用方程思想解答直線與圓錐曲線問題的思路

吳維軍

直線與圓錐曲線問題比較常見，常見的命題形式有：（1）判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（2）根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求直線或圓錐曲線的方程，求參數(shù)的取值范圍.此類問題側(cè)重于考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線的方程、斜率，圓錐曲線的方程、定義、幾何性質(zhì).

解答此類問題常需用到方程思想.運(yùn)用方程思想解答直線與圓錐曲線問題的步驟為：

第一步，引入?yún)?shù)，設(shè)出直線的方程、斜率，曲線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo).一般需根據(jù)題意明確已知量，將未知的量用參數(shù)表示出來；

第二步，將直線與曲線的方程聯(lián)立，消去其中一個(gè)元，從而得到一個(gè)一元二次方程；

第三步，求出方程的判別式△的表達(dá)式，并在保證判別式△>0的前提條件下，寫出根與系數(shù)之間的關(guān)系式（韋達(dá)定理）;

第四步，根據(jù)韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換，得到含參等量關(guān)系式；

第五步，通過等量代換，將第一步中設(shè)出來的參數(shù)消除掉.消參的常用方法有整體代入消參、局部換元消參等；

第六步，化簡所得的結(jié)果，根據(jù)相關(guān)的公式、性質(zhì)、定義求得問題的答案.

在上述六步中，比較關(guān)鍵的步驟是第一、四步.若設(shè)出的參數(shù)合適，則能簡化運(yùn)算，否則會(huì)陷入計(jì)算的困境.而在運(yùn)算的過程中，利用韋達(dá)定理，不僅可以繞開繁瑣的求根過程，還可以快速找到兩根之間的關(guān)系，通過整體代換來簡化運(yùn)算.

例題：

解：

解答本題，要先根據(jù)題意設(shè)出直線的方程；然后將直線與橢圓的方程聯(lián)立，通過消元構(gòu)造一元二次方程；再根據(jù)韋達(dá)定理和弦長公式求得|PQ|＼MN|; 最后通過消參，運(yùn)用基本不等式求得的最小值.在設(shè)直線的方程時(shí)，要明確已知條件，若已知直線上某個(gè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)（xo，yo）， 則需設(shè)出直線的斜率h， 得到直線的點(diǎn)斜式方程： y-yo=h（x-x?）;若已知直線的斜率 ho，則需設(shè)出直線的截距m， 得到直線的斜截式方程： y=h?x+m;若題目中斜率、截距都是未知的，則需引入?yún)?shù)h 和 m， 設(shè)直線的方程為y=hx+m.

雖然直線與圓錐曲線問題的難度較大，解題時(shí)的運(yùn)算量較大，但是我們只要靈活運(yùn)用方程思想建立方程（組），巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，即可簡化運(yùn)算，快速求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學(xué)）