小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域模型意識素養(yǎng)培育的策略研究

衛(wèi)健群

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域組成?！皵?shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，在小學(xué)階段包括“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題，學(xué)段之間的內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，由淺入深，層層遞進(jìn)，螺旋上升，構(gòu)成相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。基于核心素養(yǎng)發(fā)展要求，對“問題解決”板塊進(jìn)行整體劃分與設(shè)計(jì)，增強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容與素養(yǎng)培育的聯(lián)系，改變傳統(tǒng)單類題型的教學(xué)形態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化。本文試結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教材，以課程標(biāo)準(zhǔn)為引領(lǐng)，優(yōu)化內(nèi)容組織形式，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，從而有效發(fā)展學(xué)生“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的模型意識和應(yīng)用意識，落實(shí)核心素養(yǎng)。

一、依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，分析素養(yǎng)指向

1.課標(biāo)陳述

與本板塊相關(guān)的課標(biāo)陳述如下：

（1）發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。

（2）引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)和字母表達(dá)數(shù)量關(guān)系，通過運(yùn)算或推理解決問題，形成符號意識、推理意識和初步的應(yīng)用意識。

（3）引導(dǎo)學(xué)生嘗試在真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索運(yùn)用基本的數(shù)量關(guān)系以及幾何直觀、邏輯推理和其他學(xué)科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。

2.課標(biāo)分析

“問題解決”板塊可以通過縱向研究小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，整理匯總出“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域課標(biāo)要求涵蓋的問題類型即關(guān)系模型和典型模型，解析典型命題，確定四類?？碱}型：單位“1”問題、找不變量問題、比的應(yīng)用問題、百分?jǐn)?shù)問題。按照“閱讀理解—分析與解答—總結(jié)與反思”的范式解決問題，即第一步：閱讀理解題目信息，理解已知條件中的關(guān)鍵信息，明確未知條件及問題類型；第二步：分析與解答，嘗試找尋解決問題的方法與途徑，借助數(shù)形結(jié)合、假設(shè)、類比等數(shù)學(xué)方法厘清解題思路，選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題；第三步：總結(jié)與反思問題解決的過程，歸納形成解題技巧，積累、建立數(shù)學(xué)模型。由此可見，課標(biāo)要求學(xué)生在真實(shí)情境中，在“三位一體”的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過程中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)意識的發(fā)展，共同指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。而“問題解決”板塊教研意圖通過明確“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)W生的模型意識和應(yīng)用意識的培育策略，來落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、深度分析教材，確立素養(yǎng)目標(biāo)

1.教材分析

小學(xué)階段“問題解決”板塊內(nèi)容縱向梳理（見表1）：

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材設(shè)置了專門的“問題解決”教學(xué)板塊，以“用數(shù)學(xué)”“解決問題”的形式縱向分布于一至六年級教材各單元的四個(gè)領(lǐng)域之中。每一個(gè)問題解決的例題都呈現(xiàn)了解決問題的一般步驟，即理解問題情境—發(fā)現(xiàn)問題并分析問題—尋找解決方案并嘗試解決—對解決結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和回顧反思。板塊探究的視野下，從課程全局整體解讀，“向上”連通核心素養(yǎng)；從教材內(nèi)容全面解讀，“向下”整合知識與技能；教師從“教什么”深化為“怎么教”，學(xué)生從“學(xué)什么”深化為“怎么學(xué)”。學(xué)生在“解決問題”板塊的探究過程中逐步建立模型意識、推理意識、應(yīng)用意識，以此促進(jìn)學(xué)科知識技能向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化。

2.單元教材分析

數(shù)量關(guān)系是新課標(biāo)對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合后的新的學(xué)習(xí)主題。以“問題解決”板塊為例，依托課程標(biāo)準(zhǔn)，從教材整體把握六年級上冊問題解決教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生將零散性的知識內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和歸納，從而幫助學(xué)生構(gòu)建“問題解決”板塊的解題策略。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程是培養(yǎng)學(xué)生初步的模型意識、應(yīng)用意識的過程，同時(shí)也是教師把握、整合、運(yùn)用教材能力的雙向提升的過程。

在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域數(shù)量關(guān)系教學(xué)中，要加強(qiáng)比、比例、按比分配、成正反比例的量內(nèi)容間的銜接聯(lián)系?！皢栴}解決”板塊教研從一致性的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生感受知識間的遞進(jìn)與聯(lián)系，是培養(yǎng)學(xué)生初步的推理意識、應(yīng)用意識、遷移能力的過程，同時(shí)也是提升教師跨越教材維度、靈活運(yùn)用教材的過程?！皢栴}解決”板塊在六年級上冊教材中涵蓋了分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比、百分?jǐn)?shù)四個(gè)單元。單元所屬“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。四大單元內(nèi)容是學(xué)生對“數(shù)的概念”的深化認(rèn)識，通過原有知識經(jīng)驗(yàn)遷移提升，建立單元內(nèi)容間的有效聯(lián)系。其中，“分?jǐn)?shù)乘法、除法”是在學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)有關(guān)計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，重在培養(yǎng)學(xué)生分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算能力以及解決實(shí)際問題的能力；“比的應(yīng)用”是在學(xué)習(xí)了除法、分?jǐn)?shù)等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，為后期學(xué)習(xí)圓周率、百分?jǐn)?shù)、比例等知識奠定基礎(chǔ)；“百分?jǐn)?shù)”這一單元明確要求理解百分?jǐn)?shù)的意義、掌握百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，學(xué)會解決簡單的有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題。通過全面剖析分?jǐn)?shù)四個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生體會、理解和掌握歸納法、類比法，體會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的有效性，從而使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識、模型意識、應(yīng)用意識。

3.確立素養(yǎng)目標(biāo)

綜上，結(jié)合課標(biāo)要求和教材意圖，本板塊目標(biāo)為：

（1）經(jīng)歷解決稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)乘、除法的實(shí)際問題過程，能進(jìn)一步積累畫圖分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)分析、比較、抽象、概括、歸納、類推的能力，以此發(fā)展推理意識、應(yīng)用意識；

（2）能正確運(yùn)用按比分配的方法解決問題，體會問題解決策略的多樣性，以此發(fā)展模型意識、應(yīng)用意識；

（3）能正確解決有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，在真實(shí)情境中，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，提高用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，以此發(fā)展學(xué)生的推理意識、模型意識、應(yīng)用意識。

三、明確培育策略，落實(shí)核心素養(yǎng)

經(jīng)過本板塊教研，梳理分析大量的教材例題以及經(jīng)典命題，借助“閱讀理解—分析與解答—總結(jié)與反思”的問題解決應(yīng)用范式，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際生活理解數(shù)量關(guān)系，獲取解決典型問題的一般方法。即數(shù)學(xué)教學(xué)最終目標(biāo)是要在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，構(gòu)建問題解決的圖示、模型，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)落地。結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容案例，通過梳理六年級上冊“問題解決”板塊，歸納出以下四類?？碱}型。

題型一：單位“1”問題。

例：地球表面積約5.1億平方公里，其中陸地面積約占29%，海洋面積大約是多少億平方公里？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，理解題意：閱讀題目，明確本題所屬類型，選取關(guān)鍵信息，明確問題；

第二步，借助典型模型，列式計(jì)算：根據(jù)類型，選取典型模型，借助數(shù)量關(guān)系，列式并解答；

第三步，代入數(shù)據(jù)結(jié)果，反思驗(yàn)證：將結(jié)果代入數(shù)量關(guān)系式中，進(jìn)行驗(yàn)證。

題型二：找不變量問題。

例：一個(gè)燒杯裝有50克的鹽水，鹽與水的質(zhì)量比為1∶4。加入多少克鹽，才能使鹽與水的質(zhì)量比為3∶8？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，明確不變量：利用找不變量的方法解決問題；

第二步，借助典型模型，利用轉(zhuǎn)化策略：把前后兩個(gè)分率均轉(zhuǎn)化為以不變量為單位“1”，或轉(zhuǎn)化為原來另一個(gè)量是不變量的幾分之幾；

第三步，量率對應(yīng)，解決問題：變化的量÷（大分率-小分率），求出不變量是多少。

題型三：比的應(yīng)用問題（含有兩個(gè)未知數(shù)問題）。

例：為預(yù)防甲型H1N1流感，防疫人員把消毒液和水按1∶7的比例，制作消毒水進(jìn)行殺菌消毒?，F(xiàn)需要配制240千克消毒水，則需要準(zhǔn)備消毒液和水各多少千克？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目，找準(zhǔn)關(guān)鍵信息：明確選用分?jǐn)?shù)法、份數(shù)法解題方法；

第二步，借助典型模型，抓住解題策略：運(yùn)用替換方法，將兩個(gè)量的關(guān)系替換為一個(gè)量與總量的關(guān)系，從而簡化解決問題；

第三步，數(shù)量關(guān)系，解決問題：借助等量關(guān)系式，由總量計(jì)算各部分量。

題型四：百分?jǐn)?shù)問題。

例：書店里面有文學(xué)課外讀物200本，手繪畫冊160本，那么① 類：書店中手繪畫冊是文學(xué)課外讀物的百分之多少？② 類：文學(xué)課外讀物比手繪畫冊多百分之多少？手繪畫冊比文學(xué)課外讀物少百分之多少？③ 類：3月書店圖書總量比2月上漲了10%，4月又比3月下降了15%，4月比2月上漲了還是下跌了，漲跌的幅度是多少？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，理解題意：根據(jù)題意，分析所屬類型；

第二步，借助典型模型，列式計(jì)算：根據(jù)模型，分析數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式計(jì)算解答；

第三步，代入數(shù)據(jù)結(jié)果，反思驗(yàn)證：將數(shù)據(jù)結(jié)果代入數(shù)量關(guān)系式中，進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

通過對“問題解決”板塊的研究，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)現(xiàn)問題，感知實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識之間的密切聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生在生活中學(xué)以致用，主動(dòng)嘗試知識建構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，形成解決問題的數(shù)學(xué)模型思維，并轉(zhuǎn)化為具體的問題解決策略，對于各類數(shù)學(xué)問題的解決能夠“看得清、想得深、講得明”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程“最優(yōu)化”，從而落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是我們梳理“問題解決”板塊的價(jià)值意義所在。

（作者單位：山東省濟(jì)南市歷城區(qū)禮軒小學(xué)）

責(zé)任編輯：莊 源

注：本文系濟(jì)南市教育科學(xué)規(guī)劃2022年度專項(xiàng)課題 “小學(xué)初中有效銜接育人機(jī)制的建構(gòu)與實(shí)踐研究”（課題編號：2022XJ04）的階段性研究成果。