中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力的培養(yǎng)

【摘 要】 從數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、價值與功能分析數(shù)學(xué)課堂如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維能力；闡述了課堂教學(xué)如何圍繞問題展開，在發(fā)現(xiàn)問題的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺能力，在分析問題的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思辨能力，在解決問題的過程中培養(yǎng)邏輯演繹與計(jì)算能力；以勾股定理為案例說明課堂教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)問題驅(qū)動的課堂教學(xué)理念.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)直覺;數(shù)學(xué)思辨;邏輯演繹;核心素養(yǎng)

隨著教育改革的進(jìn)一步深化，對課堂教學(xué)與考試都提出了新的要求，不僅考試的課程結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，考試的內(nèi)容也發(fā)生了變化.例如新高考對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了更高的要求，僅僅靠刷題、練熟練度已經(jīng)很難適應(yīng)新的高考模式了.

考試面向的不僅是學(xué)生，更是對教師日常教學(xué)的檢驗(yàn)，教師在課堂教學(xué)中教給了學(xué)生什么，或多或少在考試中能夠體現(xiàn)出來.檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效手段是什么？毫無疑問，是解決問題的能力，這個能力并非通常意義上的邏輯推理與計(jì)算能力，而是分析問題與解決問題的能力.分析問題與解決問題能力的要素不僅僅包括邏輯演繹與計(jì)算，還包括更多.本文試圖從數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、價值與功能等角度闡述中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要性.

1 數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、價值與功能

教育目標(biāo)是指教育應(yīng)達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)，目標(biāo)依據(jù)培養(yǎng)人的方向和需要有高有低.教育目標(biāo)有多種分類方法，美國著名心理學(xué)者布魯姆將教育目標(biāo)分為三個領(lǐng)域，分別為認(rèn)知領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動作技能領(lǐng)域 [1] .

所謂教育價值是指教育對于人和社會的意義或作用.它既具有工具意義上的價值，也具有其內(nèi)在的價值.所謂工具性價值指通過教育可以達(dá)到的價值，其自身并不直接滿足主體的需要，需要通過其他價值的實(shí)現(xiàn)才能得到體現(xiàn).所謂內(nèi)在的價值指教育本身固有的價值.關(guān)于教育價值也有很多種分類方法，每種分類方法都有其合理性，這里不準(zhǔn)備詳細(xì)展開討論.從教育的結(jié)果看，教育的根本價值體現(xiàn)在兩個方面：一是傳播知識，掌握一定的技能；二是教人思考，具備獨(dú)立思維能力.

教育功能是指教育活動與系統(tǒng)對個體發(fā)展和社會發(fā)展產(chǎn)生的作用與影響，分為社會功能和個體功能兩個大的方面.

教育目標(biāo)、價值與功能密切相關(guān)，教育價值涉及培養(yǎng)什么人的問題，教育功能是教育客觀存在的內(nèi)在屬性，滿足特定社會所需的教育功能對于特定的群體便是有教育價值的，從這個意義上說，教育價值決定了教育功能的選擇.教育需要培養(yǎng)什么樣的人，決定了教育的目標(biāo)，教育目標(biāo)則決定了教育的價值取向.由此可見，教育目標(biāo)決定了教育價值，教育價值決定了教育功能，教育功能決定了教育的品質(zhì).

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、價值與功能是什么？這是首先需要清楚的問題，只有清楚了這些問題才有可能探索實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)與價值的有效途徑.

1.1 數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)

教育部課程標(biāo)準(zhǔn)對九年制義務(wù)教育三個學(xué)段所要達(dá)到的教育目標(biāo)是有所區(qū)別的.限于篇幅，這里不擬詳細(xì)介紹三個不同學(xué)段的具體目標(biāo).簡而言之，三個學(xué)段的目標(biāo)分別從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決以及情感態(tài)度四個方面做了詳細(xì)闡述.高中階段在九年制義務(wù)教育目標(biāo)基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有了新的要求，具體地說，即六大核心素養(yǎng).

我們的教育目標(biāo)經(jīng)過了“雙基”“三維目標(biāo)”到“核心素養(yǎng)”的演變.從課程標(biāo)準(zhǔn)的要求看，“核心素養(yǎng)”的提出從單純的強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識的“雙基”模式轉(zhuǎn)變成知識、能力與素養(yǎng)的綜合發(fā)展，更加強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思考能力、解決問題能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng).新課程標(biāo)準(zhǔn)更加符合新時代社會主義現(xiàn)代化建設(shè)對人才培養(yǎng)的要求.

1.2 數(shù)學(xué)教育的價值

教育分啟蒙與啟智兩個階段，啟蒙又叫開蒙，指的是“開發(fā)昏昧無知的心智，使明白事理、掌握知識”.

啟智與啟蒙并非很多人認(rèn)為的同義詞，他們有著本質(zhì)的不同.啟蒙如同“墾荒”，是去除愚昧，啟智則是開發(fā)智力，教人學(xué)會思考，使其具有獨(dú)立的思想與獨(dú)立的判斷能力.數(shù)學(xué)的教育價值包括工具價值（解決問題的方法）、認(rèn)識與思維價值（對事物的認(rèn)知能力與思考辨析能力）、實(shí)踐價值（數(shù)學(xué)應(yīng)用能力）、美學(xué)價值（數(shù)學(xué)的鑒賞與審美能力）以及德育價值（形成正確的科學(xué)觀與世界觀）.就數(shù)學(xué)教育而言，實(shí)現(xiàn)教育的價值涉及教什么與怎么教的問題.是教知識還是教思維？教理論還是教應(yīng)用？學(xué)界對前者的認(rèn)識趨于一致，但對后者的認(rèn)識并不統(tǒng)一.徐利治先生在一次訪談中說道：“教材要力求‘純.現(xiàn)在我看解放后的書，我翻一翻，雜質(zhì)太多.理論聯(lián)系應(yīng)用是對的.但是很多應(yīng)用題聯(lián)系到社會生活、工廠車間的實(shí)際，聯(lián)系到股票市場.那專門的名詞要弄懂以后才能做數(shù)學(xué)題目.為了做這個題目，就要去了解那些與數(shù)學(xué)無關(guān)的東西.那些東西我覺得放在教材中就變成數(shù)學(xué)教材的雜質(zhì).雜質(zhì)多有什么壞處呢？分散精力，分散注意力.我聽說中學(xué)老師對那些名詞都弄不明白，要解釋半天.這種聯(lián)系實(shí)際是讓學(xué)生學(xué)經(jīng)濟(jì)科學(xué)呢，還是學(xué)生產(chǎn)實(shí)際呢？所以不應(yīng)該有雜質(zhì).我們以前學(xué)的數(shù)學(xué)，大代數(shù)也好，平面幾何也好，沒有雜質(zhì).所以，第一要純，讓青少年學(xué)很純的數(shù)學(xué).有的人說數(shù)學(xué)枯燥無味，其實(shí)不見得，數(shù)學(xué)本身是優(yōu)美的.幾何形式、對稱性、統(tǒng)一性、普遍性.雜質(zhì)太多，把數(shù)學(xué)美都沖淡了、瓦解了、分散掉了.不應(yīng)該讓青少年在數(shù)學(xué)學(xué)科里分散注意去搞那么一堆與數(shù)學(xué)無關(guān)的名詞、概念.” [2] 徐先生的意思是中學(xué)階段最好純粹一點(diǎn)，不一定強(qiáng)調(diào)生活化，我們姑且把徐利治先生的中學(xué)數(shù)學(xué)教育觀稱之為”數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)教育觀.這里的“數(shù)學(xué)化”指的是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)，是教育理念層面上的，與弗賴登塔爾認(rèn)知層面上的“數(shù)學(xué)化”是不同的概念.

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該在解決實(shí)際問題的過程中完成數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu).弗萊登塔爾認(rèn)為：“應(yīng)該在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的接觸點(diǎn)之間尋找聯(lián)系.” [3] 或許很多人誤解了弗萊登塔爾的觀點(diǎn)，他還有另一句話：“數(shù)學(xué)教育要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活體驗(yàn).”尋找數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的接觸點(diǎn)無疑是正確的，在恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)情境中建立數(shù)學(xué)模型，在分析問題的過程中尋找到解決問題的方法，這對于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力是有幫助的.但情境應(yīng)該渾然天成，讓人感覺真實(shí)可信，不能人為生造一個情境.恰當(dāng)?shù)那榫郴騺碜袁F(xiàn)實(shí)生活，或來自自然科學(xué)與社會科學(xué)，亦或來自數(shù)學(xué)，不一定非現(xiàn)實(shí)不情境.此外，情境的創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，需要學(xué)生透過情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，尋找情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，而非直接告知學(xué)生現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，那樣就失去了情境的真正意義與價值.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)如同修習(xí)武功，需要先練好體能，具備學(xué)習(xí)武功招式的基本功.沒有扎實(shí)的基本功，練出來的必然是花拳繡腿，有些招式還可能無法做到位.基本功可以保證有足夠的體能完成武功的修習(xí)，武功招式除了強(qiáng)身健體，還可以用來搏擊.數(shù)學(xué)的基本功是什么？數(shù)學(xué)的招式又是什么？基礎(chǔ)教育階段是練基本功還是基本功與招式并舉？這是值得教師細(xì)細(xì)品味的問題.

1.3 數(shù)學(xué)教育的功能

數(shù)學(xué)教育功能是達(dá)成數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的保證，通過數(shù)學(xué)教育功能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價值，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)教育的目標(biāo).數(shù)學(xué)教育功能涵蓋很多方面，不同的教育功能體現(xiàn)了不同的教育價值.

數(shù)學(xué)是一門完整的知識系統(tǒng)，包括數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想與方法，這些知識縱橫交錯互相聯(lián)系，構(gòu)成了一個復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的這一特征決定了教師需要從整體上去認(rèn)識和把握教材內(nèi)容，并努力讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握其思想方法，養(yǎng)成全局觀，形成整體意識.

邏輯推理是數(shù)學(xué)基本的論證工具，貫穿于數(shù)學(xué)的整個知識系統(tǒng).數(shù)學(xué)中的邏輯推理包括演繹推理、歸納推理、類比推理以及辯證邏輯推理，這些推理適用于不同的數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，這種嚴(yán)謹(jǐn)性正是通過特定的邏輯結(jié)構(gòu)來體現(xiàn)的，邏輯推理是有條理地分析事物來龍去脈的必要手段，沒有特定的邏輯系統(tǒng)作為基礎(chǔ)，很難想象如何建立一門數(shù)學(xué)理論.即使自然科學(xué)、社會科學(xué)以及現(xiàn)實(shí)生活也需要按照合適的邏輯進(jìn)行思考，否則對研究與思考的問題將一籌莫展，糾纏于一些紛亂復(fù)雜的表象中，辨別不清事物的本質(zhì)與發(fā)展規(guī)律.數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要載體，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生懂得尊重客觀規(guī)律、服從真理，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，形成良好的個性品質(zhì).

數(shù)學(xué)是抽象的，這種抽象性決定了數(shù)學(xué)的普適性與應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實(shí)世界中各種數(shù)量關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)的模型，這種模型反映的不是某個特定現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)，而是某一類現(xiàn)象的客觀規(guī)律.這就決定了數(shù)學(xué)模型的解決不僅可以解決由某個現(xiàn)實(shí)問題抽象出來的問題，還可能解決更廣泛的實(shí)際問題.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維的重要方法是引導(dǎo)學(xué)生掌握由特殊到一般、由具體到抽象的概括能力以及透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，并能將抽象的理論應(yīng)用到具體的問題.數(shù)學(xué)的這種抽象性可以讓學(xué)生的思維更有深度，更具有概括性，解決的問題更具有廣泛性.

眾所周知，解決數(shù)學(xué)問題的常用方法是轉(zhuǎn)化，一個復(fù)雜的問題可以轉(zhuǎn)化為簡單問題或若干簡單問題形成的問題鏈，也可以把一個不規(guī)則問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則問題.這種轉(zhuǎn)化的思想可以讓學(xué)生的思維變得更具有靈活性，增強(qiáng)復(fù)雜環(huán)境下的應(yīng)變能力，數(shù)學(xué)的這一重要思想方法對于培養(yǎng)學(xué)生處理復(fù)雜問題的能力無疑是有幫助的.

數(shù)學(xué)追求簡潔與優(yōu)美，無論是數(shù)學(xué)概念還是定理與公式都充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的這一典型特征.如何從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中尋找共性特征從而提煉出數(shù)學(xué)概念？如何從一些特殊結(jié)論中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律從而發(fā)現(xiàn)一個定理？如何在邏輯演繹與計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)不同量之間的內(nèi)在關(guān)系從而建立一個數(shù)學(xué)公式？要解決這些問題需要學(xué)生具有敏銳的洞察力與數(shù)學(xué)直覺能力，并在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上將結(jié)果最優(yōu)化，形成數(shù)學(xué)上簡潔優(yōu)美的概念、定理或公式.這是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化意識的重要教育功能.2 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的有效途徑

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將六大核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，它包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個整體概念，其各個方面相輔相成，很難嚴(yán)格將其區(qū)分開來.如何在操作層面上促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與提升，這是一線教師面臨的一個大問題.如前所述，教師需要解決兩個基本問題：教什么？怎么教？

2.1 數(shù)學(xué)課堂的核心與靈魂

教學(xué)需要面對教材、知識與課堂三個方面.教材是知識的載體，教師在課堂上的任務(wù)是什么？也許很多人認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂自然是傳播數(shù)學(xué)知識.傳播數(shù)學(xué)知識固然是數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有之意，但這僅僅是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個方面，甚至不是最重要的方面.因?yàn)橹R并非教育的終極目標(biāo).懷特海說：“把學(xué)校學(xué)到的知識忘掉，剩下的那一部分才是教育.” [4] 據(jù)說愛因斯坦在一次演講中引用了懷特海的這句話，以至于有人誤以為這句話出自愛因斯坦.知識忘掉了，還剩下什么？這可能有些令人困惑.要回答這個問題，首先要清楚課堂教學(xué)除了傳播知識，還需要做什么.

要解決數(shù)學(xué)課堂需要做什么的問題，首先需要清楚知識對于課堂是不是終極目標(biāo)的問題.學(xué)習(xí)知識的目的是什么？自然是解決問題，特定的知識面對的可能是不同的問題，或者是從特定的角度考察某些問題.任何學(xué)科無一例外地都是因?yàn)閱栴}而生，因?yàn)閱栴}而發(fā)展，正如希爾伯特所說：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的終止或衰亡.”G·波利亞有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要.”哈爾莫斯也曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”由此可見問題對于數(shù)學(xué)的重要性.

數(shù)學(xué)課堂自然也離不開問題，問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)課堂的核心.這個核心對于數(shù)學(xué)課堂的重要性體現(xiàn)在哪里，它正是數(shù)學(xué)課堂傳播數(shù)學(xué)知識之外的另一項(xiàng)重要任務(wù)，這就是數(shù)學(xué)思想的傳授.換言之，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)不僅僅是傳播數(shù)學(xué)知識，還需要傳授數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)知識是顯性的，數(shù)學(xué)思想是隱性的，教師的任務(wù)是透過數(shù)學(xué)知識的表象深入挖掘隱藏在知識背后的思想.關(guān)鍵問題是如何挖掘，這就需要教師搞清楚教材、課堂、知識及思想等各要素之間的關(guān)系.

既然問題是課堂的核心，它在課堂教學(xué)中發(fā)揮了何種作用？如果不清楚這個問題，就無法理解為什么問題是課堂的核心.知識不是教育的終極目標(biāo)，它本身也是一種載體，承載著豐富的數(shù)學(xué)思想，但這種思想是蘊(yùn)藏于知識內(nèi)部的，要將這種內(nèi)蘊(yùn)的思想展現(xiàn)出來，需要在知識與思想之間架設(shè)一座橋梁，這座橋梁就是問題.一節(jié)高水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課應(yīng)該圍繞著問題展開，通過問題提出、問題分析、問題解決等環(huán)節(jié)完成數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu).正是在分析問題、解決問題的過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)火熱的思考，散發(fā)出數(shù)學(xué)思想的光芒.如果說問題是數(shù)學(xué)課堂的核心，那么數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，如果一節(jié)數(shù)學(xué)課不能引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的魅力，這節(jié)課便如同行尸走肉般失去了靈魂.

問題在知識與思想之間是如何發(fā)揮橋梁作用的？這就需要考察問題在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能.核心素養(yǎng)的本質(zhì)無非是培養(yǎng)學(xué)生三個方面的能力：直覺能力、思辨能力與演繹能力，這里的演繹既包括運(yùn)算演繹也包括計(jì)算演繹.這三種能力如何通過問題來得到提升？數(shù)學(xué)思想的光芒又是如何散發(fā)出來的？這就需要分析問題的價值與意義.如果說傳授數(shù)學(xué)思想屬于教什么的問題，那么如何通過問題提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維能力則是怎么教的問題.

面向問題的課堂教學(xué)需要經(jīng)歷三個環(huán)節(jié)：問題提出、問題分析、問題解決.這三個環(huán)節(jié)的教育價值不盡相同，提出問題的過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的過程，教師通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，將問題嵌入到情境中形成問題情境，引導(dǎo)學(xué)生對情境進(jìn)行深入分析，直觀感知其中所存在的數(shù)學(xué)問題，這種直觀感知便是數(shù)學(xué)直覺.數(shù)學(xué)直覺通常需要學(xué)生充分發(fā)揮想象力，正如德摩所說：“數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動力不是推理，而是想象力的發(fā)揮.”愛因斯坦也說過：“想象比知識更重要.”數(shù)學(xué)的想象力是數(shù)學(xué)直覺的基礎(chǔ)與源泉.盧卡斯說：“多數(shù)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是直覺的結(jié)果，對事實(shí)多少有點(diǎn)兒直接的知覺或快速的理解，而與任何冗長的或形式的推理過程無關(guān).”由此可見，直覺對于數(shù)學(xué)創(chuàng)造有多么重要.提出問題既涉及直觀想象也有可能涉及數(shù)學(xué)建模，還可能涉及數(shù)據(jù)的初步分析以及數(shù)學(xué)抽象化過程.

學(xué)生的思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在分析問題的過程中逐步提升的.在明確了問題之后，對問題的分析過程則是個思辨過程，思辨是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)永恒的主題，到任何時候都不會過時，問題的最終解決需要思辨提供思路，數(shù)學(xué)思想正是在分析問題的思辨過程中展現(xiàn)出來的.分析問題的過程既是“將數(shù)學(xué)冰冷的美麗轉(zhuǎn)化為對數(shù)學(xué)火熱的思考” [3] 過程，也是大膽猜測的過程.這個過程中通過對問題的分析抓住問題的本質(zhì)，尋找到解決問題的初步方案與思路.雖然這個過程并非嚴(yán)格的解決問題過程，但也可能涉及初步的邏輯演繹與數(shù)學(xué)計(jì)算.

問題解決的過程是錘煉邏輯演繹能力與計(jì)算能力的過程.在分析清楚問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)并找到解決問題的初步方案后，需要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[或計(jì)算來驗(yàn)證解決問題的方案是否可行，這是訓(xùn)練學(xué)生基本功必不可少的環(huán)節(jié).如果把問題分析比喻成驅(qū)動數(shù)學(xué)思維向前發(fā)展的發(fā)動機(jī)，那么邏輯演繹與計(jì)算則是機(jī)器的潤滑劑，沒有一定的邏輯演繹能力與計(jì)算能力，再好的解決方案也會讓你寸步難行.問題解決過程也是建構(gòu)知識體系的過程，在問題分析的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)定理或公式，通過合適的方法檢驗(yàn)概念的合理性與定理或公式的正確性，在檢驗(yàn)過程中不斷糾偏，尋找正確的解決問題的方向，最終完成相應(yīng)知識系統(tǒng)的建構(gòu).

2.2 由勾股定理看問題在教學(xué)中的重要性

綜上所述，驅(qū)動課堂教學(xué)的動力是問題，一節(jié)成功的數(shù)學(xué)課首先要明確解決什么問題，闡明問題的重要性，然后才是情境的創(chuàng)設(shè)，并將問題巧妙地嵌入到情境中.這里不妨以勾股定理的教學(xué)為例，說明問題的重要性以及如何通過問題引領(lǐng)課堂教學(xué).

傳統(tǒng)的勾股定理教學(xué)通常以兩種方式引入，一種是從畢達(dá)哥拉斯的故事開始，另一種是從趙爽弦圖作為切入點(diǎn).但這兩種方法都沒有揭示出勾股定理需要解決的問題是什么，更沒有闡述清楚這個問題的重要性以及勾股定理所蘊(yùn)含的思想方法.

從數(shù)學(xué)的角度看，勾股定理是為了解特殊三角形——直角三角形.此前學(xué)生已經(jīng)修習(xí)了全等三角形，清楚全等三角形的判定定理.教學(xué)的可行方案之一是開門見山揭示如何求解直角三角形，通過全等三角形的判定定理可知：如果已知直角三角形的兩條邊的邊長或者已知一條邊的邊長及一個銳角，這個直角三角形是唯一確定的，理論上就是可解的.兩種情形下得到的分別是勾股定理與銳角正弦比概念.

創(chuàng)設(shè)一個生活化的情境作為勾股定理的切入點(diǎn)，例如，可以創(chuàng)設(shè)圖1所示的生活化情境（圖片來自網(wǎng)絡(luò)）：

一架2.5米梯子AB，斜靠在一豎直的墻上OA上，這時梯足B到墻底端O的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足外移多少米？

類似的生活化情境可以有很多.這里要強(qiáng)調(diào)的問題是：

（1）勾股定理蘊(yùn)藏了什么科學(xué)問題？

（2）勾股定理體現(xiàn)了什么思想方法？

勾股定理解決的問題并不復(fù)雜，即解特殊的直角三角形.它反映的是什么科學(xué)問題？我國西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話.周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度.”天的高度和地面的一些測量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高說：“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五.”即我們常說的勾三股四弦五.這段話便蘊(yùn)藏著勾股定理所要解決的科學(xué)問題：計(jì)算不可測之量.

從勾股定理的眾多證明可以看出，無一不是與面積有關(guān)，換言之，勾股定理的證明展現(xiàn)了化長度為面積的思想方法.具體到課堂，如何引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)勾股定理而不是直接告知學(xué)生趙爽弦圖？這里不妨提供一種方案以資參考.既然問題已經(jīng)清楚了，不妨從問題的分析開始.

問題1 設(shè)AB的長為a，BC的長為b，AC的長唯一確定嗎？如果唯一確定，它是多少？如

第一問不難回答，但第二問涉及問題的本質(zhì)，教師不宜直接讓學(xué)生從趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)證明，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)求AC長度的方法.既然三角形兩邊的長度已知，最自然的思路是通過面積將斜邊與兩個直角邊聯(lián)系起來.然而，斜邊上的高也是未知的，為了尋找合適的方法，不妨先從特殊的直角三角形開始，即等腰直角三角形，如圖3. 圖4

如果在斜邊上作三角形的高，假設(shè)AB=c，則由AC=CB=a及CD=AD=12AB，知

△ABC的面積： S △ABC =12 a2 =12c·12c=14 c2 ，故

c2 = 2a2 ，如圖4.圖5

問題2 如何從幾何上實(shí)現(xiàn)上述等式？

學(xué)生很容易觀察發(fā)現(xiàn) c2 是以三角形斜邊為邊的正方形面積， a2 是以直角邊為邊的正方形面積，這樣自然建立了等腰直角三角形斜邊為邊的正方形與直角邊為邊的正方形面積之間的關(guān)系，如圖5.

從這個圖形不難發(fā)現(xiàn)，斜邊為邊的正方形由四個已知的等腰直角三角形構(gòu)成，這個發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)解一般直角三角形思路的關(guān)鍵.

問題3 問題2對于解一般的直角三角形帶來何種啟示？

通過對問題2的分析，學(xué)生不難想到如何嘗試解一般直角三角形的方法，即利用四個已知的直角三角形拼湊，這時可以充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生自行探究拼湊的方法，例如，下面的兩種拼湊方法并不難想到，如圖6.

事實(shí)上，曾經(jīng)有學(xué)生獨(dú)立拼湊出了上述圖形，通過兩幅圖面積的比較不難發(fā)現(xiàn)勾股定理，甚至不需要進(jìn)行文字證明.

趙爽弦圖也是由四個已知直角三角形拼湊而成，但要從趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)勾股定理還需要運(yùn)用代數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，不如上述兩幅圖更加直接.

上述三個問題分別揭示了勾股定理的意義，發(fā)現(xiàn)證明的基本思想方法以及最終的解決途徑.課堂教學(xué)也可以從生活情境出發(fā)，比上述方案多了一個將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程.教師可以根據(jù)需要選擇是否從生活化情境出發(fā).

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作者簡介 曹廣福（1960—），男，教授，博士生導(dǎo)師;首屆國家高等學(xué)校教學(xué)名師獎獲得者，入選第二批國家特殊人才支持計(jì)劃領(lǐng)軍人才教學(xué)名師;主要從事數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育研究.