用函數(shù)的圖象解不等式需注意的兩個(gè)要點(diǎn)

相冬梅

不等式問題比較常見.有些不等式問題較為復(fù)雜，很難直接根據(jù)不等式的性質(zhì)快速求得問題的答案，此時(shí)需將不等式與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征合理構(gòu)造出函數(shù)模型，以利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)順利求得問題的答案.那么在運(yùn)用函數(shù)的圖象解不等式時(shí)，要注意哪些要點(diǎn)呢？主要有下面兩點(diǎn).

一、要構(gòu)造出合適的函數(shù)模型

在解不等式時(shí)，要把不等式與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，將不等式進(jìn)行合理拆分、整合，使其中一部分式子為一次函數(shù)式、二次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式、冪函數(shù)式等.這樣便可根據(jù)函數(shù)式快速畫出函數(shù)的圖象，以利用函數(shù)的圖象確定不等式的解集.

例1.

解：

對(duì)于含有絕對(duì)值的不等式，往往可以直接將含有絕對(duì)值的式子看作函數(shù)式，并用絕對(duì)值內(nèi)部式子的零點(diǎn)將實(shí)數(shù)集劃分為幾個(gè)區(qū)間.然后利用分類討論思想，討論每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的解析式和圖象，就能根據(jù)函數(shù)的圖象找到滿足不等式的點(diǎn)的集合.

例2

解：

該不等式中含有兩個(gè)絕對(duì)值式子，于是構(gòu)造函數(shù) ?（x）= 2|x + 1| + |x| ；然后分三段 x < -1、-1 ≤ x ≤ 0、x > 0 討論絕對(duì)值的符號(hào)，以去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到最簡(jiǎn)的函數(shù)解析式；再在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù) ?（x） 和 y = 4 的圖象，討論滿足不等式的點(diǎn)的集合：在函數(shù) ?（x） 圖象上且在 y = 4 的下方的點(diǎn)，求得 ?（x） 與 y = 4 的圖象相交時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解題.在解不等式時(shí)，我們可以根據(jù)不等式的特征構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，也可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù).

例3

解：

觀察圖3不難發(fā)現(xiàn)，要使不等式?（x）>0，需使函數(shù) y =2x 的圖象始終在直線 y = x +1的上方，只需使x <0或 x >1，

所以不等式的解集是（-∞， 0）?（1， +∞）.故選 D.

對(duì)于一些較為復(fù)雜的不等式，如含有絕對(duì)值、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、高次冪、根式、分式的式子，此時(shí)需先將不等式進(jìn)行合理的變形、化簡(jiǎn)，如通過分類討論去掉絕對(duì)值，通過平方去掉根號(hào)，通過分離參數(shù)使分式簡(jiǎn)化，通過移項(xiàng)整合單項(xiàng)式，等等，必要時(shí)可以將其中較為復(fù)雜的式子，如根號(hào)下的式子、絕對(duì)值內(nèi)部的式子進(jìn)行換元，即可根據(jù)化簡(jiǎn)后不等式的結(jié)構(gòu)特征，快速構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.

二、要關(guān)注圖象位置關(guān)系的臨界情形

利用函數(shù)的圖象解不等式，往往要先根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，再討論圖象之間的位置關(guān)系，此時(shí)要重點(diǎn)關(guān)注函數(shù)圖象位置關(guān)系的臨界情形，如相交、相切、重合、一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)等.然后求得該臨界情形下點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象的位置關(guān)系確定滿足不等式的解集.

例4.若定義在 R 的奇函數(shù)?（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且?（2）=0，則滿足 x?（x -1）≥0的 x 的取值范圍是（??? ）.

A.[-1， 1]∪[3，+∞）?????? B.[-3，-1]∪[0， 1]

C.[-1，0]∪[1，+∞）?????? D.[-1，0]∪[1，3]

解：根據(jù)題意可知?（x）的大致圖象如圖4所示，將?（x）的圖象向右平移一個(gè)單位可得?（x -1）的圖象，如圖5所示.

解該不等式，需重點(diǎn)關(guān)注不等式的臨界情形： x? （x -1）=0，以及函數(shù)圖象?（x -1）與 y =0的位置關(guān)系的臨界情形∶相交.分別求出各種情形下 x 的值，即可根據(jù)函數(shù)圖象與 x 軸的位置關(guān)系，確定不等式的解集.

例5.已知?（x）是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù)， 當(dāng) x ≥0時(shí)，? ?（x）= x2-4x ， 那么不等式?（x +2）<5 的解集是______.

解：

通過觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)，要使?（x +2）<5，需使圖象上的點(diǎn)都在 y =5的下方，即-5< x +2<5，

故不等式的解集是{x|-7< x <3}.

畫出函數(shù)的圖象后，需重點(diǎn)關(guān)注?（x）與 y =5的臨界情形，即相交時(shí)的情形，此時(shí)?（x）=5，據(jù)此求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)函數(shù)的圖象確定?（x +2）<5的解集.

有時(shí)根據(jù)所給的條件我們只能畫出函數(shù)的部分圖象，為了得到完整的答案，我們需根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，得到完整的函數(shù)圖象，再通過研究函數(shù)圖象確定滿足不等式的解集.雖然運(yùn)用函數(shù)的圖象，能較直觀和便捷地解答不等式問題，但是同學(xué)們一定要注意用函數(shù)的圖象解不等式的要點(diǎn)，這樣才能快速、準(zhǔn)確地獲得問題的答案.