由一道直線與橢圓問題引發(fā)的思考

韓進軍

直線與橢圓問題比較常見.此類問題側(cè)重于考查橢圓的性質(zhì)、方程、定義，二次方程的性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系.直線與橢圓問題的命題形式多樣，且通常較為復(fù)雜，很多同學(xué)不知該如何下手.現(xiàn)結(jié)合一道例題，探討一下一類直線與橢圓問題的解法以及相關(guān)結(jié)論.

例1.已知橢圓的左右頂點分別為 A?，A?.過點的直線交橢圓于P，Q（P，Q 與 A，A?不重合）兩點.設(shè)直線A，P 的斜率為h， 直線A?Q的斜率為h?.證明：h ·h?為定值.

本題較為復(fù)雜，有兩條直線同時與橢圓相交.解答所用的常規(guī)方法是：根據(jù)直線的點斜式方程求得直線 A，P、A?Q 的方程，或根據(jù)直線的斜率公式求得直線 A，P、A?Q 的斜率，建立關(guān)于h 、h?的關(guān)系式.較為簡單的方法是：設(shè)出直線PQ 的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，通過消元構(gòu)造出一元二次方程，由韋達定理得出y?+y?、YiY?、x?+x?、x?x?， 進而求得? 的表達式，通過化簡求得h ·h?的值.

證明：

本題中與橢圓相交的兩條直線較為特殊：過橢圓的頂點，且這兩條直線的斜率之積為定值.經(jīng)研究，筆者發(fā)現(xiàn)這類問題比較常見，且求解這類問題有"通法"，于是對其進行了深入的探究.

探究問題1.若A?，A? 是橢圓的左右頂點，過點D（n，0（（n≠±a） 的直線交橢圓于P、Q（P，Q? 與點A?，A?不重合）兩點，直線A，P 與 A?Q 的斜率分別為h?、h?， 直線A?P 與 A?Q 的斜率分別為 h?、h?，那么h，h?，h?，h?? 之間有什么聯(lián)系呢？

分析：

在解答此類問題時，只要根據(jù)D 點的坐標(biāo)設(shè)出直線 PQ 的方程，便可將直線 PQ 的方程與橢圓的方程學(xué)聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)韋達定理和直線的斜率公式建立關(guān)于h?、h?、h?、h?的關(guān)系式.

探究問題2.

根據(jù)上面的兩個結(jié)論，我們可由其中兩條直線的斜率確定第三條直線的斜率.

探究問題3.若直線A，P 與 A?Q 交于點M（xm，ym）， A，Q與 A?P 交于點N（x，y），? 那么h 、h?、h?、h?之間有什么關(guān)系呢？

分析：

例2.

分析：

例3.

分析：

文中只分析了當(dāng)直線與橢圓相交時，經(jīng)過橢圓長軸端點的四條直線的斜率之間的關(guān)系，并得出相關(guān)結(jié)論.還有許多相關(guān)的問題和結(jié)論有待大家去研究.希望本文能起到拋磚引玉的作用，引起大家對直線與圓錐曲線問題的思考，探究出更多、更好的解題方法.

（作者單位：北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校）