高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程最優(yōu)化的實(shí)踐探究

摘 要：教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，除了要注重教學(xué)效果，還應(yīng)當(dāng)重視教學(xué)過程。數(shù)學(xué)教學(xué)過程的最優(yōu)化，就是從投入與產(chǎn)出兩個(gè)角度出發(fā)，讓教師以盡可能少的時(shí)間、精力投入，獲取盡可能好的教學(xué)效果。由于數(shù)學(xué)在高考中所占的比重較大，而且教材容量較大，難度較高，因此數(shù)學(xué)課堂教學(xué)尤其要重視最優(yōu)化，以減輕教師和學(xué)生的負(fù)擔(dān)。文章以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，論述制訂符合學(xué)生發(fā)展規(guī)劃的教學(xué)方案的必要性，并分析如何在較短的教學(xué)時(shí)間內(nèi)達(dá)到最優(yōu)的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)過程；教學(xué)設(shè)計(jì)

作者簡介：薛晶晶（1982—），女，江蘇省泰州市第二中學(xué)。

在實(shí)際教學(xué)中，教師若想要達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果，在精力支出及時(shí)間成本方面，教師制訂的教學(xué)方案既要符合整體規(guī)劃，又要符合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，避免學(xué)生過度疲勞；在教學(xué)質(zhì)量及效果方面，教師的教學(xué)內(nèi)容以及結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)與新課改要求相符合。此外，教師在教學(xué)中還要積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，全面提高學(xué)生的思維能力及知識(shí)水平。

如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化？下面筆者結(jié)合自身的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這一節(jié)校級(jí)公開課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程的最優(yōu)化進(jìn)行一系列的思考與總結(jié)。

一、設(shè)計(jì)準(zhǔn)備

以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，教師可以做以下準(zhǔn)備。

（一）對(duì)教材進(jìn)行分析

“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章第二節(jié)的內(nèi)容，雙曲線是解析幾何中的重要部分，該節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生鞏固解析幾何知識(shí)，對(duì)解析幾何有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，從而構(gòu)建高質(zhì)量的解析幾何思維［1］。由于學(xué)生是先學(xué)習(xí)橢圓再學(xué)習(xí)雙曲線的，因此教師可通過類比橢圓部分的內(nèi)容，降低學(xué)習(xí)的難度，便于學(xué)生理解。本節(jié)內(nèi)容分兩個(gè)課時(shí)講授，文章介紹的是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要內(nèi)容：（1）探求雙曲線軌跡的生成過程；（2）了解雙曲線的定義；（3）推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并能簡單應(yīng)用。

（二）確定學(xué)科核心素養(yǎng)

首先，引導(dǎo)學(xué)生了解雙曲線的定義，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生根據(jù)相應(yīng)的條件推導(dǎo)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。其次，引導(dǎo)學(xué)生掌握求曲線方程的一般步驟以及由已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的基本原則，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。最后，在指導(dǎo)學(xué)生解決雙曲線方程問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模思維。

（三）確定教學(xué)重難點(diǎn)，建構(gòu)教學(xué)整體思路

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線定義中的絕對(duì)值及2a＜2c的理解。教學(xué)整體思路：借助多媒體課件及GeoGebra數(shù)學(xué)軟件動(dòng)態(tài)演示，以問題鏈的形式貫穿課堂，學(xué)生分小組探討，師生共同協(xié)作。

二、過程安排

（一）復(fù)習(xí)回顧

問題1：前面我們研究了橢圓，已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（定義、方程、性質(zhì)。）

問題2：什么是橢圓？（應(yīng)留意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。）

問題3：橢圓的方程是如何推導(dǎo)的？［第一步，利用對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系，標(biāo)記F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；第二步，將坐標(biāo)代入定義關(guān)系式（坐標(biāo)化處理）；第三步，化簡，移項(xiàng)，兩邊平方去根號(hào)；第四步，整理成最簡形式，得軌跡方程；第五步，檢驗(yàn)滿足方程的解是否都在曲線上（有時(shí)可以省略這一步）。］

教師通過指導(dǎo)學(xué)生回顧及分析橢圓的相關(guān)知識(shí)，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程思想及方法，對(duì)于后續(xù)雙曲線的學(xué)習(xí)有積極的意義。

（二）引入新課

探求軌跡問題，以問題鏈的形式展開，并借助多媒體課件和GeoGebra數(shù)學(xué)軟件，層層遞進(jìn)完成新課的引入。學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)點(diǎn)的生成過程，體會(huì)推導(dǎo)過程，能加深對(duì)概念和公式的理解和記憶，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化。

問題1：取一條拉鏈打開，一側(cè)固定在F1點(diǎn)，另一側(cè)將一點(diǎn)（FF2長為2a）固定在F2處，記拉鏈頭對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P（如圖1），此時(shí)PF1與PF2滿足什么關(guān)系？（PF1-PF2=2a。）

問題2：拉動(dòng)拉鏈頭，在拉鏈齒咬合的過程中，PF1與PF2長度有怎樣的改變？它們之間的差會(huì)改變嗎？（GeoGebra數(shù)學(xué)軟件演示。）

問題3：觀察P點(diǎn)的生成軌跡，僅得到雙曲線的一支，如何得到另一支？（交換兩側(cè)固定點(diǎn)的位置即可，如圖2。）

問題4：仿照橢圓的定義，是否能給出雙曲線的定義？［PF1-PF2=2a或|PF1-PF2|=2a且2a

問題5：能否去掉“常數(shù)小于兩定點(diǎn)間距離”這個(gè)條件？（教師使用GeoGebra軟件演示，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，若2a=2c，P點(diǎn)只能在線段F1F2的延長線上或其反向延長線上運(yùn)動(dòng)；若2a>2c，則不生成任何軌跡。）

問題6：類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，能否嘗試推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（考慮到本節(jié)課的時(shí)長，建坐標(biāo)系和設(shè)點(diǎn)的過程均可由師生合作完成，學(xué)生主要關(guān)注方程式的化簡和兩個(gè)根號(hào)的去法。教師可以將推導(dǎo)過程投影到屏幕上，讓學(xué)生了解推導(dǎo)的步驟及結(jié)果。無理方程的化簡是教學(xué)的難點(diǎn)，教師要讓學(xué)生理解無理方程的兩次移項(xiàng)、平方、整理等過程。最終得到結(jié)論：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，其中b2=c2-a2。）

問題7：焦點(diǎn)是否會(huì)落在y軸上？能否給出其標(biāo)準(zhǔn)方程？（用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析問題，類比橢圓，我們不難發(fā)現(xiàn)，將焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，焦點(diǎn)即落在y軸上，此時(shí)兩個(gè)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。所以，交換x與y的位置，得焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程為-=1，其中b2=c2-a2。）

問題8：對(duì)比上面的兩種方程，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？（嘗試通過表格的形式引導(dǎo)學(xué)生從方程及其圖象、焦點(diǎn)坐標(biāo)、變量前面系數(shù)的正負(fù)進(jìn)行對(duì)比，生成結(jié)論。為強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知，教師應(yīng)及時(shí)布置隨堂練習(xí)。）

（三）例題講解

由于本節(jié)課是雙曲線部分的第一節(jié)新授課，側(cè)重點(diǎn)在知識(shí)的生成，所以例題較少，主要為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)知。

例：求c=5，且經(jīng)過點(diǎn)（3，4），焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式：去掉“焦點(diǎn)在x軸上”這個(gè)條件。

選取這道例題的目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的記憶，讓學(xué)生能從數(shù)和形兩個(gè)方向入手解決問題。從代數(shù)層面入手，用待定系數(shù)法先設(shè)方程，然后聯(lián)立方程組。此過程中，教師應(yīng)再次提醒學(xué)生注意a，b，c之間的關(guān)系，即a2=b2-c2。由于此方程組包含分式方程，因此教師必須板書其化簡過程。

從幾何層面入手，引導(dǎo)學(xué)生先作圖分析，發(fā)現(xiàn)由c可以先標(biāo)記出焦點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)（3，4）記為P，由雙曲線的定義可以直接求出2a，此方法顯然更為簡便。變式由學(xué)生獨(dú)立完成，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意思維的完備性，分類討論完成此題，使學(xué)生養(yǎng)成“焦點(diǎn)位置優(yōu)先考察”這一規(guī)范的解題習(xí)慣。

（四）課堂小結(jié)

課堂最后，教師小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，同時(shí)預(yù)留問題，讓學(xué)生在課后從定義、變量之間的關(guān)系、方程三個(gè)方面，把本節(jié)課所學(xué)的雙曲線與橢圓進(jìn)行對(duì)比和分析，有效強(qiáng)化對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)鞏固橢圓部分的知識(shí)，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果。

哲學(xué)家雅斯貝爾斯曾提出：“教學(xué)不能簡化為固定的形式?！辈糠纸處熯x擇用固化的教學(xué)模式，但這些“流程式”的教學(xué)并不適用于每一節(jié)課，也不適用于不同基礎(chǔ)的學(xué)生。所以，教師需要有針對(duì)性地為不同層次的學(xué)生優(yōu)化每一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。雙曲線部分在以往高考中的要求并不高，一般為基礎(chǔ)題，內(nèi)容以漸近線方程為主。自2021年江蘇高考采用新高考Ⅰ卷以后，2021年和2022年高考的雙曲線部分以解答題的形式出現(xiàn)。2021年高考雙曲線的解答題第一問考查雙曲線的定義和方程，令人可惜的是，有的學(xué)生由于對(duì)定義的掌握不足，因此沒有拿到全部分?jǐn)?shù)。所以，針對(duì)新授課和定義引入的第一節(jié)課，筆者認(rèn)為還是得放慢節(jié)奏，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識(shí)概念、理解概念、領(lǐng)會(huì)概念的過程。此外，教師在實(shí)際教學(xué)過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)分析在課堂上可能出現(xiàn)的各種問題，使教學(xué)擁有充足的時(shí)間和空間，使教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容更加自由，為提高學(xué)生的創(chuàng)新能力創(chuàng)造基礎(chǔ)條件，全面發(fā)揮教學(xué)的互動(dòng)性及靈動(dòng)性。同時(shí)，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，全面提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

筆者認(rèn)為，探究教學(xué)過程的最優(yōu)化，能引發(fā)教師對(duì)自身教學(xué)的思考，更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的多樣化。教師在備課時(shí)，不僅要走進(jìn)教材，還要從教材中走出來，基于教材，但不局限于教材，不盲從任何固定單一的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該將課堂教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際相結(jié)合，因材施教，尋找兩者之間的連接點(diǎn)，突破教學(xué)過程的“習(xí)慣性操作”與“固有模式”。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)本班學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)水平進(jìn)行充分分析，以此開展教學(xué)活動(dòng)，保障教學(xué)過程循序漸進(jìn)以及符合因材施教的策略，讓每一個(gè)學(xué)生融入其中［2］。教師若能根據(jù)各班級(jí)的實(shí)際情況，使用多媒體、GeoGebra數(shù)學(xué)軟件等工具，無疑能更好地加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)，提升教學(xué)效果，展現(xiàn)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)課堂。

三、策略分析

（一）教材分析最優(yōu)化

一名成熟的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容、考點(diǎn)分布、每學(xué)期的教學(xué)任務(wù)爛熟于心。如何合理地使用教材，并根據(jù)高考的要求結(jié)合教材進(jìn)行適當(dāng)拓展，是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師都需要反復(fù)思考的問題。對(duì)于教材知識(shí)的研究，教師需要真正做到深入淺出，幫助學(xué)生更好地理解和消化教材的內(nèi)容。

（二）教學(xué)目標(biāo)最優(yōu)化

新課改背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)包含三部分：數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、過程與方法、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感態(tài)度與價(jià)值觀。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)每個(gè)單元的教學(xué)要求和每個(gè)課時(shí)的特點(diǎn)，使教學(xué)更具針對(duì)性。由于教學(xué)目標(biāo)具有導(dǎo)向作用，是教學(xué)內(nèi)容的起點(diǎn)，也是教學(xué)過程的終點(diǎn)，因此，通過教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況，教師可以判斷教學(xué)是否成功，是否符合相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)。

（三）師生互動(dòng)最優(yōu)化

不管采用何種教學(xué)方式，數(shù)學(xué)教師都需要有敏銳的洞察力，在充分了解學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度、思維能力和思維習(xí)慣的基礎(chǔ)上，設(shè)置循序漸進(jìn)的活動(dòng)環(huán)節(jié)，兼顧學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況和不同的發(fā)展需求，提高每一個(gè)學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)的積極性。

（四）重難點(diǎn)把握最優(yōu)化

發(fā)現(xiàn)知識(shí)的生長點(diǎn)和關(guān)聯(lián)點(diǎn)，是突出重難點(diǎn)的前提。教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力，充分分析學(xué)生的知識(shí)掌握情況，有針對(duì)性地準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容。在實(shí)際的教學(xué)中，教師要明確不同學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)開展教學(xué)，從而為后續(xù)的教學(xué)打好基礎(chǔ)。

（五）教學(xué)工具最優(yōu)化

借助多媒體演示課件教學(xué)，既能減少教師課堂講授的時(shí)間和板書時(shí)間，又能更為直觀地講授某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，有效吸引學(xué)生的注意力［3］。用幾何畫板或GeoGebra作圖軟件動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)，不僅能精準(zhǔn)地作出平面圖形和立體圖形，還能進(jìn)行動(dòng)圖演示，生成運(yùn)動(dòng)軌跡，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，更利于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的探究。

（六）教學(xué)反饋?zhàn)顑?yōu)化

教學(xué)反饋分為兩個(gè)方面：學(xué)生的反饋和教師的反饋。要想讓學(xué)生的反饋達(dá)到教師的預(yù)期要求，關(guān)鍵是教師在課堂教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置達(dá)到最優(yōu)化。教師的反饋，可以理解為教師對(duì)每節(jié)課所教內(nèi)容的理解與反思，以及教師上完每一節(jié)課之后的自我評(píng)價(jià)與反思。教師對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思考和理解，都有助于教師日后在課堂上更易于被學(xué)生接受。

結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)最優(yōu)化是一個(gè)可持續(xù)發(fā)展的過程，教師應(yīng)在不斷提升自身素質(zhì)的同時(shí)，拓寬教學(xué)視野，時(shí)刻關(guān)注教育改革的方向，關(guān)注教學(xué)過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)，以生為本，呈現(xiàn)更多精彩而高效的數(shù)學(xué)課堂。

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