三角形角平分線(xiàn)夾角的一組性質(zhì)及其應(yīng)用

【摘 要】 在近年中高考中，對(duì)角平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)及性質(zhì)的考查經(jīng)常出現(xiàn)，尤其是三角形內(nèi)角及外角角平分線(xiàn)是命題的重點(diǎn).以一道經(jīng)典的動(dòng)點(diǎn)例題，引出三角形角平分線(xiàn)夾角的一組性質(zhì)，最終直觀地建立起三角形角平分線(xiàn)夾角之間的聯(lián)系，突破難點(diǎn)，建構(gòu)三角形角平分線(xiàn)夾角模型.

【關(guān)鍵字】 三角形；角平分線(xiàn)；夾角

0 引言

角平分線(xiàn)是人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是平面幾何中最基礎(chǔ)、最重要的內(nèi)容之一，《幾何原本》第九命題就是介紹如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線(xiàn)的.在更深入學(xué)習(xí)平面幾何的知識(shí)前，角平分線(xiàn)的內(nèi)容是繞不過(guò)去的坎.初、高中考查角平分線(xiàn)知識(shí)及性質(zhì)的命題中有相當(dāng)多是放在三角形中的，其中有一部分是對(duì)三角形中角平分線(xiàn)夾角的考查.本文針對(duì)這一內(nèi)容，總結(jié)歸納，探究其中的聯(lián)系，加深對(duì)三角形及其角平分線(xiàn)的認(rèn)識(shí)與理解，幫助解題人明晰思路，巡蹤探跡.

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)（不與A、D重合），BA、CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)O，若∠O=α，分別作∠BAD與∠BCM的角平分線(xiàn)，兩條角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)P，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠APC的大小.

分析 看到這個(gè)題，首先要明確這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O，P的位置是在發(fā)生變化的，∠O與∠APC的大小也在發(fā)生變化.要求角的大小，一般要把所要求的角放到多邊形中來(lái)看，如三角形、四邊形等.在這個(gè)題目中，∠O與∠APC最直觀的聯(lián)系是都為四邊形APCO的一個(gè)內(nèi)角，很容易想到利用四邊形的內(nèi)角和為 360 °來(lái)計(jì)算，又已知∠O=α，那么只要求出其余兩個(gè)角就可以了.在這個(gè)題目中我們可以試著用∠B來(lái)表示它們.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：

∠OAP=∠OAM+∠MAP=∠B+12∠BAD=∠B+12180°-∠B=90°+12∠B.

根據(jù)△OBC的內(nèi)角和等于180°，可知：

∠OCP=12（180°-∠B-α），

可以得到：

∠APC=360°-∠O-∠OAP-∠OCP=360°-α-90°+12∠B-12180°-∠B-α=180°-12α.

這個(gè)題目不難，只需要理清關(guān)系，再進(jìn)行一些運(yùn)算就可以了，但是這個(gè)題目能反映出一些更基礎(chǔ)、更有趣的性質(zhì)——三角形角平分線(xiàn)夾角的性質(zhì).通過(guò)觀察，CP，AP分別為△OCB與ABCD的角平分線(xiàn).假若通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)三角形中的不同角的角平分線(xiàn)，便可以將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形角平分線(xiàn)夾角的問(wèn)題.在此題中，我們過(guò)B點(diǎn)作AP的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)CP于點(diǎn)Q，參見(jiàn)圖2，那么BQ為△OBC的外角的角平分線(xiàn)，于是只需要計(jì)算△OCB的角平分線(xiàn)CP與外角平分線(xiàn)BQ的夾角.假若可以解決三角形內(nèi)外角角平分線(xiàn)夾角的問(wèn)題，此題便可迎刃而解.我們下面來(lái)介紹一些優(yōu)美的性質(zhì)，幫助大家建立起一些幾何直觀.

2 三角形角平分線(xiàn)夾角的一組性質(zhì)

定理1 三角形任一角的內(nèi)角角平分線(xiàn)與外角角平分線(xiàn)互相垂直.

說(shuō)明 參見(jiàn)圖3，利用平角和角平分線(xiàn)的定義即可證明.

定理2 三角形兩個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)的夾角等于第三個(gè)角的一半加 90 ° [1] .

說(shuō)明 如圖4，在△ABC中，BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)為O，那么有

∠BOC= 90 °+12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，且交于O.根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180 °可知在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C.又因?yàn)樵凇鰽BC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C

= 180 °-12∠B+∠C

= 180 °-12 180 °-∠A

= 90 °+12∠A.

定理3 三角形一個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)與另一角外角的角平分線(xiàn)的夾角為第三角的一半 [2] .

說(shuō)明 如圖5，在△ABC中，BP，CQ分別為內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)為O，那么有

∠BOC=12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACD的角平分線(xiàn)，且交于O.因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為 180 °，所以在△OBC中∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12∠ACD.又因?yàn)椤螦CD= 180 °-∠C，所以，∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12 180 °-∠C= 90 °-12∠B-12∠C.又因?yàn)樵凇鰽BC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 90 °-12∠B-12∠C

= 90 °-12∠B+∠C

= 90 °-12 180 °-∠A

=12∠A.

定理4 三角形兩個(gè)角的外角角平分線(xiàn)的夾角等于 90 °減第三角的一半.

說(shuō)明 如圖6，在△ABC中，BP，CQ分別為外角∠EBC和外角∠BCD的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)為O，那么有

∠BOC= 90 °-12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠CBE和∠BCD的角平分線(xiàn)，且交于O.根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180 °，所以在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠CBE-12∠BCD.又因?yàn)椤螩BE= 180 °-∠B，∠BCD= 180 °-∠C，所以∠BOC= 180 °-12 180 °-∠B-12 180 °-∠C=12∠B+12∠C.又因?yàn)樵凇鰽BC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC=12∠B+12∠C=

90 °-12∠A.

這四個(gè)夾角并不是相互獨(dú)立的，可以用一個(gè)圖來(lái)表示這四個(gè)夾角之間的關(guān)系，如圖7.

我們也可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示為

∠BOC= 180 °-∠BQC= 90 °+∠BPC= 90 °+12∠A.

3 回歸題目，拓展延伸

下面我們回到最開(kāi)始的題目，因?yàn)樗蟮摹螦PC是兩個(gè)角平分線(xiàn)的交角，我們可以考慮把它們移動(dòng)到一個(gè)三角形中來(lái)解決它們，參見(jiàn)圖2，于是只需要計(jì)算△OBC的角平分線(xiàn)CP與外角平分線(xiàn)BQ的夾角.但是不要忽略了另一種情形，當(dāng)M從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)是可以跑到△OBC的外部的，如圖8.

畫(huà)清楚圖形是完成幾何題目的第一步，也是最重要一步，通過(guò)作圖，可以建立起初步的幾何直觀感受，比如圖2和圖8中所求的角∠APC，很明顯圖2中的要大一些，比α都要大，圖8中的很明顯要小一些，這就說(shuō)明，對(duì)于不同的情況，∠APC的含α代數(shù)表達(dá)式有可能是不同的.

我們先看第一種情況——交點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，∠APC是△OBC外角角平分線(xiàn)與另一角的角平分線(xiàn)夾角的補(bǔ)角.所以通過(guò)定理3，可以得到∠APC=180°-12α.

第二種情況——交點(diǎn)在△OBC的外部，∠APC是△OBC外角角平分線(xiàn)與另一角的角平分線(xiàn)的夾角，更簡(jiǎn)單一些，直接利用定理3，可以得到∠APC=12α.

例題拓展1 如圖9，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠BAP= 100 °，∠ABC的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，且∠AOQ= 50 °，連接PO，求∠BOP [3] .

解析 在Rt△AOQ中，由于∠AOQ= 50 °，可以得到∠QAO= 40 °，所以可以知道直線(xiàn)AO為△ABP外角的角平分線(xiàn)，又因?yàn)橹本€(xiàn)BO為△ABP的角平分線(xiàn)，所以點(diǎn)O為△ABP的旁心，所以直線(xiàn)PO為△ABP外角的角平分線(xiàn)，利用定理3，可以解得∠BOP= 50 °.

例題拓展2 如圖10，在△ABC中，線(xiàn)BO、CO分別為∠B和∠C的四等分線(xiàn)，即∠OBC=14∠B，∠OCB=14∠C，若∠BOC= 145 °，求∠A.

解析 可以作輔助線(xiàn)幫助理解，作∠B、∠C的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)P，可以利用兩次定理2，可知∠BPC=12∠A+ 90 °及∠BOC=12∠BPC+ 90 °，聯(lián)立兩式，可以解得∠A= 40 °.

參考文獻(xiàn)

[1]陳雨燕.對(duì)三角形角平分線(xiàn)夾角問(wèn)題的探究[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（07）：23-25.

[2]邰俊淑.兩條角平分線(xiàn)夾角探秘[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（18）：51-52.

[3]趙瑞，吳玉倩.基于單元整體教學(xué)背景下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（16）：37-38.

作者簡(jiǎn)介 李菲菲（1982—），女，山東濰坊人，中學(xué)一級(jí)教師，曲阜市優(yōu)秀班主任，曲阜市師德模范、優(yōu)秀教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究;發(fā)表論文多篇.