數(shù)學建模教學：從問題提出到知識運用

鄭瑄

摘 要：杭州市阮洲奕老師上的一節(jié)題為“用吸管演奏樂曲”的數(shù)學課，開場生動，收尾升華，中間用環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，一步一步地引導學生通過數(shù)據(jù)擬合建立吸管長度與所吹音調(diào)的函數(shù)模型，完成用吸管演奏奏樂曲的任務(wù)。由此得到關(guān)于數(shù)學建模教學的一些啟示：問題提出要真實自然、綜合開放，過程探究要從感性經(jīng)驗上升到理性思考，知識運用要打破學科的界限。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)學建模；吸管奏樂；數(shù)據(jù)擬合；學科融合

近期，筆者參加了一個專題教研活動，聽了杭州市阮洲奕老師上的一節(jié)題為“用吸管演奏樂曲”的數(shù)學課。課上，阮老師引導學生通過數(shù)據(jù)擬合建立吸管長度與所吹音調(diào)的函數(shù)模型，完成用吸管演奏樂曲的任務(wù)。這節(jié)課使筆者受到了一些觸動，對數(shù)學建模教學的設(shè)計與實施有了更深的感悟。下面，先以欣賞的態(tài)度展現(xiàn)這節(jié)課的主要教學過程，再從教學啟示的角度談?wù)劰P者的感悟。

一、 教學過程欣賞

（一） 出人意表的開場

課始，大屏幕上出現(xiàn)五線譜，其上翻騰著各種音符。筆者和學生一樣滿懷好奇和期待，遐思翩躚：數(shù)學課怎么出現(xiàn)了樂譜？理性的數(shù)學與感性的音樂有什么關(guān)系？

“我們先來欣賞一段音樂。閉上眼睛，用心感受。”阮老師話音剛落，一股旋律流淌而出。如此，師生共同了進入一個音樂的磁場。

“好聽嗎？大家猜一猜：這段音樂是用什么樂器來演奏的呢？”學生猜測紛紜：笛子？排簫？卡祖笛？管風琴？……

“其實，這段音樂是用老師手中這根小小的吸管演奏的?！比罾蠋熣故臼种械奈?。學生驚嘆：哇哦！真沒想到！這是真的嗎？

緊接著，阮老師提出一個富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)：“今天，我們就試著用吸管演奏樂曲。”

（二） 引人入勝的進程

挑戰(zhàn)性任務(wù)的提出出乎學生意料，那么，任務(wù)的完成如何引導學生入勝？阮老師通過環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，一步一步地在學生的“最近發(fā)展區(qū)”搭建適切的學習支架，提供適當?shù)慕忸}線索，讓學生拾級而上，逐漸確定變量、設(shè)計實驗、收集數(shù)據(jù)、建立模型，從而利用數(shù)學知識解決音樂問題——特別是第四個問題，引導學生完成從定性到定量（從感性到理性）的飛躍。教學進程就在教師的發(fā)問、追問與學生的思考、實踐、討論、分享中逐漸展開——

師 （出示問題1）

吸管怎樣才能演奏音樂？

生 首先要能發(fā)出聲音，然后要能吹出不同的音調(diào)。

師 （出示問題2）

要吹出不同的音調(diào)，這又與哪些因素相關(guān)呢？

生 （眾說紛紜）

與空氣流速有關(guān)；與吸管的長度有關(guān)；與吸管的厚度有關(guān)；與吹氣的力度有關(guān)；與振動的頻率有關(guān)……

師 同學們的想法都很值得研究。今天，我們就先把問題聚焦到音調(diào)與吸管長度之間的關(guān)系上，看看長度改變了，音調(diào)到底會不會發(fā)生改變。（出示問題3）

改變吸管的長度，能吹出不同的音調(diào)嗎？有沒有同學愿意來試一試？

（兩位學生自告奮勇，上臺合作，一個剪、一個吹。大家發(fā)現(xiàn)：吸管剪得越短，吹出的音調(diào)越高。）

師 ?（出示問題4）

要想吹出中音la，應(yīng)該使用長度為多少的吸管呢？

（學生陷入沉思之中。）

師 今天，我們就利用數(shù)學的方法來解決這個音樂的問題。不妨回想剛才的實踐嘗試——當吸管長度發(fā)生變化時，音調(diào)也隨之發(fā)生變化。在數(shù)學中，我們會聯(lián)想到什么知識呢？（出示問題5）

在數(shù)學中，我們?nèi)绾窝芯績蓚€變量之間的關(guān)系？

生 （異口同聲）

利用函數(shù)。

師 對啊！長度和音調(diào)就是上述過程中的兩個變量，而函數(shù)正是數(shù)學中刻畫兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的一種數(shù)學模型。（出示問題6）

用函數(shù)來研究，具體應(yīng)怎么做？

生 先收集數(shù)據(jù)，再建立平面直角坐標系，畫出圖像，看看圖像長什么樣兒。

師 那么，要收集哪些數(shù)據(jù)呢？

生 要測量吸管的長度和用吸管吹出的音調(diào)。

生 在科學中，音調(diào)可以用振動頻率來表示，所以，測量音調(diào)就是測量振動頻率。

師 接下來，阮老師就帶領(lǐng)同學們一起收集數(shù)據(jù)。我們利用專業(yè)的聲學軟件（App）Phyphox測量振動頻率。取一根吸管，吹出穩(wěn)定的波形時，軟件就會顯示出對應(yīng)的振動頻率，這樣就可以得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

（師生合作收集實驗數(shù)據(jù)，結(jié)果如表1所示。）

師 觀察表中數(shù)據(jù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生 隨著吸管長度的增加，它的振動頻率逐漸降低，即它的音調(diào)慢慢變低。

師 為了更直觀地表示這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，大家有什么方法？

生 可以在平面直角坐標系中描點，然后用光滑曲線連接，畫出圖像。

師 好，現(xiàn)在請同學們動手，在自己的學案紙上畫一畫這個函數(shù)的圖像。

（學生畫圖。）

師 觀察圖像，你認為可以用什么函數(shù)來刻畫這兩個變量之間的關(guān)系？

生 我認為它更接近于一個反比例函數(shù)。

師 其實，同學們畫的圖會存在一定的誤差。我們可以用現(xiàn)代科學技術(shù)更精準地擬合這個函數(shù)。請同學們在平板電腦上把所有的數(shù)據(jù)輸入老師提供的數(shù)據(jù)擬合軟件中。

（學生輸入數(shù)據(jù)后，軟件自動完成描點。師生先用一次函數(shù)模型試驗，發(fā)現(xiàn)很多點都不能落在一條直線上；再用反比例函數(shù)模型試驗，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)點都落在一條反比例函數(shù)的曲線上。最后，計算機擬合出了這個反比例函數(shù)模型：f=86610/l。）

師 再回到剛才的問題4——要想吹出中音la，應(yīng)該使用長度為多少的吸管呢？這個問題其實就變成已知反比例函數(shù)的某個函數(shù)值，求相應(yīng)自變量值的簡單計算問題了。當然，先要利用“音調(diào)振動頻率表”查出中音la的振動頻率f=880Hz，從而可以算出吸管的長度l=984mm。（稍停）

現(xiàn)在，阮老師要布置用吸管演奏樂曲的具體任務(wù)了——請各小組合作，根據(jù)樂譜吹奏莫扎特的樂曲《小星星》。（出示問題7）

七人小組要完成《小星星》的演奏，具體應(yīng)該做？

（教師出示表2，提供完成任務(wù)的方法。各個小組開始活動，進入井然有序、忘我專注的狀態(tài)。）

師 這真的是阮老師聽過的最動人、最獨特的《小星星》了。

（教師引導學生回顧梳理整個數(shù)學建模的過程，得到圖1；體悟數(shù)學與音樂千絲萬縷的關(guān)系，得到下頁圖2。）

師 從古至今，數(shù)學與音樂一直是相輔相成的。2500年前，畢達哥拉斯第一次發(fā)現(xiàn)了音樂和數(shù)學的關(guān)系；中國古代通過數(shù)學運算研究音律；萊布尼茨認為音樂是一種隱藏的數(shù)學練習；傅立葉發(fā)現(xiàn)聲波是一種周期函數(shù)；而我們熟悉的音樂家貝多芬、肖邦、柴可夫斯基等，常用他們腦海中的曲線來譜曲。

（三）? 動人心弦的尾聲

這是一個令人動容的尾聲。素昧平生的師生，45分鐘的一節(jié)課，人生際遇中短短的緣聚，何為教育？筆者以為，衡量教育是否真正發(fā)生以及是否真正起到作用最真誠的標準，是看其有沒有激活和點燃學生的心靈，有沒有讓學生感知、感悟和感動。

師 同學們通過整節(jié)課的學習有什么感受和體會？

生 阮老師今天帶領(lǐng)我們經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學建模過程。我們平時都是先學函數(shù)，再到應(yīng)用；而今天是先從生活中找音樂的應(yīng)用，再回到數(shù)學中去找原理。真的很新穎、很神奇！

生 通過這節(jié)課，我知道數(shù)學還可以運用到生活中，可以與音樂相結(jié)合；感覺數(shù)學不只是紙上的運算，還是生活，有一種美麗的感受。

生 通過阮老師剛才舉出的那些古今中外名人軼事，我們知道，可以將數(shù)學運用在音樂中，也就是將數(shù)學運用于創(chuàng)造。阮老師這節(jié)課讓我感覺到數(shù)學學習的樂趣，使我更加熱愛生活，熱愛數(shù)學。

生 在這節(jié)課的學習過程中，我們?yōu)榱搜芯繑?shù)學與音樂的關(guān)系，用到了平板電腦等電子設(shè)備，還用了聲學軟件來測量聲音的振動頻率等。這使我感受到科技的力量，現(xiàn)代科學技術(shù)能夠有效幫助我們學習、研究。

生 這節(jié)課，我們一直在通過數(shù)學的美，彰顯音樂的韻律美。其實，我們還可以發(fā)散發(fā)聯(lián)想。比如，笛子、葫蘆絲都是通過開孔，運用氣流的振動來發(fā)出聲音的。所以，我們小組在討論的過程中，就從中汲取靈感，模仿其原理，在吸管上挖了很多的孔，制作了一種樂器。

（教師表揚了這個小組的創(chuàng)舉，也提出了意見：開孔太大，手捂不住。大家都快樂地笑出了聲。）

生 這節(jié)課教給我們，數(shù)學學習并不只是枯燥地掌握知識點，枯燥地“刷題”，單純地應(yīng)付考試，更要將數(shù)學與生活結(jié)合。即教會了我們一種新的學習數(shù)學的方式，也讓我們體會到學習數(shù)學的樂趣。所以，非常感謝您！

生 這節(jié)課剛開始的時候，我完全想象不出數(shù)學與音樂究竟有什么關(guān)系，相信大多數(shù)同學也是一樣的感覺吧。但是，阮老師帶領(lǐng)我們一起探究，通過普通的吸管，讓音樂與數(shù)學進行了一個大大的碰撞。而且，小組同學之間討論得也很歡快，有一種在玩中學的感覺。然后，我還想問阮老師：數(shù)學源于生活，但也要回到生活，那么今天從吸管中學到的原理是否也可以用到其他東西上呢？

師 這個問題提得非常好！也就是說，我們能不能用今天學習的方法制作其他樂器？而且，改變樂器的載體后，剛才建立的反比例函數(shù)模型是否還適用？我們也許需要重新選擇函數(shù)模型，但是，其中蘊含的數(shù)學思想和研究方法是一脈相承的。實際上，這位同學也很好地說出了阮老師今天想給大家布置的作業(yè)——請每個小組運用不同的載體自制一個樂器，然后全班開一場不一樣的音樂會。到時候，記得發(fā)視頻給阮老師看哦。今天的課就上到這里。謝謝！

二、 教學啟示感悟

（一） 問題提出：真實自然、綜合開放

阮老師的課從本質(zhì)上看，是帶領(lǐng)學生經(jīng)歷了一次完整的數(shù)學建模過程。其實，初中數(shù)學教材中不乏要求學生進行數(shù)學建模的例子。比如，浙教版初中數(shù)學八年級上冊《5.5一次函數(shù)的簡單應(yīng)用》的例1：

生物學家測得7條成熟的雄性鯨的全長y和吻尖到噴水孔的長度x的數(shù)據(jù)如表3所示。問：能否用一次函數(shù)刻畫x和y這兩個變量的關(guān)系？如果能，請求出這個一次函數(shù)的表達式。

同樣是讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，兩者的區(qū)別何在？筆者以為，教材舉的例子離學生的現(xiàn)實甚遠，而且數(shù)據(jù)的來源是提供式的，沒有讓學生理解測量這些數(shù)據(jù)的意義是什么。而阮老師課例中提出的問題貼近學生的現(xiàn)實，是真實自然的、有趣好玩的，富有吸引力，能夠培養(yǎng)學生提出問題的意識和能力；而且，是綜合開放的、結(jié)構(gòu)不良的，充滿挑戰(zhàn)性，能讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的全部過程。類似的例子還有“跑道上的數(shù)學問題”：何為400米標準半圓式跑道？如何畫出400米、800米分道跑的起跑線？……

數(shù)學建模的開端和關(guān)鍵是提出需要通過數(shù)學建模解決的有價值的問題。作為數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，提出這樣的問題，需要在司空見慣的生活場景中、在錯綜復雜的學科情境中，用敏銳的數(shù)學眼光捕捉到有關(guān)的現(xiàn)象，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問題（任務(wù)）。其中蘊含著一系列心理活動：直覺——萌芽；關(guān)注——方向；醞釀——形成；理解——關(guān)系；提出——內(nèi)心認定其有很好的生長趨勢。因此，教師不僅要具備這樣的意識和能力，而且要培養(yǎng)學生提出數(shù)學建模問題的意識和能力。

（二） 過程探究：從感性經(jīng)驗上升到理性思考

中央電視臺《是真的嗎》欄目，曾經(jīng)播出過一個關(guān)于吸管奏樂的節(jié)目。節(jié)目中，主持人向觀眾展示了一位網(wǎng)友提供的吸管長度數(shù)據(jù)，然后用按照如此長度制作的吸管吹出了音準很好的美妙音樂。這里展示的結(jié)果就是阮老師這節(jié)課帶領(lǐng)學生探究的問題。這個結(jié)果最初是怎么得到的呢？

當然，可以經(jīng)過多次剪切、試音，從而非常接近音準，再將數(shù)據(jù)記錄下來。這種基于經(jīng)驗的感性認知能夠帶來發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，古往今來勞動人民用這樣的方法發(fā)現(xiàn)了大量知識，創(chuàng)造了大量財富。阮老師這節(jié)課也讓學生從感性認知出發(fā)展開探索：課始讓學生欣賞用吸管吹奏的樂曲，課中讓學生嘗試用吸管吹奏樂曲。

但若擁有數(shù)學素養(yǎng)，就可以用數(shù)學的眼光去觀察，用數(shù)學的思維去思考，用數(shù)學的語言去表達，從而進入理性研究的層面，高效地探尋精確的規(guī)律。正如阮老師這節(jié)課帶領(lǐng)學生做的：收集數(shù)據(jù)→借助技術(shù)→畫出圖像→計算機擬合→數(shù)學模型→回歸生活→解決問題。

總體而言，對好的數(shù)學建模問題的探索應(yīng)該經(jīng)歷一個從感性經(jīng)驗上升到理性思考的過程。這也符合“大膽假設(shè)，小心求證”這一科學研究的一般范式。

（三） 知識運用：打破學科的界限

何珊云教授多次提到要“打破學科的界限”。她舉過這樣一個例子：你覺得“環(huán)游世界”會是一門什么課？大多數(shù)人的回答是“地理課”。而真實的學校課程（英國小學三年級）涉及11個學科，并以不同學科與環(huán)游世界的關(guān)聯(lián)作為學習內(nèi)容和學習任務(wù)。

阮老師這節(jié)課亦然，不僅涉及數(shù)學和音樂，還涉及物理、材料、信息技術(shù)等學科。回顧阮老師這節(jié)課，其實學生在回答教師的問題時，呈現(xiàn)出了科學的思考——吸管奏樂可能與空氣流速有關(guān)、與振動頻率有關(guān)，只是阮老師沒有及時捕捉回應(yīng)，抑或因為不在其預設(shè)中而忽略了。如果阮老師能對這些課堂生成給予適當?shù)年P(guān)注，引導學生課后展開自然而然的、能力所及的探究，那么這節(jié)課的教學價值將得到更充分的發(fā)揮。這也是我們在數(shù)學建模教學中應(yīng)該特別注意的。

數(shù)學建模通常是基于問題和學習（problembased learning，簡稱PBL）或基于項目的學習（projectbased learning，也簡稱PBL）。其受到重視的根本原因就在于，我們生活的世界是一個復雜的世界，它是由無數(shù)問題、無數(shù)知識相互交織在一起的。其中的問題并不都是良構(gòu)的，而常常是跨界的；知識是由問題引發(fā)的，其學科劃分常常是人為的；沒有跨界的“相輔”，就不易達成研究的“相成”。要培養(yǎng)學生的批判精神、創(chuàng)新意識、獨特思想，以適應(yīng)當下與未來的現(xiàn)實，教育就要發(fā)生改變：讓學生不僅學習單一學科的知識，而且體驗更加真實而廣闊的世界。當然，這對教師的要求頗高，需要教師通過修煉從專才向通才轉(zhuǎn)型；對學生而言，也會在學習過程中感悟到學好數(shù)學以外其他學科的重要性。

進一步來看那些獲得偉大成就的人：阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家、物理學家，還是百科式的科學家；弗朗西斯·培根是英國文藝復興時期的散文家、哲學家，也是實驗科學、近代歸納法的創(chuàng)始人；伯特蘭·羅素是英國著名的數(shù)學家、哲學家、邏輯學家、歷史學家，更是諾貝爾文學獎的獲得者……人為的學科劃分將世界割裂成若干個區(qū)域、若干個條塊，但是整個世界的整體聯(lián)系是真實存在的。學科的經(jīng)緯愈分明，離教育的本質(zhì)也愈偏遠?？缃鐭o痕的學習，才是教育的本來面目。