高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀分析及思考

王鵬

［摘? 要］ 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)高考的熱門考點(diǎn)，對(duì)于這部分知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)在幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生必要的考試能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 但當(dāng)前圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀表現(xiàn)為教師的教學(xué)取向相對(duì)單一，學(xué)生的學(xué)習(xí)思路比較狹隘. 圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)，關(guān)鍵要考慮教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果及評(píng)價(jià)等要素：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)方面的教學(xué)目標(biāo)可以參考相關(guān)的教材以及高考原題；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面的教學(xué)目標(biāo)，則可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)上；學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)體現(xiàn)在空間想象能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力上. 這些為達(dá)成目標(biāo)的努力能夠幫助學(xué)生習(xí)得知識(shí)、獲得素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；教學(xué)現(xiàn)狀；核心素養(yǎng)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)高考的熱門考點(diǎn)，對(duì)于這部分知識(shí)的教學(xué)，傳統(tǒng)思路往往是基于應(yīng)試需要而展開(kāi)的. 這一點(diǎn)無(wú)可厚非，因?yàn)樵诋?dāng)前的評(píng)價(jià)體制下，作為重要考點(diǎn)的圓錐曲線，必須有明確的高考指向. 與此同時(shí)教師應(yīng)當(dāng)注意到，圓錐曲線在教學(xué)中的地位之所以如此重要，并不只是因?yàn)樗菬衢T考點(diǎn)，還因?yàn)樗浞煮w現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)家探究的智慧. 對(duì)于這部分知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)在幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生必要的考試能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 確定這樣的教學(xué)目標(biāo)，有著重要的現(xiàn)實(shí)意義和長(zhǎng)遠(yuǎn)的歷史意義，尤其是對(duì)于后者而言，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》進(jìn)一步明確了高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)涵，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)必然依賴于日常教學(xué)過(guò)程，所以教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，一定要開(kāi)拓一條學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的道路. 在這樣的視角下再去看圓錐曲線這部分知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前的教學(xué)研究思路，一方面要對(duì)圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行分析與梳理，從中找出應(yīng)當(dāng)繼承的地方和應(yīng)當(dāng)優(yōu)化的地方；另一方面要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，思考在圓錐曲線這部分知識(shí)的教學(xué)中，存在著怎樣的核心素養(yǎng)培育契機(jī). 事實(shí)證明，只有將兩者結(jié)合起來(lái)，圓錐曲線這部分知識(shí)的教學(xué)，才能夠同時(shí)承擔(dān)起幫助學(xué)生通過(guò)高考、實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展雙重任務(wù).

筆者教學(xué)用的是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材，該教材在圓錐曲線這部分知識(shí)的編排中，體現(xiàn)出了其獨(dú)有的特點(diǎn). 研究圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)，離不開(kāi)對(duì)教材的分析，離不開(kāi)對(duì)教材編寫者編寫思路的揣摩，當(dāng)然也離不開(kāi)對(duì)圓錐曲線在高考中所表現(xiàn)出來(lái)的趨勢(shì)的研究. 將這些要素綜合起來(lái)進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步夯實(shí)核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ)，也可以為學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用提供實(shí)實(shí)在在的幫助.

圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀分析

對(duì)當(dāng)前圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀的分析，可以選擇幾個(gè)有效的研究點(diǎn)，同時(shí)也可以采用比較研究的思路，即借鑒他人的研究成果，與自己的教學(xué)實(shí)踐及研究進(jìn)行對(duì)比，這樣就可以兼顧全面，從而做出更準(zhǔn)確的判斷. 有研究者指出，目前在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的教學(xué)中，普遍存在學(xué)生不能牢固掌握?qǐng)A錐曲線知識(shí)的問(wèn)題，具體體現(xiàn)在學(xué)生雖然能聽(tīng)懂教師課堂上講的內(nèi)容，卻無(wú)法應(yīng)用于實(shí)際做題［1］. 這種情形實(shí)際上非常常見(jiàn)，只不過(guò)歸因時(shí)，會(huì)出現(xiàn)仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智的情形. 筆者綜合多方面的因素，對(duì)當(dāng)前圓錐曲線的教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行了如下兩點(diǎn)分析（限于篇幅，這里不再舉實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明，只進(jìn)行理論上的總結(jié)與闡釋）：

首先，教師的教學(xué)取向相對(duì)單一.

上面已經(jīng)提到，圓錐曲線是高考熱點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)內(nèi)涵比較豐富的知識(shí)點(diǎn). 可能也正是這個(gè)原因，使得這部分知識(shí)在高考中出現(xiàn)的頻率非常高，盡管有時(shí)候與該知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的題目難度不高，但是教師教學(xué)時(shí)往往不會(huì)掉以輕心，還是會(huì)從題型分析與綜合、題目海量收集等角度，去尋找教學(xué)靈感. 原始教學(xué)就具有明顯的應(yīng)試特征，具體表現(xiàn)在知識(shí)教學(xué)的時(shí)間與空間被壓縮，圓錐曲線所擁有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵不能充分體現(xiàn)出來(lái).

其次，學(xué)生的學(xué)習(xí)思路比較狹隘.

應(yīng)當(dāng)說(shuō)當(dāng)前高中生面對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)的判斷能力還是比較強(qiáng)的，但強(qiáng)大的應(yīng)試壓力使得絕大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，都表現(xiàn)出了明顯的功利傾向. 從此前經(jīng)常批判的“教師考什么才教什么”，變成了當(dāng)下的“學(xué)生考什么就學(xué)什么”，體現(xiàn)在圓錐曲線這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，就是學(xué)生也只想著這部分知識(shí)能夠出怎樣的高考題、如何求解此類題目……站在數(shù)學(xué)學(xué)科課程價(jià)值的角度來(lái)看，這樣的學(xué)習(xí)思路顯然比較狹隘. 在學(xué)生缺乏主動(dòng)研究動(dòng)機(jī)的情形下，圓錐曲線所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵即使再豐富，也不容易被學(xué)生吸收.

以上兩種情形，在實(shí)際教學(xué)中同時(shí)發(fā)生，互相糾纏且互相影響，造成學(xué)生的學(xué)習(xí)空間相對(duì)狹隘，圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)功能不能充分發(fā)揮. 當(dāng)這樣的現(xiàn)狀引起筆者重視后，基于最常見(jiàn)的教學(xué)邏輯，筆者開(kāi)始思考如何優(yōu)化圓錐曲線這部分知識(shí)的教學(xué).

圓錐曲線的有效教學(xué)途徑

對(duì)于一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，教師要設(shè)計(jì)一個(gè)有效的教學(xué)過(guò)程，關(guān)鍵要考慮教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果及評(píng)價(jià)等要素. 就圓錐曲線這部分知識(shí)而言，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)方面的教學(xué)目標(biāo)可以參考相關(guān)教材以及高考原題，這里不再贅述. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面的教學(xué)目標(biāo)，則可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)上，比如圓錐曲線概念的引出，涉及“平面截圓錐”這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，關(guān)系到數(shù)學(xué)抽象；同時(shí)這個(gè)過(guò)程又依賴于學(xué)生的空間想象能力，因此也與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象相關(guān)；至于對(duì)“截”的產(chǎn)物的判斷與結(jié)果的描述，當(dāng)然涉及邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模.從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的角度來(lái)看，高中生具有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力，以及在平常數(shù)學(xué)概念與規(guī)律學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)建模能力等，都能夠在圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí)中得以體現(xiàn)，能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相關(guān)的過(guò)程，從而習(xí)得知識(shí)、獲得素養(yǎng). 至于對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果的反思，這是平常教學(xué)中容易被忽視的，也是教師不太愿意花費(fèi)時(shí)間的環(huán)節(jié). 但是在筆者看來(lái)，真正能抓好學(xué)習(xí)反思這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，無(wú)論是從知識(shí)理解的角度來(lái)看，還是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來(lái)看，都有著重要的意義.

基于上述理解，對(duì)于圓錐曲線這部分知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者重點(diǎn)關(guān)注這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：學(xué)生體驗(yàn). 這一環(huán)節(jié)主要為學(xué)生理解圓錐曲線的來(lái)龍去脈、形成相對(duì)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)服務(wù)，同時(shí)也為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象服務(wù).

“用一個(gè)垂直于圓錐軸的平面截圓錐，截面與圓錐面的交線是一個(gè)圓”，這是學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ). 此處要讓學(xué)生體驗(yàn)的是：改變平面與圓錐軸的夾角，然后觀察可以得到幾種不同的截面. 學(xué)生的體驗(yàn)，可以基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的材料進(jìn)行（需要提前做好準(zhǔn)備，不贅述），也可以借助課件進(jìn)行，強(qiáng)調(diào)的不一定是學(xué)生親自動(dòng)手，但必須是高效用腦. 當(dāng)學(xué)生通過(guò)加工實(shí)際操作獲得的結(jié)果或課件上的內(nèi)容，并在大腦中形成表象后，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，夾角不同得到的圓錐曲線不同（具體如圖1所示）

環(huán)節(jié)二：學(xué)生推理. 這一環(huán)節(jié)主要為學(xué)生認(rèn)識(shí)幾種典型圓錐曲線的類型及性質(zhì)服務(wù)，同時(shí)為幾何直觀和邏輯推理服務(wù).

完成數(shù)學(xué)抽象后，學(xué)生大腦中的研究對(duì)象應(yīng)當(dāng)成為抽象的圖形，這里就需要建立對(duì)應(yīng)關(guān)系——這實(shí)際上是進(jìn)一步抽象，同時(shí)也需要學(xué)生有一定的直觀想象能力作為支撐. 圖2展現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就是深度抽象與幾何直觀的結(jié)果. 有了這一結(jié)果后，學(xué)生自然就會(huì)借助此前學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的邏輯認(rèn)識(shí)，來(lái)對(duì)這些元件的出現(xiàn)進(jìn)行區(qū)分，并且完成下定義以及探究性質(zhì)的過(guò)程（這在傳統(tǒng)的知識(shí)教學(xué)中比較受重視，這里不再一一贅述）. 重點(diǎn)想強(qiáng)調(diào)的是，必須讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)豐富的幾何直觀與邏輯推理的過(guò)程，確保學(xué)生形成體驗(yàn)感.

環(huán)節(jié)三：學(xué)生建模. 這一環(huán)節(jié)主要為學(xué)生理解幾種典型圓錐曲線的概念及性質(zhì)服務(wù)，同時(shí)為數(shù)學(xué)建模服務(wù).

圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)建模機(jī)會(huì)，其所追求的教學(xué)效果應(yīng)當(dāng)是：當(dāng)學(xué)生看到橢圓、雙曲線、拋物線的概念后，就能夠立即在大腦中出現(xiàn)相關(guān)的圓錐曲線圖形——這里強(qiáng)調(diào)的“立即出現(xiàn)”，不只是指學(xué)生在知識(shí)掌握層面的熟練，更指學(xué)生完善自身認(rèn)知體系后表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)圓錐曲線類型及來(lái)龍去脈的熟悉，同時(shí)能夠清晰闡述它們的性質(zhì)，能夠明晰自己在這部分知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中所運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法，知道自己經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等過(guò)程（不是說(shuō)學(xué)生能夠說(shuō)出這些概念，而是指學(xué)生能夠知道自己體驗(yàn)過(guò)這些過(guò)程）. 如果說(shuō)學(xué)生能夠達(dá)到這些水平的話，那么就可以認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)是有效的.

很顯然，相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與核心素養(yǎng)發(fā)展雙豐收的教學(xué)過(guò)程，是圓錐曲線這部分知識(shí)教學(xué)新的突破. 進(jìn)一步分析：跟上面分析的圓錐曲線教學(xué)的現(xiàn)狀相比，這樣一個(gè)擁有上述教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程，不僅說(shuō)明了知識(shí)教學(xué)與核心素養(yǎng)培育可以同時(shí)進(jìn)行，而且也證實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而提升學(xué)生的應(yīng)試能力.

圓錐曲線的教學(xué)實(shí)踐反思

作為教師，需要對(duì)自己的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行反思，因?yàn)橹挥蟹此疾拍馨l(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足，才能發(fā)現(xiàn)教學(xué)新的突破點(diǎn). 上面的總結(jié)，既是筆者對(duì)已有教學(xué)反思的結(jié)果，又是未來(lái)教學(xué)反思的對(duì)象. 如此理解高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)，筆者認(rèn)為從方法論的角度來(lái)看，是科學(xué)的也是合適的. 畢竟，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線相關(guān)知識(shí)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn). 面對(duì)這一難點(diǎn)與重點(diǎn)，教師自然必須思考難點(diǎn)應(yīng)當(dāng)如何突破，重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)如何體現(xiàn).

值得一提的是，對(duì)圓錐曲線知識(shí)難點(diǎn)的確定，除了常規(guī)意義上的知識(shí)難點(diǎn)以及容易出現(xiàn)的難題外，還要從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度去觀察. 必要時(shí)還應(yīng)當(dāng)增設(shè)一些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，以便于學(xué)生能夠經(jīng)歷更為豐富的知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程，同時(shí)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地. 這是筆者在教學(xué)研究中獲得的一個(gè)重要經(jīng)驗(yàn).而且這樣的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的增設(shè)，通常不會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與運(yùn)用，也就是說(shuō)不會(huì)影響學(xué)生應(yīng)試能力的培養(yǎng). 比如生成三種典型圓錐曲線的體驗(yàn)過(guò)程，就不應(yīng)當(dāng)被忽略. 看起來(lái)學(xué)生的體驗(yàn)會(huì)占用一部分學(xué)習(xí)時(shí)間，但是這部分時(shí)間的花費(fèi)是完全值得的，就是因?yàn)楫?dāng)學(xué)生經(jīng)歷這樣的體驗(yàn)過(guò)程，大腦中關(guān)于橢圓、雙曲線以及拋物線的表象會(huì)變得十分清晰，這不僅有助于學(xué)生理解圓錐曲線的性質(zhì)，而且有助于學(xué)生產(chǎn)生新的有價(jià)值的問(wèn)題. 比如有學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種典型圓錐曲線的性質(zhì)描述，基本上遵循著同一種模式，因此可以用同一張表格來(lái)梳理——當(dāng)學(xué)生有了這一自主發(fā)現(xiàn)后，就可以挖掘出類似于表格這樣的工具，比如人們常說(shuō)的思維導(dǎo)圖，這有助于學(xué)生思維的發(fā)展.同樣還有學(xué)生提出：“為什么一個(gè)平面去截圓錐，就可以得到這些元件呢？這不可能是偶然的結(jié)果，其中必然存在著一定的規(guī)律.”“圓錐曲線在自然界中有著那么大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，這說(shuō)明數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系非常緊密.”……

這些觀點(diǎn)在傳統(tǒng)教學(xué)中是很難出現(xiàn)的，但在當(dāng)下課堂中卻頻頻出現(xiàn)，恰恰說(shuō)明了上述教學(xué)思路是有效的，這樣的教學(xué)思路是應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持的.

參考文獻(xiàn)：

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