突出建模過(guò)程　培養(yǎng)模型意識(shí)

洪靜

摘 要：在數(shù)學(xué)解題中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常因模型意識(shí)不強(qiáng)、對(duì)模型理解不深而出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的情況.為了培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，提高學(xué)生的建模能力，在教學(xué)中應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的“形成—建立—求解”的全過(guò)程，以此幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：模型意識(shí)；建模能力；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1 提出問(wèn)題

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).

（1） 若E為邊OA邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2） 若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

例1為某校的模擬考試題，從得分上來(lái)看，問(wèn)題（1）的正確率大約是60%，而問(wèn)題（2）的正確率不到5%.問(wèn)題（1）是一個(gè)典型的“將軍飲馬”的變式問(wèn)題，此類問(wèn)題在教學(xué)中重點(diǎn)講解并練習(xí)過(guò)，故得分率較高.而問(wèn)題（2）其本質(zhì)與問(wèn)題（1）相同，但是因?yàn)閱?wèn)題的背景發(fā)生了變化，學(xué)生找不到原型可以模仿，為此正確率不高.

2 分析問(wèn)題

那么造成問(wèn)題（2）失分過(guò)高的根源到底是什么呢？通過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于此類的“最短路徑”問(wèn)題缺乏有效的方法，因此問(wèn)題的背景略有變化，學(xué)生就表現(xiàn)得束手無(wú)策.

在實(shí)際教學(xué)中，受“講授式”教學(xué)模式的影響，學(xué)生對(duì)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一模型并沒(méi)有理解透徹，所以在解題時(shí)未能通過(guò)有效的圖形變換構(gòu)造“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本模型，故在解題時(shí)受阻.

3 改進(jìn)策略

基于以上分析，為了幫助學(xué)生建構(gòu)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本模型，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同背景“最短路徑問(wèn)題”的解決中提煉出解決問(wèn)題的通法，通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)模型、理解模型、應(yīng)用模型.在具體教學(xué)中，筆者以學(xué)生實(shí)際學(xué)情為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)專題教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形變換的觀點(diǎn)去審視圖形的構(gòu)成，從而通過(guò)圖形的變換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，以此掌握模型的本質(zhì)，提高學(xué)生應(yīng)用模型解決問(wèn)題的能力［1］.

3.1 明晰“兩點(diǎn)之間線段最短”模型

例2 如圖2，已知點(diǎn)A，B分別代表兩個(gè)村莊，直線m表示小河，現(xiàn)欲在河邊選一點(diǎn)P修個(gè)抽水站，向A，B兩個(gè)村莊修建水渠，問(wèn)點(diǎn)P選在哪里可以使水渠的總長(zhǎng)最短？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明晰利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本模型是解決此類問(wèn)題的基本方法，從而為接下來(lái)的問(wèn)題解決做鋪墊.

3.2 利用軸對(duì)稱變換構(gòu)造模型

例3 如圖3，已知點(diǎn)A，B分別代表兩個(gè)村莊，直線m表示小河，現(xiàn)欲在河邊選一點(diǎn)P修個(gè)抽水站，向A，B兩個(gè)村莊修建水渠，問(wèn)點(diǎn)P選在哪里可以使水渠的總長(zhǎng)最短？

問(wèn)題1：請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)方案并說(shuō)明理由；

問(wèn)題2：根據(jù)例2，說(shuō)一說(shuō)為什么要用軸對(duì)稱的方法解決問(wèn)題呢？

例4 如圖4，點(diǎn)A為某牧民家，他每天早上先要趕著牛羊去小河邊喝水（m表示小河），然后再將牛羊趕到草地吃草（n表示草地），請(qǐng)問(wèn)他怎么走可以確保行駛的總路程最短？請(qǐng)畫(huà)出路線圖，并說(shuō)明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，大多學(xué)生知道如何設(shè)計(jì)方案，但是卻不知道為什么這樣設(shè)計(jì)，可見(jiàn)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)還停留于簡(jiǎn)單的模仿階段，并沒(méi)有認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì).基于此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以安排自主探究、互動(dòng)交流等環(huán)節(jié)，從而通過(guò)交流掌握學(xué)生對(duì)這一模型的理解情況，以便教師通過(guò)有效地引導(dǎo)讓學(xué)生知道通過(guò)對(duì)稱軸來(lái)轉(zhuǎn)化的真正目的，從而讓學(xué)生真正理解、掌握并可以應(yīng)用模型解決問(wèn)題［2］.例3是這一教學(xué)模塊的核心，只有讓學(xué)生理解了、學(xué)會(huì)了，才能繼續(xù)后面模塊的探究，因此在此環(huán)節(jié)教師要給學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行互動(dòng)交流，總結(jié)反思，確保每個(gè)學(xué)生都能真懂真會(huì).例4實(shí)則例2的變形，是在原有基礎(chǔ)上的進(jìn)一步拓展和延伸，其目的是通過(guò)巧妙的變化讓學(xué)生熟練掌握模型，并在變化中理解不變的數(shù)學(xué)模型.

3.3 利用平移變換構(gòu)造模型

例5 如圖5，點(diǎn)A，B表示一條河兩邊的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在小河上修建一座垂直于河岸的橋CD，問(wèn)橋CD修建在何處從B村到A村路程B-D-C-A最短？（假定河的兩岸是平行直線）

為了便于學(xué)生理解，在給出題目后，教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題鏈：

（1） 從B村到A村的路程由哪幾條線段組成？

（2） 決定路程長(zhǎng)短的是哪些線段？

（3） 點(diǎn)D選在何處BD+CA的值最??？解決這個(gè)問(wèn)題可以用軸對(duì)稱變換嗎？

（4） 你能用其他圖形變換將BD、CA轉(zhuǎn)化為首尾相接的形式嗎？

（5） 請(qǐng)給出你的詳解解題思路，并說(shuō)明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】借助問(wèn)題鏈逐漸尋找解決問(wèn)題的突破口.根據(jù)已知可知CD為定值，為此影響路徑長(zhǎng)短的線段為BD、CA，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D在何處使BD+CA取最小值.基于此，教師專門設(shè)計(jì)了問(wèn)題（4），引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平移構(gòu)造基本模型.從點(diǎn)D出發(fā)，每走1m，兩河岸就靠近1m，當(dāng)從D走到C時(shí)，相當(dāng)于兩河岸重合，這樣問(wèn)題逐漸轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的模型.不過(guò)，根據(jù)平移的性質(zhì)，此時(shí)B地也向河岸a平移了DC的距離到達(dá)點(diǎn)B′的位置.這樣問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：如圖6，在直線a上找一點(diǎn)C，使得AC+B′C最小.連接AB′交直線a與點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥直線b于點(diǎn)D，則CD就是橋的位置.

3.4 利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造模型

例6 如圖7，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN，AM，CM.

（1） 求證：△AMB≌△ENB；

（2） 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小？請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題（1）證明過(guò)程略，在解決問(wèn)題（2）時(shí)需要思考這樣幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：若想AM+BM+CM的最小值，如何把AM、BM、CM這三條線段連接成一條線段呢？

問(wèn)題2：根據(jù)△AMB≌△ENB，可以得到哪些有價(jià)值的信息呢？

（引導(dǎo)學(xué)生將AM轉(zhuǎn)化為EN）

問(wèn)題3：由“將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN”這一條件能夠得到什么呢？

（連接MN，易證△BMN是等邊三角形，由此可以將BM轉(zhuǎn)化為線段MN）

【設(shè)計(jì)意圖】前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用軸對(duì)稱變換和平移變換構(gòu)造基本模型，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本模型，通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造基本模型，以此通過(guò)不同變換解決同一問(wèn)題（線段之和最短的問(wèn)題），讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟基本模型在解決問(wèn)題的價(jià)值，深化對(duì)基本模型的理解.

3.5 利用多種變換構(gòu)造模型

有了前面的探究和鋪墊，現(xiàn)在回歸至原始問(wèn)題，即回歸例1.再次解題時(shí)，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試通過(guò)圖形變換尋找解決問(wèn)題的突破.從學(xué)生反饋來(lái)看，經(jīng)歷了前面的深層探究，現(xiàn)在已經(jīng)有一大半的學(xué)生可以獨(dú)立完成.不過(guò)因?yàn)楸绢}第（2）問(wèn)中涉及到兩種變換，即平移和翻折，所以對(duì)于一些基本較弱的學(xué)生來(lái)講仍具有一定的挑戰(zhàn)性，為此在此階段教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，通過(guò)分組討論的方式尋找有效的解題路徑.在互動(dòng)交流中，教師了解了學(xué)生的實(shí)際困難，創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題幫助學(xué)生突破難點(diǎn)：

問(wèn)題1：在四邊形CDEF中，哪幾條線段定值呢？問(wèn)題可以如何轉(zhuǎn)化呢？

問(wèn)題2：?jiǎn)栴}（2）中線段DE和CF的位置與問(wèn)題（1）中線段DE和CE的位置有何不同呢？

問(wèn)題3：通過(guò)何種圖形變換可以將線段DE和CF的端點(diǎn)E和F重合呢？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)比問(wèn)題（1），引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別在于端點(diǎn)是否重合，由此引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平移變換構(gòu)造基本模型，即將問(wèn)題（2）逐漸轉(zhuǎn)化為問(wèn)題（1），根據(jù)軸對(duì)稱變換順利解決問(wèn)題.在解題時(shí)，既有教師的耐心引導(dǎo)，又有同學(xué)們的激烈爭(zhēng)論，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，深化對(duì)模型的理解.同時(shí)通過(guò)兩種圖形的變換，提高了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

4 教學(xué)反思

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力等方面有著重要的價(jià)值.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)、模型深化的過(guò)程，并通過(guò)具體應(yīng)用提高學(xué)生的模型意識(shí)，提高學(xué)生建模能力，以此提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.

本節(jié)教學(xué)中，通過(guò)解題反饋發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（2）之所以得分低下，其主要原因就是學(xué)生沒(méi)有將“兩點(diǎn)之間線段最短”這一模型學(xué)懂、學(xué)透，這樣在解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)模仿來(lái)解決，但是在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)就顯得束手無(wú)策.因此，為了幫助學(xué)生突破這一難關(guān)，教師借助具體案例引導(dǎo)學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)模型，并通過(guò)圖形變換逐漸認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)不同變換方法解決問(wèn)題中的相同之處，從而在變中領(lǐng)悟不變的原理，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在教學(xué)中，不要急于就題論題式的講解，要重視錯(cuò)因的分析，善于通過(guò)循序漸進(jìn)地引導(dǎo)讓學(xué)生將知識(shí)學(xué)懂學(xué)會(huì).另外，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)重視模型思想的教學(xué)，突出建模過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，以此提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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