“破運算之困 現(xiàn)課堂之彩”

肖輝 吳云

摘 要：以“直線與圓錐曲線綜合”教學為例，探討了教學中的難點和問題，提出了通過突出核心素養(yǎng)、拓寬視野范圍和靈活運用方法技巧等策略，培養(yǎng)學生數(shù)形結合意識，提高學生的解題效率，同時注重發(fā)展學生的幾何思想和創(chuàng)新能力.

關鍵詞：高中數(shù)學；教學探索；運算方法

直線與圓錐曲線綜合是高中數(shù)學中的一個重要內容，涉及多種幾何圖形和運算方法，因此在教學中往往存在著許多難點和問題.傳統(tǒng)的教學模式往往過于強調運算技巧，而忽視了對學生幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，難以激發(fā)學生的學習興趣和學習熱情.因此，本文旨在探討如何通過有效的教學策略和過程，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識和解題效率，同時注重發(fā)展學生的幾何思想和創(chuàng)新能力.

1 直線與圓錐曲線綜合教學難點與問題

1.1 難點

圓錐曲線是高中數(shù)學中的重要內容，也是較為困難的一部分.學生在學習圓錐曲線時，需要掌握其概念、標準方程和幾何本質.在概念方面，學生需要了解何為圓錐曲線；在標準方程方面，學生需要學會如何找到突破點以構造方程；在幾何本質方面，學生需要理解圓錐曲線的多樣性和靈活性.可以認為，圓錐曲線的教學需要建立在扎實的數(shù)學基礎上.學生需要對之前所學的知識和內容有更全面、透徹的理解，以提高遷移學習和理解的能力.常規(guī)情況下，每年的高考都會出現(xiàn)涉及圓錐曲線的題目，包括選擇題、填空題和解答題，分值也有所不同.然而，學生在解答這些題目時得分率普遍不高.在圓錐曲線的授課過程中，學生必須依靠綜合與系統(tǒng)性思維進行分析，才能夠了解知識點的基礎架構，并明確其運算應用方法［1］.在部分情況下，學生可能不具備相關基礎，最終導致題目計算精確性不足，容易在化簡與變形方面出現(xiàn)問題，最終導致教學質量下降.因此，“直線與圓錐曲線綜合”教學面臨諸多難點，需要探索有效的授課方式，以達到理想的教學目標.

1.2 問題

1.2.1 過于強調運算技巧

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學中比較重要的知識點，也是學生普遍認為較為困難的一部分.在直線與圓錐曲線的綜合教學中，往往存在著過于強調運算技巧的問題，導致學生在學習過程中難以掌握其本質.許多教師往往注重學生對基礎概念的掌握和運算技巧的訓練，如方程的推導、參數(shù)的求解等.這些技巧的確是學習直線與圓錐曲線所必須要掌握的，但如果過于強調技巧，而忽略了其實際應用的本質，就會使學生難以真正理解其內涵.

1.2.2 忽視幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

在直線與圓錐曲線的綜合教學中，往往存在著忽視幾何思想和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的問題，導致學生難以真正掌握其內涵和應用.一些教師注重學生對基礎概念的掌握和運算技巧的訓練，忽視了其幾何思想和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這樣的教學方法雖然能夠提高學生的運算能力，但卻難以幫助學生真正理解其應用和意義.直線與圓錐曲線的知識點是具有明顯幾何意義的，而這種幾何意義的理解是學生們真正掌握其內涵和應用的關鍵.因此，在教學過程中，我們應該注重其幾何思想的講解和應用，讓學生能夠真正理解其應用和意義.

2 直線與圓錐曲線綜合教學設計策略與流程

2.1 策略

2.1.1 突出核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識

核心素養(yǎng)是新課程標準提出的數(shù)學教育目標之一，包括數(shù)學思想方法、數(shù)學運用能力、數(shù)學創(chuàng)新意識等方面.在直線與圓錐曲線綜合知識內容教學中，應該注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識，即通過觀察、分析、推理等方式，在抽象和具體之間建立聯(lián)系，理解并運用各種圖形模型來解決問題.例如，在討論直線與圓錐曲線的位置關系時，可以利用圖形變換、坐標系變換等方法來簡化問題，并引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質；在討論圓錐曲線中的弦長公式時，可以利用兩點距離公式或者點差法來推導，并引導學生理解其幾何意義；在討論拋物線焦點弦長時，可以利用對稱性或者角度關系來求解，并引導學生發(fā)現(xiàn)其與正弦函數(shù)之間的聯(lián)系［2］.通過此類方式，達到理想的教學目標，提高學生的實踐能力.

2.1.2 拓寬視野范圍，激發(fā)學生的探究興趣

直線與圓錐曲線不僅是純粹的數(shù)學概念和工具，也是自然界和人類文明中廣泛存在和應用的對象.在直線與圓錐曲線綜合知識內容教學中，應該拓展視野范圍，引入一些跨領域或者實際情境中的例子和問題，激發(fā)學生對于數(shù)學本身與其他領域之間聯(lián)系的探究興趣.例如，在介紹圓錐曲線時，可以從天文知識出發(fā)，利用衛(wèi)星軌道或者行星軌道來引入橢圓或者雙曲線；在介紹直線與圓錐曲線相交時，可以從工程設計出發(fā)，利用橋梁結構或者建筑物輪廓來引入拋物線；在介紹垂徑定理時，可以從藝術欣賞出發(fā)，利用畫家作品中使用透視法來引入平行投影.此類方式可以有效強化學生探索問題的興趣，讓他們真正參與到課堂中，實現(xiàn)高質量教學的目標.

2.1.3 提高解題處理靈活性，增加基礎探索效率

直線與圓錐曲線相關聯(lián)的問題，往往涉及到方程的求解、圖形的繪制、性質的應用等方面.在直線與圓錐曲線綜合知識內容教學中，應該靈活運用方法技巧，提高解題效率.例如，在求解直線與圓錐曲線相交時，可以利用韋達定理或者因式分解來簡化計算；在繪制圓錐曲線時，可以利用對稱性或者漸近線來輔助作圖；在應用圓錐曲線性質時，可以利用垂徑定理或者焦點性質來簡化問題.同時，也要注意培養(yǎng)學生的思維習慣，幫助學生養(yǎng)成方法論意識，讓他們能夠從多個角度和層次去分析和解決問題.

2.2 過程

2.2.1 引入

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學中比較重要的兩個概念，學生需要掌握它們的定義、性質和應用.為了讓學生更好地理解這兩個概念，可以采用實際問題或歷史背景來引出“直線與圓錐曲線綜合”的相關問題，從而激發(fā)學生的好奇心和求知欲.例如，在現(xiàn)實生活中，我們常常需要設計一些物體，比如建筑、汽車、船舶等.這些物體往往具有不同的形狀和曲線，而其中很多曲線都可以用圓錐曲線來描述.比如，汽車的車輪和船舶的船身都可以用橢圓來描述，而建筑中的拱形和穹頂也可以用圓錐曲線來描述［3］.此外，在設計中，直線也是一個非常重要的概念，因為直線可以用來描述物體的邊界、對稱軸、法線等等.在歷史背景方面，可以介紹古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯提出的一個著名問題：“如何用圓錐曲線來構造一個立體，使得這個立體具有相同的截面？”這個問題被稱為圓錐曲線綜合問題，它引發(fā)了人們對圓錐曲線的研究，推動了幾何學的發(fā)展.通過這些實際問題和歷史背景的介紹，可以讓學生更好地理解直線和圓錐曲線的重要性和應用價值，激發(fā)他們的好奇心和求知欲，為后續(xù)的學習打下良好的基礎.

2.2.2 探究

直線與圓錐曲線是高中數(shù)學中非常重要的概念，對于學生來說，通過探究直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質，可以更深刻地理解這些概念，從而提高其數(shù)學素養(yǎng).因此，教師可以采用探究式教學的方法，引導學生通過分組合作或個人自主學習，利用已有知識或網(wǎng)絡資源，探索直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質.在這個過程中，教師應該充當指導者的角色，引導學生思考、探究和發(fā)現(xiàn)問題的解法和性質.例如，教師可以提出一個具體的問題，然后引導學生進行討論和探究，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題的解法和性質，同時教師也可以提供相關的網(wǎng)絡資源和參考資料，讓學生能夠更好地理解和掌握知識.此外，教師還可以通過分組合作的方式，讓學生在小組內互相協(xié)作，共同探究問題，讓學生在合作中學習，促進學生之間的交流和合作.在小組合作中，學生可以相互討論問題的解法和性質，相互協(xié)作完成任務，從而提高學生的綜合素養(yǎng)和協(xié)作能力.

2.3 討論

在學生通過探究直線與圓錐曲線綜合問題的解法和性質之后，教師可以采用展示、交流或辯論等方式，讓學生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同解法的優(yōu)劣，歸納總結規(guī)律，從而鞏固和深化學生的知識.展示是一種有效的教學方式，可以讓學生將自己的發(fā)現(xiàn)和成果展示出來，以便其他同學和教師的反饋和評價.在展示的過程中，學生可以分享自己的思考過程、解題方法和答案，同時可以借鑒其他同學的解題方法，進一步提高自己的解題能力［4］.教師在展示過程中也可以提出一些問題或提供一些思路，引導學生深入思考和探究問題.交流是一種互動性強的教學方式，可以促進學生之間的交流和合作.在交流的過程中，學生可以分享自己的經驗和感受，從其他同學的經驗中學習，進一步提高自己的思維和解題能力.教師在交流的過程中可以提出一些問題或引導學生探究問題，同時可以幫助學生糾正錯誤，加深學生的理解和掌握.

辯論是一種討論和交流的方式，可以幫助學生深入思考和探究問題.在辯論的過程中，學生可以對不同解法的優(yōu)劣進行比較和辯論，以進一步掌握和應用知識.教師在辯論的過程中可以提出一些問題或引導學生辯論，同時可以幫助學生總結和歸納規(guī)律，深化學生對知識的理解和掌握.通過展示、交流或辯論等方式，讓學生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同解法的優(yōu)劣，歸納總結規(guī)律，是一種有效的教學方法，可以促進學生的思考和探究，加深學生對知識的理解和掌握，提高學生的解題能力和綜合素養(yǎng).

2.4 應用

在直線與圓錐曲線綜合部分的應用教學中，設計有趣或有挑戰(zhàn)性的實際問題或高考真題，可以幫助學生運用所學知識解決問題，檢驗自己的理解和掌握程度，提高學生的解題能力和綜合素養(yǎng).在設計實際問題的過程中，教師可以根據(jù)學生的實際情況或興趣愛好，設計直線與圓錐曲線相關的問題，讓學生運用所學知識解決問題.通過解決實際問題，學生可以增強對知識的理解，并能進一步加深對知識的理解和記憶.

設計高考真題是一種檢驗學生掌握程度的方式，可以幫助學生了解考試題型和難度，提高學生的應試能力.在設計高考真題的過程中，教師可以選擇直線與圓錐曲線相關的真題，讓學生運用所學知識解決問題［5］.通過解決高考真題，學生可以了解考試要求和難度，加深對知識的理解，同時還能提高學生的應試能力和信心.

3 教學案例分析

在課程授課階段，教師首先需要明確教學目標.“直線與圓錐曲線綜合”應當使學生了解直線與圓錐曲線的位置關系及其幾何意義，并掌握求解直線與圓錐曲線交點、切點、切線方程等問題的方法，同時培養(yǎng)學生運用直線與圓錐曲線知識解決實際問題和高考問題的能力.教學內容通常包括直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系；直線與圓錐曲線交點、切點、切線方程的求法；直線與圓錐曲線綜合問題的解法.

在引入環(huán)節(jié)，教師可以通過展示一張火山口照片，引出火山口形狀是由直線與拋物面相交而成的，引導學生思考如何求出直線與拋物面相交時所得圖形（即拋物線）的方程，并讓他們聯(lián)想到其他類似情況，如直線與球面相交（即橢圓）、直線與雙曲面相交（即雙曲線）等，激發(fā)他們對本節(jié)內容的興趣和好奇心.隨后，即可進入探究環(huán)節(jié).通過分組合作或個人自主學習，讓學生利用已有知識或網(wǎng)絡資源，探索以下幾個問題：如何判斷一條直線和一條圓錐曲線是否相交、相切或相離？如何求出一條直線和一條圓錐曲線的交點坐標？如何求過圓錐曲線上一點，并分該圓錐曲線相切的直線方程如何利用以上知識解決實際問題或高考題？

等待學生完成問題探究后，教師應當繼續(xù)開展討論教學環(huán)節(jié)，通過展示、交流或辯論等方式，讓學生分享自己的發(fā)現(xiàn)和感受，比較不同方法的優(yōu)劣，歸納總結規(guī)律.例如：直接代入法和韋達定理法哪種方法更簡便？為什么？求切點坐標時為什么要先求出焦半徑？有沒有其他方法？求切線方程時為什么要用到導數(shù)？有沒有其他方法？解決實際問題或高考題時要注意哪些要點？有沒有經驗或技巧？

通過深入討論，學生能夠總結相關知識點內容，為應用學習做好準備.應用教學階段，教師可以通過設計有趣或有挑戰(zhàn)性的實際問題或高考真題，讓學生運用所學知識解決問題，檢驗自己的理解和掌握程度.最后，教師應當開展總結教學.通過本節(jié)課的學習和實踐，可以讓學生對直線與圓錐曲線的位置關系、交點、切點、切線方程等問題產生更深入的理解，同時也提高了他們的實際問題解決能力和高考應試水平，具有重要借鑒價值.

綜上所述，本文以“直線與圓錐曲線綜合”教學為例，提出了一些解決教學難點和問題的策略和流程.有效的教學策略和流程，對提高學生的學習效果和興趣有著重要的作用，本文提出了相關策略，并研究了教學案例，希望能夠對實踐授課有所啟示和幫助.

參考文獻：

［1］ 陳梅華.有效落實高中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從課堂教學中數(shù)學運算的維度［J］.亞太教育，2022（11）：55-57.

［2］ 夏繁軍.“數(shù)學大概念”的提取與論證［J］.基礎教育課程，2022（Z1）：87-94.

［3］ 羅陽梅.高中數(shù)學教學核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略探究［J］.亞太教育，2022（4）：74-76.

［4］ 馬文杰，姜濤.數(shù)學運算能力培養(yǎng)應注意的若干問題研究［J］.數(shù)學教育學報，2021（6）：8-12.

［5］ 陳遠強.高中數(shù)學運算素養(yǎng)的問題、原因分析與對策［J］.福建教育學院學報，2021（5）：49-51.