數(shù)對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向、零點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)上坐標(biāo)的變化規(guī)律的具體途徑.在完成這一基礎(chǔ)習(xí)題的解析分析后，學(xué)生就可以對(duì)二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)生成較為深層次的認(rèn)知，教師也可以趁勢(shì)開(kāi)展函數(shù)應(yīng)用題的解析教學(xué).

2關(guān)注讀圖審題，教授析題方法

應(yīng)用題相較于一般的數(shù)學(xué)題目，其題干的構(gòu)成較為復(fù)雜，學(xué)生需要通過(guò)閱讀題干的方式來(lái)獲取關(guān)鍵的解題信息，并剔除一些無(wú)關(guān)的干擾項(xiàng)目.為了幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法，教師需要以審題讀題為核心作出設(shè)計(jì)，選擇典型的習(xí)題，教授學(xué)生有效審題的方法.如，在實(shí)際中，教師可以展示如下應(yīng)用題作出詮釋，讓學(xué)生思考有效審題的方法.

例3某服裝店購(gòu)進(jìn)一批服裝，其中一種服裝的進(jìn)價(jià)為每件100元，售價(jià)為130元，每星期可以賣出80件，為了提高銷量，商家決定降價(jià)促銷，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果顯示，該種服裝每降價(jià)5元，每星期可以多賣出20件.求服裝店原利潤(rùn).在調(diào)價(jià)后，若想使收益最大化，該如何定價(jià)，此時(shí)最大利潤(rùn)又是多少？

在展示了該題目后，教師可以引領(lǐng)學(xué)生分析該題目的題干，讓學(xué)生找出其中包含了題目有效信息的項(xiàng)目.學(xué)生通過(guò)研究易發(fā)現(xiàn)，題干中包含的有效信息為“服裝的進(jìn)價(jià)”“服裝的售價(jià)”“當(dāng)前每星期的服裝銷量”“服裝每降價(jià)5元，每星期可以多賣出20件.”在學(xué)生完成這一審題后，教師便可以引領(lǐng)學(xué)生思考，通過(guò)這些信息你們可以了解到什么，這些信息又和習(xí)題的兩個(gè)問(wèn)題有何聯(lián)系呢？學(xué)生在思考后可以得出“服裝在降價(jià)后，銷量會(huì)提升，相應(yīng)的總利潤(rùn)也會(huì)提升，但單件服裝的利潤(rùn)會(huì)降低，隨著服裝價(jià)格的降低，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)價(jià)格，在這一價(jià)格服裝的總利潤(rùn)最高”.在學(xué)生明確了這一內(nèi)容后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)題目入手做出條件的應(yīng)用設(shè)計(jì)，讓學(xué)生設(shè)列算式.通過(guò)這一過(guò)程，教師就可以帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用題審題的有效過(guò)程，這對(duì)學(xué)生審題能力的發(fā)展是有利的.

3選擇代表習(xí)題，解析題目要點(diǎn)

為了幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握二次函數(shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)與命題要點(diǎn)，教師在實(shí)際中需要選擇具有代表性的二次函數(shù)應(yīng)用題作出展示.在習(xí)題展示中，教師要結(jié)合應(yīng)用題的題干和問(wèn)題作出詮釋，為學(xué)生解釋不同的應(yīng)用題提問(wèn)方式所對(duì)應(yīng)的考查內(nèi)容，讓學(xué)生可以通過(guò)題目的觀察來(lái)明確題目的所求內(nèi)容，進(jìn)而設(shè)列二次函數(shù)式子.

例如在實(shí)際中，教師就可以聯(lián)系具體的習(xí)題作出詮釋，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的二次函數(shù)方程應(yīng)用題類型，并讓其認(rèn)識(shí)習(xí)題的解題要點(diǎn).在展示中，教師可以運(yùn)用下述方式作出展示.

3.1利用待定系數(shù)法解答

例4工廠車間生產(chǎn)的A型零件，其成本為2元，售價(jià)為3元，年銷售量為100萬(wàn)件，為了提升工廠效益，工廠決定拿出部分資金定制廣告.根據(jù)調(diào)研現(xiàn)實(shí)，每年投入廣告費(fèi)為x（10萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，其符合如下關(guān)系：

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果投入的年廣告費(fèi)為10萬(wàn)～30萬(wàn)元，請(qǐng)求出工廠年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)增大而提升的范圍.

解析該類型題目考察點(diǎn)為待定系數(shù)法，題目中直接給出了y與x的二次函數(shù)關(guān)系，所以使用待定系數(shù)法可以直接求出y與x的函數(shù)關(guān)系，然后再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求出（2）的所問(wèn)內(nèi)容.

3.2利潤(rùn)最大（?。┲?/p>

例5某商場(chǎng)計(jì)劃開(kāi)展降價(jià)促銷活動(dòng)，其中參與打折的一款產(chǎn)品原售價(jià)為60元，每天可賣出50件.根據(jù)調(diào)查結(jié)果顯示，在商品降價(jià)后，其銷量會(huì)提升，符合如下規(guī)律：每降價(jià)1元每星期可以多賣20件，若商品的成本價(jià)格為40元，請(qǐng)問(wèn)降價(jià)多少元可以獲得最大利潤(rùn).

解析該題目所考查的內(nèi)容為利潤(rùn)最大值的求取，這一類題目的所求內(nèi)容為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，學(xué)生需要設(shè)列函數(shù)關(guān)系式，找出求取頂點(diǎn)的方法.

在實(shí)際中，學(xué)生需要了解幾個(gè)概念，其分別為“單價(jià)”“商品利潤(rùn)”“價(jià)格變動(dòng)量”“銷售量變化”“商品總銷售量”“總利潤(rùn)”“凈利潤(rùn)”，針對(duì)這些概念，教師要作出實(shí)際解析，讓學(xué)生了解其具體的內(nèi)涵.

3.3二次函數(shù)構(gòu)造

例6如圖1，有一塊拱形鐵皮，其邊緣呈現(xiàn)拋物線狀，MN=4cm，拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離為4cm，若在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形的頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，請(qǐng)問(wèn)這樣截得的矩形的周長(zhǎng)能否等于8cm？

解析在這一題目中需要從拋物線來(lái)聯(lián)系二次函數(shù)，然后根據(jù)題目所給條件來(lái)設(shè)列二次函數(shù)式.綜合來(lái)看，這一類題目的考查要點(diǎn)是利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，具有較高的建模要求，學(xué)生需要結(jié)合實(shí)際的信息來(lái)構(gòu)建二次函數(shù)模型，并創(chuàng)建直角坐標(biāo)系，然后從二次函數(shù)與長(zhǎng)方形的融合入手做出架構(gòu).

4構(gòu)建變式練習(xí)，推動(dòng)學(xué)生掌握

變式練習(xí)是一種具有較強(qiáng)針對(duì)性的練習(xí)設(shè)置，在變式練習(xí)中，教師可以通過(guò)一道典型應(yīng)用題和其變式題來(lái)做出展示，讓學(xué)生圍繞習(xí)題的考查點(diǎn)變化來(lái)分別思考，進(jìn)而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)一類問(wèn)題的有效解答策略.為了構(gòu)建有效性較強(qiáng)的變式練習(xí)環(huán)節(jié)，教師需要做好課下資源的開(kāi)發(fā)，通過(guò)教學(xué)檢索與整合的方式選擇代表性較強(qiáng)的習(xí)題作為變式練習(xí)的原式，然后再考慮題目的變形調(diào)整來(lái)生成一系列變式習(xí)題.

例如在實(shí)際中，教師可以使用如下的變式題構(gòu)建變式練習(xí).

原式某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查顯示：每漲價(jià)1元，每星期少賣10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為40元每件，如何調(diào)價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？

變式1在原式的基礎(chǔ)上，若商品原材料價(jià)格上漲，導(dǎo)致進(jìn)價(jià)變?yōu)?0元每件，此時(shí)如何調(diào)價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？

變式2某商品進(jìn)價(jià)為40元每件，現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查顯示：每漲價(jià)1元，每星期少賣10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣20件，若商場(chǎng)想要每星期獲利6000元，且能符合降價(jià)促銷的要求，應(yīng)如何調(diào)價(jià)？

在展示了上述的原式和變式題后，教師便可以引領(lǐng)學(xué)生對(duì)三道習(xí)題做出分析，思考三道習(xí)題的區(qū)別，然后在完成三道習(xí)題的解答后，教師再引導(dǎo)學(xué)生分析利潤(rùn)求取這一類二次函數(shù)應(yīng)用題的有效解答方法，促進(jìn)學(xué)生完全掌握.

5立足“建模能力”，做出習(xí)題分析

“建?！笔菙?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成部分，這一素養(yǎng)的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生習(xí)題認(rèn)知和解題能力的發(fā)展有著重要的意義.為了發(fā)展學(xué)生的“建模能力”，教師需要選擇合適的習(xí)題作為對(duì)象進(jìn)行研究，讓學(xué)生在習(xí)題分析的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)解題思路的具象化展現(xiàn)，進(jìn)而形成解決一類題目的通用解題方法.在實(shí)際中，教師要為學(xué)生做出解題模型建立的方式展現(xiàn)，幫助學(xué)生加以認(rèn)知和思考.

例如在實(shí)際中，教師便可以綜合實(shí)際的二次函數(shù)習(xí)題做出“建?！钡恼故荆寣W(xué)生從解題模型的認(rèn)知出發(fā)來(lái)獲得“建模能力”的提升培養(yǎng).其中，教師可以綜合二次函數(shù)常見(jiàn)的利潤(rùn)最大（?。┲登笕?wèn)題做出展示.

這一類習(xí)題的解題過(guò)程可以做出以下模型規(guī)劃：

（1）讀題審題，獲取關(guān)鍵信息；

（2）基于實(shí)際問(wèn)題，整合題目條件；

（3）尋找函數(shù)關(guān)系，設(shè)列函數(shù)關(guān)系式；

（4）建立坐標(biāo)系，分析函數(shù)頂點(diǎn)；

（5）聯(lián)系題目要求，做出數(shù)據(jù)處理.

在用文字來(lái)闡述了這一類二次函數(shù)應(yīng)用題解法后，教師便可以讓學(xué)生結(jié)合具體的題目解題過(guò)程做出分析，將其中的共有內(nèi)容剝離出來(lái)，總結(jié)這一類題目的通用解題思路，即通性通法.

6關(guān)注學(xué)生發(fā)展，優(yōu)設(shè)解題評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)是教學(xué)的重要構(gòu)成部分，有效評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)可以點(diǎn)明學(xué)生存在的問(wèn)題，進(jìn)而推動(dòng)其提升與發(fā)展.在二次函數(shù)應(yīng)用題解題教學(xué)中，教師同樣可以借助評(píng)價(jià)的進(jìn)行分析學(xué)生的解題能力發(fā)展情況，再針對(duì)性地給出調(diào)整建議，以此推動(dòng)學(xué)生的發(fā)展.

例如在二次函數(shù)應(yīng)用題的基本教學(xué)告一段落后，教師可以開(kāi)展專項(xiàng)測(cè)試，在其中為學(xué)生展現(xiàn)二次函數(shù)應(yīng)用題.在學(xué)生完成應(yīng)用題解答后，教師便可以聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際解題情況作出分析，找出學(xué)生易錯(cuò)題和出錯(cuò)原因.在此基礎(chǔ)上，教師便可以展開(kāi)解題評(píng)價(jià)，點(diǎn)明學(xué)生現(xiàn)階段存在的主要問(wèn)題，并給出調(diào)整的建議.其中，針對(duì)學(xué)生二次函數(shù)遞增遞減區(qū)間無(wú)法理清的問(wèn)題，教師便可以給出評(píng)價(jià)“部分同學(xué)對(duì)二次函數(shù)的概念知識(shí)理解還是存在欠缺，二次函數(shù)的遞增遞減區(qū)間與其頂點(diǎn)有著密切的聯(lián)系，請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅位仡櫠魏瘮?shù)的基本內(nèi)容來(lái)做出復(fù)習(xí)”.

7結(jié)語(yǔ)

總而言之，二次函數(shù)應(yīng)用題解題教學(xué)的構(gòu)建是教師需要關(guān)注的內(nèi)容，教師要結(jié)合應(yīng)用題的題目結(jié)構(gòu)，從二次函數(shù)應(yīng)用題的特征出發(fā)做出研究，讓學(xué)生學(xué)習(xí)解答二次函數(shù)應(yīng)用題的有效方法.在實(shí)際中，教師可以圍繞概念教學(xué)開(kāi)展、讀圖審題進(jìn)行、題目要點(diǎn)解析、變式訓(xùn)練構(gòu)建、習(xí)題建模開(kāi)展、解題評(píng)價(jià)構(gòu)建六方面來(lái)作出調(diào)整.

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