選用合適的方法，高效求解三角函數(shù)最值問題

王璐

三角函數(shù)最值問題的常見命題形式是：（1）根據(jù)已知三角函數(shù)的解析式和定義域，求三角函數(shù)的最值；（2）根據(jù)已知關(guān)系式和變量的取值范圍，求某個三角函數(shù)式的最值.解答三角函數(shù)最值問題的方法很多，如配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等.本文主要介紹一下三種求三角函數(shù)最值的方法.

一、配方法

對于二次三角函數(shù)最值問題，用配方法解答比較有效.首先運用三角函數(shù)的基本公式進行恒等變換，將三角函數(shù)式化為同角、同函數(shù)名稱的式子；再將函數(shù)式配方成 f（x）=（x - m）2+ n 的形式；然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值.在求最值時，要注意定義域的取值范圍以及三角函數(shù)的值域.

例1.已知 sin A + sinB = ，求 sin A - cos2 B 的最值.

解：

在遇到二次三角函數(shù)最值問題時，一定要先將函數(shù)名稱和角統(tǒng)一，然后再進行配方，這樣有利于提升解題的效率.

例2.求函數(shù) y =-sin2α-3 cos α+3的最小值.

解：

對于二次三角函數(shù)式，常需運用同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式進行三角恒等變換，以將函數(shù)名稱和角統(tǒng)一.再通過換元，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)來求最值.

二、換元法

對于一些比較復(fù)雜的三角函數(shù)式，可以考慮使用換元法來解題.在解題時，需將三角函數(shù)式中的某個式子用一個新變量來替換，從而將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于新元的函數(shù)最值問題.在換元時，要將所求的式子與已知關(guān)系關(guān)聯(lián)起來，選擇合適的部分進行換元.

例3.求函數(shù) f（α）= 的最大值.

解：

由于之間存在一定的聯(lián)系：（sin α+ cos α）2=1- 2 sinα cosα，于是引入新變量μ，令 sin α+ cos α=μ，然后用μ來表示目標(biāo)函數(shù)，這樣就能將問題成功地轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題來解答.

例4.求函數(shù) y =（sin α-2）（cos α-2）的最值.

解：

首先將函數(shù)變形；再引入新的變量參數(shù)γ，令γ = sin α + cos α ，根據(jù)輔助角公式求出 γ 的取值范圍；然后運用換元法，將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量 γ 的二次函數(shù)最值問題；最后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可輕松解題.

三、導(dǎo)數(shù)法

對于含有指數(shù)、對數(shù)式、高次冪的三角函數(shù)式，往往需運用導(dǎo)數(shù)法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求得三角函數(shù)的最值.在解題時，要先對函數(shù)式進行求導(dǎo)；然后令導(dǎo)函數(shù)為0，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性：若導(dǎo)函數(shù)大于0，則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)小于0，則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.一般地，導(dǎo)函數(shù)的零點即為函數(shù)的最值點（極值點）.

例5

解：

因此函數(shù)的最小值為-4. 我們首先要對函數(shù)進行求導(dǎo)；再令導(dǎo)函數(shù)為0，求出 x 的值，即可確定函數(shù)的極值點，從而求得函數(shù)的最小值.

可見，解答三角函數(shù)最值問題，同學(xué)們要注意三個要點：（1）要靈活地運用三角函數(shù)的各種基本公式，通過恒等變換來化簡三角函數(shù)式；（2）要重點關(guān)注變量的取值范圍和函數(shù)的定義域；（3）要靈活運用 y = sin x、 y = cos x 、y = tan x 的單調(diào)性.