新工科背景下研究生數(shù)值分析課程教學(xué)改革探索

張建華，趙靜

摘? 要：新工科背景下的高等工程教育對理工科研究生科學(xué)計算能力的培養(yǎng)提出更高要求，課程改革創(chuàng)新勢在必行。數(shù)值分析是東華理工大學(xué)理工科研究生開設(shè)的一門專業(yè)必修課，對培養(yǎng)學(xué)生的計算思維、程序編寫和動手實踐能力有重要作用。該文以數(shù)值分析課程改革為例，從課程結(jié)構(gòu)與教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、課程思政和考核方式等方面分析該課程教學(xué)存在的不足，構(gòu)建以計算思維和工程思維為核心要素的課程教學(xué)改革方法，為新工科研究生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供有效的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；新工科；教學(xué)改革；課程思政；教學(xué)模式

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）18-0146-04

Abstract： Under the background of new engineering， higher engineering education puts forward higher requirements for the cultivation of scientific computing ability of science and engineering graduates， and it is urgent to accelerate the curriculum reform and innovation. Numerical Analysis is a required course for postgraduate students of science and engineering in our university， which plays an important role in cultivating students' computational thinking， programming and practical ability. In this paper， taking the reform of numerical analysis course as an example， we analyze the shortcomings of the teaching of this course from the aspects of course structure and content， teaching mode， curriculum ideology and politics， assessment method， and then establishes a curriculum teaching reform method which takes computational thinking and engineering thinking as the core elements. Finally， we provide an effective way for the cultivation of innovative ability of new engineering postgraduate students.

Keywords： Numerical Analysis; new engineering; teaching reform; curriculum ideology and politics; teaching mode

為響應(yīng)國家戰(zhàn)略需求，進一步推動工程教育改革創(chuàng)新，加快建設(shè)和發(fā)展新工科， 教育部先后在上海、天津和北京召開了新工科建設(shè)研討會，達成了新工科建設(shè)“復(fù)旦共識”，構(gòu)建了新工科建設(shè)“天大行動”，制定了新工科建設(shè)“北京指南”，標志著我國高等工程教育開始了新篇章、進入了新階段。以人工智能和大數(shù)據(jù)為代表的新一輪科技革命與產(chǎn)業(yè)變革迫切需要理工科研究生具備信息處理、定量推理和數(shù)據(jù)決策的計算思維和工程思維?？茖W(xué)計算能力是創(chuàng)新實踐、工程實踐與自主學(xué)習(xí)三種能力的交叉，是培養(yǎng)研究生計算思維、工程思維和創(chuàng)新能力的核心要素。數(shù)值分析課程是培養(yǎng)研究生科學(xué)計算能力的重要途徑，課程內(nèi)容抽象、嚴密，強調(diào)算法設(shè)計、理論分析、軟件實現(xiàn)和實際應(yīng)用，介于純數(shù)學(xué)和工程應(yīng)用之間。

東華理工大學(xué)（以下簡稱“我校”）研究生數(shù)值分析課程內(nèi)容主要涉及誤差分析、非線性方程（組）求根、線性代數(shù)方程組的直接法和迭代法、插值與擬合、數(shù)值積分與微分、矩陣特征值的計算、常微分方程數(shù)值解法和不適定問題計算方法等知識點，對數(shù)學(xué)能力要求很高，側(cè)重于理論知識講解且公式推導(dǎo)繁雜。這門課要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)理論分析、推導(dǎo)功底，敏捷的計算思維和較強的算法實現(xiàn)能力，例如MATLAB、PYTHON等語言程序編寫能力。新工科建設(shè)的核心是培養(yǎng)適應(yīng)時代發(fā)展的創(chuàng)新型工程科技人才，需要課程在建設(shè)過程中強調(diào)“以學(xué)生為核心，以成果為導(dǎo)向”。不少學(xué)者已做了相應(yīng)的教學(xué)改革探討與實踐，詳見文獻[1-9]。當(dāng)前，研究生數(shù)值分析課程教學(xué)主要存在如下問題。

內(nèi)容多、課時少，教學(xué)模式單一。我校研究生數(shù)值分析課程只有32學(xué)時，知識點跨度大，學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊。教師課堂講授一般采用單向的知識傳輸方式，注重算法公式和理論推導(dǎo)，內(nèi)容枯燥。課堂學(xué)習(xí)效率不高，學(xué)習(xí)興趣缺乏，教學(xué)模式不利于啟發(fā)研究生的算法設(shè)計、軟件實現(xiàn)思維和工程思維，難以培養(yǎng)研究生的科學(xué)計算能力。

輕實踐，研究生編程計算能力弱。由于學(xué)時不足，上機實踐只是作為課堂教學(xué)的補充。研究生雖然理解了算法原理和數(shù)值方法設(shè)計思想，但動手能力差，很難獨立解決實際問題。加上學(xué)生課外投入時間與精力不足，難以做到工程應(yīng)用和上機實踐緊密結(jié)合。

工程實踐教學(xué)案例陳舊，無法適應(yīng)新工科人才培養(yǎng)的需求。來源于實際應(yīng)用，具有行業(yè)背景的工程實踐教學(xué)案例偏少，無法滿足不同專業(yè)研究生解決實際問題能力提升的需求，不能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

考試內(nèi)容單一，考核方式簡單。我?？荚噧?nèi)容主要考核理論知識，期末占比70%，作業(yè)和考勤等占比30%。這種考核方式無法真實反映研究生對所學(xué)內(nèi)容、相應(yīng)知識點的掌握深度及算法設(shè)計、軟件實現(xiàn)和解決實際工程問題的動手能力和工程思維，學(xué)生往往通過做題就可以取得理想成績。為進一步凸顯新工科背景下的課程教學(xué)的“實用性”和“應(yīng)用性”，必需改變現(xiàn)有的考試內(nèi)容和考核方式。

綜上所述，目前數(shù)值分析課程教學(xué)無法滿足培養(yǎng)具有濃厚的家國情懷、強烈的社會責(zé)任感、優(yōu)秀的人格品質(zhì)、精益求精的工匠精神和追求卓越的實踐能力的創(chuàng)新型“五優(yōu)”新工科研究生人才[10]。下面筆者結(jié)合多年的課堂教學(xué)和實踐教學(xué)經(jīng)驗，從課程結(jié)構(gòu)與教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、課程思政和考核內(nèi)容與方式四個方面進行研究和探討。

一? 優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)、整合課程內(nèi)容

參考多本國內(nèi)外數(shù)值分析經(jīng)典教材的知識內(nèi)容，根據(jù)課程教學(xué)和新工科人才培養(yǎng)目標，重新梳理數(shù)值分析的知識點，整合課程內(nèi)容，構(gòu)建來源于實際應(yīng)用問題并涉及多個知識點的工程實踐案例，突出數(shù)值分析理論與各工科專業(yè)應(yīng)用的交叉融合。根據(jù)不同工科研究生專業(yè)的培養(yǎng)目標、計算能力和工程思維要求，重新優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、整合知識點，強調(diào)數(shù)值算法的設(shè)計、理論分析和編程實現(xiàn)，添加相關(guān)工程背景知識及MATLAB程序案例和代碼，提升研究生選擇合適的算法解決實際工程問題的能力。當(dāng)今知識迭代更新的速度越來越快，數(shù)值分析課程內(nèi)容難以囊括當(dāng)前的學(xué)術(shù)研究前沿。因此，可在教學(xué)過程中引入相關(guān)前沿研究內(nèi)容，與時俱進。比如，分數(shù)階微積分是當(dāng)前計算數(shù)學(xué)的研究熱點之一，我們在常微分方程數(shù)值解法的教學(xué)中，適當(dāng)穿插了分數(shù)階常微分方程的數(shù)值解法內(nèi)容。又比如，在線性方程組迭代方法教學(xué)中，穿插了埃爾米特和反埃爾米特（HSS）分裂迭代法的內(nèi)容。

二? 以研究生為主體，創(chuàng)新教學(xué)模式

“教得怎么樣”最終要由“學(xué)得怎么樣”來評價，要實現(xiàn)以教師為中心的教學(xué)向以學(xué)生為中心的教學(xué)轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)研究生自主學(xué)習(xí)能力，注重研究生個性的發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

（一）? 板書與現(xiàn)代技術(shù)相結(jié)合，高效利用慕課資源

傳統(tǒng)板書可以一步步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生深入思考，靈活調(diào)整講解的快慢、詳細程度，更好地把握教學(xué)節(jié)奏，與學(xué)生形成良好互動，有助于學(xué)生對知識的消化理解[7]。將現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)板書相結(jié)合，可以高效展現(xiàn)算法分析、定理公式、程序及計算框圖等復(fù)雜內(nèi)容，進一步提高教學(xué)效率與效果。慕課是板書教學(xué)的有益補充，共享和開放的慕課平臺資源極大豐富了教學(xué)內(nèi)容，有效緩解了課堂教學(xué)壓力和課時少與內(nèi)容多的矛盾。通過在線學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅拓寬了知識面，而且打破了時間與空間的局限性，使得學(xué)生可以充分結(jié)合個人情況進行有組織、有計劃的高效學(xué)習(xí)。

（二）? 基于問題驅(qū)動，開展探究式教學(xué)

探究式教學(xué)源自蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，不同于傳統(tǒng)的教師傳授法，其將重點放在以學(xué)生為主體的“探與究”上，其中“探”是重頭，“究”是核心。探究式教學(xué)要求教師精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，組織過程實施，控制好各個思考討論環(huán)節(jié)并最后給予評價和總結(jié)。這種方式不僅能調(diào)動學(xué)生的主動性，而且有利于培養(yǎng)自主探索的專研精神和創(chuàng)新思維。針對非線性方程數(shù)值求根的專題，我們采用了同濟大學(xué)陳素琴等老師構(gòu)建的 “牛頓法畫分形”的案例[9]。首先，通過圖１創(chuàng)設(shè)情境，引出問題，即如何利用牛頓法來實現(xiàn)圖1；其次分析問題，學(xué)生通過小組討論提出探究過程中碰到的難點并分析問題的原因；最后，引導(dǎo)學(xué)生提出思路并解決問題，同時教師給出評價與總結(jié)并要求學(xué)生按“問題描述—解決方案—討論的問題—分析討論—總結(jié)—文獻及附錄”提綱撰寫案例。實踐證明“從問題到理論再到問題”的探究式教學(xué)閉環(huán)更能提高研究生獨立思考，加深知識點綜合理解和運用，培養(yǎng)團結(jié)協(xié)作的團隊精神。

（三）? 采用案例教學(xué)，提高學(xué)生動手實踐能力

案例教學(xué)法可以提高對所學(xué)知識的理解深度，培養(yǎng)計算思維，分析與解決實際問題的能力。案例教學(xué)法有利于理論與實踐的結(jié)合，激發(fā)研究生的各種潛能，培養(yǎng)研究生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和提升使用計算方法解決實際問題的能力。每一章都依據(jù)案例教學(xué)法的準則精心選擇和設(shè)計案例，突出行業(yè)、專業(yè)和工程應(yīng)用背景。例如數(shù)值天氣預(yù)報、數(shù)據(jù)降維、文本分類和圖像壓縮中的奇異值分解計算，堰塞湖搶險中的水文數(shù)值計算、南昌地區(qū)經(jīng)緯度數(shù)據(jù)的GPS精準定位、GOOGLE搜索引擎中的網(wǎng)頁排名、一維球幾何中子輸運方程計算等等。到每一章結(jié)束時，學(xué)生需要閱讀文獻資料、建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計數(shù)值算法、編寫程序并撰寫小論文。

（四）? 科研與教學(xué)有效結(jié)合，提升學(xué)生創(chuàng)新能力

堅持“教研相長、以研促教”的理念，通過鼓勵研究生參與教師科研項目，引導(dǎo)研究生積極申報省、校級科研項目和閱讀具有專業(yè)特色的論文等多種途徑和方式將科研與課堂教學(xué)、實踐活動相結(jié)合。例如，結(jié)合我校核地學(xué)科特色，在講解矩陣特征值內(nèi)容時向研究生提供地球科學(xué)和數(shù)值分析交叉領(lǐng)域的文獻《乘冪法在地震屬性分析中的應(yīng)用》[11]和《基于最大特征值估計的Ｃ３算法及應(yīng)用》[12]等。通過文獻的閱讀可以使研究生進一步理解基于特征值結(jié)構(gòu)分析的算法在揭示斷裂、地質(zhì)層序等地質(zhì)現(xiàn)象時的作用，切身感受到數(shù)值分析知識在本專業(yè)領(lǐng)域的直接應(yīng)用。鼓勵授課教師將科研項目融入課堂教學(xué)，提升教學(xué)水平；將科研成果融入教材，提升教材質(zhì)量；將科研意識融合在學(xué)生培養(yǎng)中，提升創(chuàng)新能力；將部分科研項目內(nèi)容分解為多個具有一定挑戰(zhàn)性的小問題，引導(dǎo)研究生進行自主探索和學(xué)術(shù)創(chuàng)新，從而進一步開拓科學(xué)計算和算法設(shè)計思維，提升工程思維和實踐能力。

三? 深挖思政元素，有效開展課程思政教學(xué)

在新工科背景下，充分挖掘數(shù)值分析課程的思政元素，將思政教育自然融入到課堂教學(xué)中，豐富課程的自身內(nèi)涵，提升課程的育人效果。下面結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，列舉幾個要點。

（一）? 融入愛國主義教育元素，培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷

比如，在緒論中講解秦九韶算法時，可以播放一段短視頻，讓學(xué)生了解南宋時期著名數(shù)學(xué)家秦九韶早于西方提出計算多項式f（x）=anxn+…+a1x+a0的快速算法，其工作量僅為O（n），即使現(xiàn)代工程上利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是優(yōu)先選擇的算法之一。在講授插值法內(nèi)容時，介紹元代數(shù)學(xué)家朱世杰提出的高次內(nèi)插值法，該工作比西方數(shù)學(xué)家提出的Lagrange插值和Newton 插值早幾百年。通過展示或播放機翼形線設(shè)計、船體放樣的圖片或視頻，首先向?qū)W生介紹三次樣條插值產(chǎn)生的背景，其次在講解知識點，最后借此引申指出按照國際通行適航標準研制、具有自主知識產(chǎn)權(quán)的大型客機C919研制成功，“山東號”航空母艦交付使用，“嫦娥四號”探測器成功著陸月球背面等重大科技成果，以此激發(fā)學(xué)生愛國主義自豪感。在講授數(shù)值逼近內(nèi)容時，穿插介紹曲線曲面造型教學(xué)內(nèi)容，該方法已成功用于３Ｄ打印產(chǎn)業(yè)[13]和VR產(chǎn)業(yè)中。

（二）? 融入馬克思主義哲學(xué)思想，培養(yǎng)研究生正確的世界觀和價值觀

“誤差”是影響數(shù)值計算結(jié)果的重要因素，在給研究生講解誤差概念時，首先播放短視頻《科學(xué)重器，失之毫厘，謬以千里……一秒之差竟然影響這么大》及電影《我和我的祖國》——“回歸”小節(jié)，讓研究生切實體會誤差在生產(chǎn)生活中的影響[14]。其次，在講解數(shù)值算法穩(wěn)定性內(nèi)容時，通過數(shù)值算例的講解來說明初始誤差帶來的危害，告誡研究生“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”，引導(dǎo)研究生扣好人生的第一顆紐扣，常向標兵典型看齊。通過講解非線性方程求根的二分法的基本思想、設(shè)計、理論分析和實現(xiàn)時，告知學(xué)生，人生道路上一定要有目標，要以正確有效的方式去追隨目標方能成功。更多內(nèi)容，參看文獻[13-14]。

（三）? 融入工程應(yīng)用案例，激發(fā)創(chuàng)新潛能

例如，GPS精準定位涉及大量的插值與擬合，數(shù)值天氣預(yù)報的關(guān)鍵問題是求解一組非線性偏微分方程，飛行器飛行軌跡計算的關(guān)鍵問題是求解常微分方程。在課程教學(xué)和實踐環(huán)節(jié)中適當(dāng)引入上述應(yīng)用案例，不僅激發(fā)學(xué)生自主探索和思考問題，而且可以鍛煉學(xué)生動手實踐能力。例如，在學(xué)習(xí)完插值、擬合、數(shù)值積分和數(shù)值微分內(nèi)容后，我們引入了輸電線路覆冰計算工程應(yīng)用案例[15]。

設(shè)某５００ kV輸電線路的兩塔相距２l=400 m，現(xiàn)從中點開始，每隔h=10 m，測得電線距地面的高度yi=f（xi），見表1。

試解決如下問題：①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，擬合出輸電導(dǎo)線曲線方程；②假設(shè)覆冰厚度為直徑6 cm，電線直徑為2 cm，測得每米電線覆冰重量約為22.6 kg。估計兩塔之間每根電線上覆冰的總重量；③根據(jù)數(shù)值微分求弧長，并與②結(jié)果作比較；④查閱相關(guān)資料，以類似方法計算南昌八一大橋一根主纜的長度。

此工程案例可以使學(xué)生進一步加深對插值、擬合、數(shù)值積分和數(shù)值微分內(nèi)容的理解，掌握在數(shù)據(jù)分析基礎(chǔ)上建立模型的基本技能。在上述求解問題完成之后，繼續(xù)鼓勵學(xué)生查找文獻，結(jié)合力學(xué)知識針對不同情景建立更恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型和設(shè)計有效的數(shù)值方法，為輸電線路導(dǎo)線覆冰防護預(yù)警提供科學(xué)決策依據(jù)。案例的閉環(huán)訓(xùn)練可以進一步提升研究生解決實際問題的動手能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能。另外，結(jié)合不同的知識點，可以從中國傳統(tǒng)文化教育、價值追求、工匠精神、核軍工精神、身邊榜樣勵志奮斗故事和數(shù)學(xué)之美等方面挖掘思政元素適時開展課程思政教育。

四? 改革課程考核內(nèi)容和考核方式

改變以期末理論知識考試為主的考核形式，轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂問答、小組討論、習(xí)題解答、撰寫應(yīng)用案例和論文、課堂報告、編程實踐、參加建模競賽和主持科研項目等多種方式，注重多元化過程性考核，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在動機，培養(yǎng)其開拓創(chuàng)新能力。

五? 結(jié)束語

根據(jù)新工科研究生人才培養(yǎng)中的計算能力要求，本文對數(shù)值分析課程教學(xué)內(nèi)容整合與優(yōu)化、教學(xué)模式重構(gòu)、課程思政教學(xué)和考核內(nèi)容與方式等方面提出了改革思路和具體舉措。這些改革思路和措施有助于激發(fā)研究生學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的興趣，鍛煉算法設(shè)計、優(yōu)化、實現(xiàn)和工程應(yīng)用能力，進一步激發(fā)創(chuàng)新潛能。數(shù)值分析課程教學(xué)創(chuàng)新改革與實踐同時對老師能力和素質(zhì)提出了更高要求，需要組建科研教學(xué)團隊，形成新工科課程教育共同體。

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