基于真實情境 考查思維能力

姚英艷

摘? ?要：以2022年的河北中考數(shù)學第25題為例，探究如何基于真實情境，考查學生的思維能力。其既注重了初高中知識間的銜接，又顯示出考試的選拔性功能。

關鍵詞：初中數(shù)學；河北中考；真實情境；思維能力

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2023）17-0010-03

一、本題考查內容

題目展示：25.（本小題滿分10分）

如圖，平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直線的解析式；

（2）某同學設計了一個動畫：

在函數(shù)y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，便得到射線CD，其中C（c，0），當c=2時，會從C處彈出一個光點 P，并沿CD飛行；當c≠2時，只發(fā)出射線而無光點彈出。

①若有光點P彈出，試推算m，n應滿足的數(shù)量關系；

②當有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）時，線段AB就會發(fā)光，求此時整數(shù)m的個數(shù)。

本題是基于真實情境，考查一次函數(shù)的圖像信息題。知識與技能方面包含：用待定系數(shù)法求直線的解析式、解二元一次方程組、代入求值、如何確定整數(shù)點的個數(shù)等綜合知識。解題當中用到的思想方法有：數(shù)形結合思想、轉化思想、函數(shù)與方程思想。

二、答題情況

1.第一問求直線AB的解析式正確率較高，這說明教師們在平時的教學中，注重待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式的訓練。但仍有部分學生待定系數(shù)法步驟不全，出現(xiàn)“設列解”的步驟缺失。

2.“求整數(shù)m的個數(shù)”這一問因審題不清，導致很多學生在面對真實情境時，不知如何轉換。那么第25題為什么這么設計，又考查了學生的哪些能力呢？對此我們先來解讀一下新課程標準的要求。新課程標準以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向。核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識、創(chuàng)新意識9個方面。其中抽象能力、推理能力、模型觀念是初中核心素養(yǎng)表現(xiàn)中新增加的三個方面。第25題第二問恰恰對學生這三方面的素養(yǎng)提出了較高的要求。

第（2）問的問題②學生在突破時會存在兩個難點，其一、理解題意方面存在一定的難度，需要將真實情境 “有光點P彈出，擊中線段AB上的整點”轉化為數(shù)學結論——兩個一次函數(shù)有交點且交點為整點；其二、已知兩個一次函數(shù)有整點，求參數(shù)m取值的問題在推理表達時存在難度，解法一：首先設整點為 P（x0，y0） ，構建關于x0、y0的二元一次方程組，這是一個數(shù)學抽象、數(shù)學建模的過程，列出方程組之后，再通過消元法將 3 個字母的問題轉化為 2 個字母的問題，以獲得參數(shù)m與整點橫坐標x0，或縱坐標y0的直接關系。該過程既蘊含函數(shù)與方程、轉化的思想，又體現(xiàn)了學生的數(shù)學素養(yǎng)與解題能力，其中m用x0的代數(shù)式表達，為明確m的取值，代數(shù)式的變形采用了分離常量法，這一技能，在高中求值域時常常使用，也凸顯了中考試卷的選拔性功能。

解法 2：由題A（-8，19），C（2，0），可得直線AC的解析式為：y=-1.9x+3.8，同理直線BC的解析式為：y=1.25x-2.5，要使線段AB發(fā)光，m的取值范圍為m≤-1.9或≥1.25.

由①直線CD的解析式為：

解法二的轉化方向和解法一完全相同，只是解決方案不同，其先通過兩點的坐標分別確定直線AC和BC的解析式，然后通過圖像、數(shù)形結合確m的取值范圍，隨后再聯(lián)立直線AB，和直線CD的解析式，構建含有參數(shù)m的二元一次方程組，以解得兩條直線得交點橫縱坐標（用含有m的代數(shù)式表示），然后由交點為整數(shù)及m的取值范圍可明確m的取值。

解法一和解法二都經(jīng)歷了從真實情境進行數(shù)學抽象、數(shù)學建模的過程，對學生的數(shù)學素養(yǎng)有較高的要求。在講解法三時，我們可以通過幾何畫板，直觀感受這一動態(tài)的過程。

解法 3：由①直線CD的解析式為：y=mx-2m

線段AB上的整點有15個，分別為（-8，19）（-7，18）（-6，17）（-5，16）（-4，15）（-3，14）（-2，13）（-1，12）（0，11）（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）（6，5），將上述各點分別代入y=mx-2m，求得整數(shù)m分別為-2，-4，-10，8，2，所以m的個數(shù)為 5 個。

解法三的產(chǎn)生來源于學生對幾何圖像細致的觀察，以發(fā)現(xiàn)最終解決方案。雖然計算量大一點，但其把真實情境最終轉化為學生熟悉和擅長的已知兩個確定的點，求一次函數(shù)解析式的問題。如此一來在做推理時，數(shù)學語言就變得簡單，而且更容易接受，這足以說明數(shù)形結合、幾何直觀的重要性。

基于真實情境的一題多解，其意義既不在于羅列，又不在于解法之多，而在于教學中，教師尊重每一位學生的輸出，發(fā)現(xiàn)每一種可能的角度，多方尋求優(yōu)化方案，只有這樣才能拓展學生的視野，使其從聯(lián)系、綜合的角度看待問題；只有這樣才能提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模能力，進而提升學生的思維能力。

四、教學建議

第一，在平時的教學中，教師要重視基礎知識、基本技能的訓練，并要求學生樹立基礎知識滿分的意識。同時多關注基礎知識薄弱的學生。

第二，要想正確建模，應加強審題訓練。因為各種各樣的原因，教師往往急于完成教學任務，所以在講解各種題目時，對題意一帶而過，然后學生在不了解題意的情況下，進行解題或聽教師的講解，長此以往，盡管學生做的題數(shù)量不少，但依然逃不開兩種結果：遇到重復的類型，學生按套路出牌，雖然能做對，但并不能提升學生的能力；遇到新穎的題目，需要仔細琢磨理清題意時，學生往往束手無策。因此，在平時的教學中，教師首先要加強審題訓練，即給學生一定的時間理解題意，以使其明白知識的來龍去脈，其次，要精選新穎的真實情境，以引導學生進行抽象思考，如此可在比較中提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

第三，整合資源，通過專題進行一次函數(shù)模型復習。要重視設計活動，因為其既可幫助學生理解一次項系數(shù)k的幾何意義，又可促使學生體會一次函數(shù)與二元一次方程組的關系。在坐標系中研究函數(shù)時，要注重數(shù)形結合的思想。

第四，梳理初中數(shù)學教材中數(shù)學建模的主要素材。只要我們深入鉆研教材，挖掘其中所蘊含的材料，并從中提煉，就能找到有效的模型素材，如此可培養(yǎng)學生的抽象能力。

五、解題反思

（一）題目包含兩大問，三個臺階，層次感極為分明

第一個臺階，考查學生的基本知識和技能。第二個臺階，它的解決必須依賴于“由光點P彈出”這樣的現(xiàn)實情境，然后經(jīng)抽象、轉化為數(shù)學問題才能解決，該過程就是數(shù)學建模過程。第三個臺階，真實情境下問題的文字量是極小的，其關鍵就是以下這句話“由光點P彈出，擊中線段AB上的整點”。解決這樣的問題，學生既不能錯過每一個字，又不能不經(jīng)抽象即用更多的數(shù)學語言找到它的等價形式，并用已有的數(shù)學知識解決新的問題。所以能解答這一問的學生，一般具備較強的數(shù)學素養(yǎng)。要想培養(yǎng)出這樣的學生，教師要在平時的教學中不斷滲透，關注這樣的過程，這就對我們教師提出了更高的要求。

（二）思考新課標下如何滲透數(shù)學核心素養(yǎng)

一次函數(shù)和二次函數(shù)模型是中考考查的熱點，但從近三年的數(shù)據(jù)來看，2020年只是在真實情境中應用函數(shù)模型，學生無需抽象。2021年和2022年從題目設置的位置來看，從真實情境中抽象出函數(shù)模型的難度在增大。這就要求我們教師在平時的教學過程中，既要努力分析并轉化真實的情境，以增強學生的符號意識和數(shù)學建模能力，又要增強學生的代數(shù)推理能力和發(fā)展幾何直觀的能力。對此教師需要通過做題，學習專業(yè)知識，比如幾何畫板等，去用心積攢素材，如此可培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，發(fā)展其數(shù)學素養(yǎng)。

【責任編輯 韓梁彥】