單元整體教學(xué)視域下的圖形與幾何課堂重構(gòu)

孫秀珍　酈興江

摘要：構(gòu)建單元整體教學(xué)視域下的圖形與幾何課堂，需要教師厘清學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，喚醒學(xué)生思維；需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過操作探究和理性思辨，深化對新知的理解和掌握；需要教師示范引領(lǐng)，解決問題，深度歸納，使學(xué)生逐漸在頭腦中架構(gòu)起完整的知識結(jié)構(gòu)體系。

關(guān)鍵詞：單元整體；圖形與幾何；重構(gòu)

作者簡介：孫秀珍，浙江省紹興市上虞區(qū)實(shí)初教育集團(tuán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校區(qū)高級教師。酈興江，浙江省紹興市上虞區(qū)教師發(fā)展中心特級教師。

在浙江省教育廳教研室和浙江省基礎(chǔ)教育課程材料開發(fā)研究中心主辦的“2022年浙江省初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)‘關(guān)鍵問題解決專題研訓(xùn)”活動中，筆者承擔(dān)了人教版數(shù)學(xué)教材九年級上冊“直線與圓的位置關(guān)系”研討課展示任務(wù)，本課以“自主建構(gòu)知識體系和類比學(xué)習(xí)圖形間位置關(guān)系”為基調(diào)，詮釋了基于“圖形與幾何單元整體教學(xué)”建構(gòu)下對教學(xué)實(shí)踐的一些思考。獲得了廣大參會教師的一致好評。

一、知識回顧，思維熱身

師：同學(xué)們，之前我們曾學(xué)過圖形之間的一些位置關(guān)系，如“點(diǎn)與直線”間的位置關(guān)系。那么點(diǎn)與直線之間有怎樣的位置關(guān)系？

生：點(diǎn)在直線外，點(diǎn)在直線上。

師：接著我們又學(xué)習(xí)了什么？

生：直線與直線的位置關(guān)系。

師：兩條直線有怎樣的位置關(guān)系呢？

生：兩條直線相交或平行。

師：那么兩條直線互相垂直屬于什么情形？

生：互相垂直是兩條直線相交時的特例。

師：我們在這學(xué)期又學(xué)了哪兩個圖形間的位置關(guān)系？

生：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

師：有哪幾種情形？

生：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外。

師：這三種位置關(guān)系是用什么來刻畫的？

生：是用點(diǎn)到圓心的距離[d]與圓半徑[r]之間的大小關(guān)系來刻畫的。

師：今天我們一起來探究直線與圓的位置關(guān)系。（板書課題“直線與圓的位置關(guān)系（1）”）

二、操作探究，揭示新知

師：直線與圓到底具有怎樣的位置關(guān)系呢？讓我們自己一起來探究。（見下頁圖1）

請利用圓形紙片與直尺（直尺一邊抽象成一條直線），探究直線與圓的位置關(guān)系，把你的探究成果與同學(xué)分享。

師：通過操作，同學(xué)們覺得直線與圓具有怎樣的位置關(guān)系，有幾種情形？

生：三種，直線在圓內(nèi)，直線在圓上，直線在圓外。

師：我們請一位同學(xué)把他的探究過程向大家展示一下。

（學(xué)生上講臺演示，將圓形紙片固定不動，直尺慢慢移動靠近圓形紙片，分別得到三種不同的位置關(guān)系）

生：探究圖形的位置關(guān)系時，我們常將一個圖形“固定不動”，而將另一個圖形“慢慢靠近”，從而在這個運(yùn)動過程中來探究它們某個時刻下的“靜態(tài)特征”。這其實(shí)是我們研究圖形位置關(guān)系的常用方法。

師：現(xiàn)在我們請一位同學(xué)到講臺上來，將這三種位置關(guān)系在黑板上畫出來。

師：根據(jù)這位同學(xué)畫的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)分別有……

生：有兩個交點(diǎn)，一個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。

師：其實(shí)，我們可以用“直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)”作為標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行分類，進(jìn)而定義直線與圓的幾種位置關(guān)系。

師：當(dāng)直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線；當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線與圓相離。

三、理性思辨，提煉新知

師：（出示圖2）請判斷直線[l]和⊙[O]的位置關(guān)系。

生：直線[l]和⊙[O]只有一個公共點(diǎn)，因此是相切。

生：看上去好像有兩個公共點(diǎn)，所以也可以說是相交的。

師：當(dāng)我們僅憑觀察公共點(diǎn)個數(shù)無法精確地刻畫直線與圓的位置關(guān)系時，直覺告訴我們，直線與圓的位置關(guān)系需要用更為精確的數(shù)量特征來刻畫。

師：請同學(xué)們認(rèn)真想一想，你認(rèn)為直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)與哪些量有關(guān)？

生：（稍思考一會兒后，開始紛紛議論）和圓心到直線的距離有關(guān)系。

師：同學(xué)們說到點(diǎn)子上了。我們類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系是否也可以類似地用相關(guān)的數(shù)量特征來精確刻畫？我們還是自己來畫圖探究。

（學(xué)生完成教材第34頁“做一做”）

師：同學(xué)們所畫的圓與直線[l]有怎樣的位置關(guān)系？

生：當(dāng)半徑為[12d]時，直線與圓相離；當(dāng)半徑為[d]時，直線與圓相切；當(dāng)半徑為[32d]時，直線與圓相交。

師：同學(xué)們，通過本題的解答，你得到什么啟發(fā)？

生：如果⊙[O]的半徑為[r]，圓心[O]到直線的距離為[d]，那么當(dāng)[d] < [r]時，直線與圓相交；當(dāng)[d=r]時，直線與圓相切；當(dāng)[d] > [r]時，直線與圓相離。

師：這就是直線與圓的位置關(guān)系的判定方法。反過來，知道了直線與圓的位置關(guān)系，我們就可以相應(yīng)得到[d]與[r]之間的數(shù)量關(guān)系，所以這可以作為直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理。

四、智慧運(yùn)用，收獲感悟

師：下面我們根據(jù)所學(xué)知識，完成教材第36頁“課內(nèi)練習(xí)1”。

師：現(xiàn)在我們來看看同學(xué)們的解答情況。

生：因?yàn)閇d] > [r]，所以直線與圓相離。

生：因?yàn)閇d] < [r]，所以直線與圓相交。

生：因?yàn)閇d=r]，所以直線與圓相切。

師：下面請同學(xué)們繼續(xù)完成教材第36頁“課內(nèi)練習(xí)2”。

師：同學(xué)們，要解決這個問題，我們先要做什么？

生：先要求出圓心[C]到直線[AB]的距離。

生：過點(diǎn)[C]作[CD⊥AB]于點(diǎn)[D]，由面積法可求出[CD=2.4]。

師：接下來，請同學(xué)們說一下你們練習(xí)的結(jié)果。

生：當(dāng)[r=2]時，直線[AB]與⊙[C]相離；當(dāng)[r=2.4]時，直線[AB]與⊙[C]相切；當(dāng)[r=3]時，直線[AB]與⊙[C]相交。

師：請同學(xué)們接著思考，若⊙[C]與線段[AB]只有一個公共點(diǎn)，試求[r]的取值范圍。

生：[r=2.4]。

師：有補(bǔ)充的嗎？

生：[r]大于3，小于或等于4。

師：你是怎么思考的？

生：因?yàn)椤裑C]與線段[AB]只有一個交點(diǎn)，就是說與[AD]沒有交點(diǎn)，但與[BD]可以有交點(diǎn)，所以半徑大于3而小于或等于4。

師：同學(xué)們，至此，我們要判斷直線與圓的位置關(guān)系，你有幾種方法可供選擇？

生：兩種，第一種是由直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)來判斷；第二種是由圓心到直線的距離[d]與半徑[r]之間的大小關(guān)系來判斷。

五、經(jīng)典示范，自然生長

師：下面我們來看看這個定理在幾何證明中的應(yīng)用。（出示圖3）

（學(xué)生獨(dú)立思考約1分鐘）

師：顯然，本題不能通過“公共點(diǎn)的個數(shù)”來證明相切。那么，我們?nèi)绾蝸碜C明圓心[P]到直線[AB]的距離等于圓半徑呢？

生：設(shè)圓心[P]到[BC]，[AB]的距離分別為[d1]，[d2]，圓半徑為[r]，因?yàn)辄c(diǎn)[P]在[∠ABC]的角平分線上，所以[d1=d2]，又因?yàn)椤裑P]與[BC]相切，所以[d1=r]，因此[d2=r]，所以⊙[P]與[AB]相切。

師：同學(xué)們，請你接著想一想，在圖3中，若⊙[P]與AB，BC都相切，那么[BP]是[∠ABC]的角平分線嗎？為什么？

生：因?yàn)椤裑P]與[AB]，[BC]都相切，所以[d1=r]，[d2=r]，因此[d1=d2]，所以[BP]是[∠ABC]的角平分線。

師：我們用角平分線性質(zhì)定理的逆定理使這一題得到了證明。接下來我們再看下面這一題，若⊙[P]與[AB]，[BC]分別相切于點(diǎn)[M]，[N]，猜想[BM]與[BN]之間的數(shù)量關(guān)系，并嘗試說明理由。

生：[BM=BN]。

師：為什么？

生：連結(jié)[PM]，[PN]，則[PM⊥AB]，[PN⊥BC]，可得到兩個直角三角形全等，所以[BM=BN]。

師：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，我們把圓外這一點(diǎn)與切點(diǎn)間的線段長度叫做切線長。[BM]，[BN]就是切線長。過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切線長相等。比如這個問題中的[BM=BN]。

師：請繼續(xù)思考下面這個擴(kuò)展題。（出示圖4）

生：[PM=PN=PQ]；[AM=AQ]；[CN=CQ]；[P]是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。

師：這些結(jié)論都是正確的。我們觀察此時的圓與三角形的位置，可以把三邊都與圓相切的三角形叫做圓的外切三角形，圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。這些知識我們將在接下來的幾節(jié)課中陸續(xù)深化學(xué)習(xí)。下面，我們應(yīng)用今天所學(xué)的知識來解決實(shí)際問題。

六、問題解決，學(xué)會概括

師：（出示下頁圖5）在碼頭[A]的北偏東60°方向有一個海島，離該島中心[P]的12海里范圍內(nèi)是一個暗礁區(qū)。貨船從碼頭[A]由西向東航行，行駛了10海里到達(dá)點(diǎn)[B]，這時島中心[P]在北偏東45°方向。若貨船不改變航向，問貨船會不會進(jìn)入暗礁區(qū)？

師：要解決這個實(shí)際問題，我們先得畫出符合題意的問題情境示意圖。

師：實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，閱讀“翻譯”很重要，這個問題事實(shí)上需要我們解決什么？

生：就是要求出島中心[P]到[AB]的距離。

師：其實(shí)，通過建立數(shù)學(xué)模型這個問題就會轉(zhuǎn)化為判斷直線與圓的位置關(guān)系問題。那這個問題中要判斷的是哪條直線與哪個圓的位置關(guān)系呢？

生：直線[AB]與⊙[P]的位置關(guān)系。

師：如何來判斷這種位置關(guān)系呢，哪位同學(xué)把解決過程分享給大家？

生：我們先來求島中心[P]到[AB]的距離。過點(diǎn)[P]作[PH⊥AB]于點(diǎn)[H]，則[∠PAH=300]，[∠PBH=450]，所以[AH=3PH，BH=PH，]而[AH-BH=AB=10]，

所以，[3PH-PH=10]，[PH=103-1]，可以判斷出它比12海里要大，所以貨船不會進(jìn)入暗礁區(qū)。

（學(xué)生敘述過程中，教師板書主要步驟）

師：由實(shí)際問題的提出，我們通過數(shù)學(xué)建模，先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型，再綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解模型，從而獲得實(shí)際問題的解決。（最終呈現(xiàn)圖6）

七、深度歸納，架構(gòu)體系

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們在回顧一些圖形之間位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，自主探索，得到了直線與圓的三種位置關(guān)系——相離、相切、相交。同時，通過圓心到直線的距離[d]與圓半徑[r]的大小比較，在數(shù)量特征上精確地刻畫了這三種位置關(guān)系，完美體現(xiàn)了數(shù)量特征與幾何圖形的有效融合。此外，通過實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，解決暗礁問題，從而提煉出實(shí)際問題解決的一般流程。又通過對教材例題1的深度挖掘與延伸，初步接觸了“三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心與切線長”等相關(guān)知識，這為我們的后續(xù)學(xué)習(xí)作好了鋪墊。

【課堂反思】“直線與圓的位置關(guān)系”是人教版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第二十四章“圓”第二單元的第二課，是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)圖形間的位置關(guān)系的最后一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，如何基于“單元整體教學(xué)”這一視角，通過課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，較好地詮釋這一理念，筆者通過以下三個方面作了一定的努力。一是突出思想方法的教學(xué)，具體表現(xiàn)為通過類比學(xué)習(xí)前面已學(xué)的圖形間的位置關(guān)系來探究得到“直線與圓的位置關(guān)系”，用相同或相似的方法解決新的問題，這是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)返璞歸真、以簡馭繁的基本策略與方法套路，也是實(shí)現(xiàn)“單元整體教學(xué)”的核心指標(biāo)。二是有效實(shí)施對教材例題的延伸拓展教學(xué)，嘗試打開章節(jié)通道，貫通前后內(nèi)容，構(gòu)建知識系統(tǒng)、問題鏈條、思維場景，讓數(shù)學(xué)思維順暢有序、自然生長。三是在“直線與圓的位置關(guān)系”相關(guān)概念辨析過程中，通過由易到難的層層遞進(jìn)式教學(xué)，設(shè)計(jì)思維層級，使思維教學(xué)具有更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)在邏輯，以體現(xiàn)知識的整體性。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］范良火.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（九年級下冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）