利用轉(zhuǎn)化思想 提升運(yùn)算能力

徐小玉

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)會(huì)自己學(xué)習(xí).而轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，是教師教學(xué)中的重點(diǎn).通過(guò)系統(tǒng)解讀教材，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與運(yùn)算”主題的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化特征明顯，教學(xué)時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想可將這個(gè)主題的內(nèi)容有效聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與方法的遷移，使學(xué)生學(xué)習(xí)變得更輕松更持久，其核心素養(yǎng)也能得到發(fā)展.

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)與運(yùn)算；內(nèi)容結(jié)構(gòu)化；轉(zhuǎn)化思想

2022年版新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，更注重?cái)?shù)學(xué)課程的整體性與一致性，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域由原來(lái)的四個(gè)主題變?yōu)閮蓚€(gè)主題，把負(fù)數(shù)、方程、反比例相關(guān)內(nèi)容都移到了初中進(jìn)行教學(xué).下面具體說(shuō)說(shuō)“數(shù)與運(yùn)算”主題的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化特征.

1 “數(shù)與運(yùn)算”主題中內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的特征分析

整個(gè)小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題，橫向來(lái)看是發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，即整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)；縱向來(lái)看是發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，即不同運(yùn)算的發(fā)展.兩者螺旋遞進(jìn)，如：認(rèn)識(shí)自然數(shù)的同時(shí)，運(yùn)算也隨之產(chǎn)生，從1開(kāi)始每次+1，產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù).

1（+1）→2，2（+1）→3，3（+1）→4……

加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)，其他運(yùn)算都可從加法運(yùn)算導(dǎo)出：減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是求相同加數(shù)的和，除法是乘法的逆運(yùn)算.整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，核心概念都是“相同數(shù)位上的個(gè)數(shù)相加”.

新版數(shù)學(xué)課標(biāo)的統(tǒng)整，加強(qiáng)了“數(shù)與運(yùn)算”主題中的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的特征.目的是讓教師能深入淺出地理解教材，用轉(zhuǎn)化的教學(xué)思想，使學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，將所學(xué)內(nèi)容的差異勾連，從而理解知識(shí)間的核心概念，促進(jìn)其用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

2 轉(zhuǎn)化思想在“數(shù)與運(yùn)算”主題中的應(yīng)用

由上述分析可看出，“數(shù)與運(yùn)算”主題結(jié)構(gòu)化特征明顯，這樣的教材內(nèi)容十分適合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想勾連新舊知識(shí).

2.1 解讀轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指：將對(duì)于學(xué)生而言的新知、需要解決的問(wèn)題，在頭腦里通過(guò)知識(shí)的重組和改變，與原有的知識(shí)相勾連，化歸為已經(jīng)掌握的知識(shí)、已經(jīng)會(huì)解決的問(wèn)題，使新知得以用學(xué)過(guò)的方法、手段來(lái)解決.通常能將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象的問(wèn)題具體化、將特殊的問(wèn)題一般化.

讓學(xué)生理解思想方法、學(xué)會(huì)自己學(xué)習(xí)，是新課程的任務(wù).轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)思考方法，是我們教師教學(xué)的重要目標(biāo).

2.2 運(yùn)用類比，使陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題

類比方法是通過(guò)對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象的比較，根據(jù)它們某些方面（屬性、關(guān)系、特征、形式）的相同或類似之處，推理出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蝾愃频囊环N推理方法.［1］

蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，是在二、三年級(jí)學(xué)習(xí)“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”基礎(chǔ)上的延續(xù)，也是小學(xué)階段整數(shù)乘法的最后部分內(nèi)容.因此要學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，必然要讓學(xué)生勾連舊知“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，教學(xué)環(huán)節(jié)可以這樣設(shè)計(jì)：

2.2.1 導(dǎo)入：回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、算法

師：老師從家到學(xué)校步行需要21分鐘，每分鐘走91米，請(qǐng)問(wèn)老師家到學(xué)校的距離是多少米？

（教師首先讓學(xué)生列豎式計(jì)算91×21，同時(shí)讓兩名學(xué)生上臺(tái)板演列豎式解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理及算法）

2.2.2 新授：類比三位數(shù)乘兩位數(shù)與舊知的關(guān)聯(lián)

師：我們?cè)賮?lái)解決一個(gè)問(wèn)題：李叔叔從某城市乘火車(chē)去北京用了12小時(shí)，火車(chē)每小時(shí)行145千米，該城市到北京有多少千米？

（教師引導(dǎo)學(xué)生讀題，并分析題目中的數(shù)量關(guān)系）

師：那我們?cè)撛趺戳惺侥兀?/p>

生：145×12=.

師：這是幾位數(shù)乘幾位數(shù)呀？

生：“145”是三位數(shù)，“12”是兩位數(shù)，所以是“三位數(shù)乘兩位數(shù)”.

師：是的，讓我們今天一起學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”.

師：同學(xué)們自己試著計(jì)算一下145×12.

預(yù)設(shè)1：將12分解成10加2，145乘2等于290，再用145乘10等于1450，最后用290加1450等于1740.

預(yù)設(shè)2：將12看成2乘6，先用145乘2等于290，再用290乘6等于1740.

預(yù)設(shè)3：將12看成3乘4，先用145乘3等于435，再用435乘4等于1740.

預(yù)設(shè)4：還可以列豎式計(jì)算.

2.2.3 拓展：四位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)的算理、算法

師：三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法是一樣的，那還有幾位數(shù)乘幾位數(shù)呢？你會(huì)計(jì)算嗎？

本節(jié)課是要通過(guò)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算法類比，發(fā)現(xiàn)共同部分：都是將第一個(gè)因數(shù)看作整體，先用第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位乘第一個(gè)因數(shù)，再用第二個(gè)因數(shù)的十位乘第一個(gè)因數(shù).（如圖1）勾連舊知建模后，學(xué)生不再對(duì)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算感到陌生，通過(guò)熟悉的模型解決三位數(shù)乘兩位數(shù)的問(wèn)題，同時(shí)為以后解決多位數(shù)乘多位數(shù)的問(wèn)題奠定了算法基礎(chǔ).

除了要關(guān)注“三位數(shù)乘兩位數(shù)”知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，也要關(guān)注到教材的連續(xù)性.預(yù)設(shè)的前3種運(yùn)算方法，都是將第二個(gè)因數(shù)進(jìn)行分解，實(shí)質(zhì)上是為學(xué)習(xí)同冊(cè)書(shū)第五單元乘法分配律和結(jié)合律埋下了伏筆.數(shù)與運(yùn)算主題中結(jié)構(gòu)化的特征，為使用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行教學(xué)提供了內(nèi)容基礎(chǔ).

2.3 統(tǒng)一條件，把特殊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的問(wèn)題

統(tǒng)一條件就是通過(guò)協(xié)調(diào)問(wèn)題中未統(tǒng)一的部分，來(lái)突出條件之間的本質(zhì)聯(lián)系，便于解決問(wèn)題.這在解決較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)加減乘除時(shí)，作用顯得尤其突出.［1］

蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)第五單元“異分母分?jǐn)?shù)加法和減法”，是在學(xué)習(xí)了“同分母分?jǐn)?shù)加法和減法”“倍數(shù)和因數(shù)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的.例題出示了兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)相加的算式“12+14”，由于分?jǐn)?shù)單位不同無(wú)法直接進(jìn)行加減計(jì)算.這節(jié)課的難點(diǎn)就是在于理解：計(jì)數(shù)單位相同方可進(jìn)行計(jì)算；學(xué)生要體會(huì)知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，感受轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)思維能力.可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)：

2.3.1 導(dǎo)入：腦筋急轉(zhuǎn)彎揭示核心概念——計(jì)數(shù)單位相同才能相加減

師：1+1什么時(shí)候可以等于11？

談話：比如1元+1角=11角.

追問(wèn)：為什么不是等于2元或者2角呢？

預(yù)設(shè)生：?jiǎn)挝徊煌?

明確：?jiǎn)挝徊煌瑫r(shí)，不能直接相加.

2.3.2 新授：明確分?jǐn)?shù)加減的前提——統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位

例1 明橋小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形試驗(yàn)田，其中12種黃瓜，14種番茄.黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？

師：異分母分?jǐn)?shù)加法又該怎樣計(jì)算呢？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的理解和經(jīng)驗(yàn)，借助手中的長(zhǎng)方形紙折一折，看一看，想一想，試著來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

預(yù)設(shè)1：12+14＝26＝13，

預(yù)設(shè)2：12+14＝16，

預(yù)設(shè)3：12+14＝24+14＝34，

預(yù)設(shè)4：12+14＝0.5+0.25＝0.75＝34，

反饋交流：答案各不相同，哪種算法對(duì)呢？為什么對(duì)？錯(cuò)的又錯(cuò)在哪里？

討論預(yù)設(shè)3的算式，12與14的分?jǐn)?shù)單位不同，不可以直接相加.

明確：先化成分母相同的分?jǐn)?shù)，也就是讓它們的分?jǐn)?shù)單位相同，分?jǐn)?shù)單位相同就能直接相加了.這種把異分母轉(zhuǎn)化成同分母的方法，叫做通分.

這節(jié)課中，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，是用了統(tǒng)一條件的轉(zhuǎn)化思想，達(dá)成了分?jǐn)?shù)單位相同才能做加減法的核心概念.

2.4 數(shù)形結(jié)合，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，常被老師們用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題、分析數(shù)量關(guān)系，以及用于空間與幾何中，但在“數(shù)與運(yùn)算”主題用數(shù)形結(jié)合的老師并不多.實(shí)際上，數(shù)形結(jié)合利用其具體化、形象化的圖示，是有利于老師闡述算理的形成，并將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化的.

蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第五單元“小數(shù)乘小數(shù)”這節(jié)課的算理教學(xué)，是將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，再根據(jù)積的變化規(guī)律，確定積的小數(shù)點(diǎn)位置.如果畫(huà)一個(gè)正方形來(lái)闡述小數(shù)乘法的算理，就能夠更直觀、更便于理解.

創(chuàng)設(shè)情境：一張桌子的桌面是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)0.8米，寬0.7米，它的面積有多大？

求面積時(shí)產(chǎn)生新計(jì)數(shù)單位，如圖2，先畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)1米的正方形，把邊長(zhǎng)平均分成10份，桌子的長(zhǎng)取8份，寬取7份.在豎著分、橫著分的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)共分成了100小份、每小份是0.01平方米，也就是說(shuō)0.8×0.7的過(guò)程中，產(chǎn)生了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位“0.01”.這個(gè)長(zhǎng)方形桌面，一行有8個(gè)0.01，有7行，共有56個(gè)0.01，是0.56.用這樣的面積模型，來(lái)表示小數(shù)乘小數(shù)的算理，更直觀，并且有利于在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)中，繼續(xù)用該模型進(jìn)行算理的表達(dá).

蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第二單元“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”，算理教學(xué)時(shí)教材也采用了面積模型來(lái)介紹算理，但是教材中例題使用的情境相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生理解起來(lái)比較困難.我們可以先采用以下簡(jiǎn)單的情境，利用數(shù)形結(jié)合，將復(fù)雜抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，從而有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理.

創(chuàng)設(shè)情境：一個(gè)長(zhǎng)方形菜地長(zhǎng)710分米，寬310分米，它的面積有多大？

求面積時(shí)產(chǎn)生新計(jì)數(shù)單位：如圖3，先畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)1分米的正方形，先找邊長(zhǎng)的710，再找邊長(zhǎng)的310，要求的大小就是涂色部分.在均分的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位“1100”.這個(gè)長(zhǎng)方形菜地，一行有7個(gè)1100，有3行，共有21個(gè)1100，即21100.

以形解數(shù)，用這樣的圖示可以清晰地表達(dá)，把大正方形平均分成了100份，每一份就是1100，取了其中的21份，就是21100.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的圖示，還可以清楚地感知，其實(shí)小數(shù)乘小數(shù)與分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理是一致的.

3 轉(zhuǎn)化思想在“數(shù)與運(yùn)算”主題中各年段滲透的深度

由上述分析可知，轉(zhuǎn)化思想作為一種常用的推理方法，是教師教學(xué)的內(nèi)容之一.但是需注意的是，在小學(xué)各年段，轉(zhuǎn)化思想的滲透深度是不同的.［2］

3.1 低段學(xué)生感知轉(zhuǎn)化思想

在蘇教版數(shù)學(xué)教材低段里，教材只是安排了學(xué)生在運(yùn)算的過(guò)程中感悟轉(zhuǎn)化能夠解決問(wèn)題，感知即可、不必言明.例如，在教學(xué)十幾減9時(shí)，可以用“想加算減”的方法解決問(wèn)題.這部分教學(xué)，學(xué)生能夠感知減法算式，可以轉(zhuǎn)化為“9+□=1□”這樣的模型來(lái)解決，不需要一步步道明其解題步驟.

3.2 中段學(xué)生了解轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化作為解決問(wèn)題的策略之一，雖然是在小學(xué)高段教材中才學(xué)習(xí)的，但是中段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，已經(jīng)需要老師帶領(lǐng)學(xué)生感知轉(zhuǎn)化思想在平時(shí)課堂中的應(yīng)用了.如四年級(jí)下冊(cè)運(yùn)算律中，看到算式中含有“4×25”“125×8”這樣可以湊整百、整千的式子，就需要敏銳地把它們從多步計(jì)算中提煉出來(lái)了.例如在解決125×56時(shí)，將原式變形為125×8×7，就是對(duì)原題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.

3.3 高段學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想

新課標(biāo)要求教師不僅要授之以魚(yú)，還要授人以漁.學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)知識(shí)，更要學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)新知識(shí).轉(zhuǎn)化思想是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思維方式，在低段、中段能潤(rùn)物無(wú)聲地感知、累積并轉(zhuǎn)化思想，到了高段，面對(duì)復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣對(duì)新知不會(huì)覺(jué)得陌生、抽象或束手無(wú)策.學(xué)生在以后遇到相似的問(wèn)題時(shí)如果可以擅用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象的問(wèn)題具體化、將特殊的問(wèn)題一般化，那么這將終身受益.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張衛(wèi)星.轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.教學(xué)與管理，2009（20）：40-42.

［2］ 林碧珍.深研數(shù)學(xué)教材 滲透轉(zhuǎn)化思想——試談數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透（一）［J］.湖北教育（教育教學(xué)），2010（8）：13-15.