對有理數(shù)和無理數(shù)定義的教學(xué)思考

李寒月

摘 要：初中教學(xué)教材中，關(guān)于有理數(shù)與無理數(shù)的定義存在范疇不統(tǒng)一，無法體現(xiàn)其對立性的問題，這致使一線教師在教學(xué)時產(chǎn)生困惑?；跓o理數(shù)的定義，從“外延”的角度，提出有理數(shù)的“新定義”，從而實現(xiàn)“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的對立與統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上，給出這一內(nèi)容的部分教學(xué)設(shè)計。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；有理數(shù)；無理數(shù)；對立統(tǒng)一

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材把有理數(shù)和無理數(shù)的概念編排在一課時（《2.2有理數(shù)與無理數(shù)》），許多教師教學(xué)這部分內(nèi)容時都感覺到別扭。何以如此？因為教材中關(guān)于有理數(shù)的定義是“能夠?qū)懗煞謹?shù)形式mn（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫作有理數(shù)”，而關(guān)于無理數(shù)的定義是“無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)”。我們都知道，“有理數(shù)”和“無理數(shù)”就像“正數(shù)”與“負數(shù)”一樣，是一個范疇（實數(shù)）內(nèi)兩個相對立的概念。“比0大的數(shù)叫正數(shù)”“比0小的數(shù)叫負數(shù)”。“比0大”“比0小”這些字眼，能讓我們清晰地能感受到，“正”與“負”是在與同一個對象0相比較后，形成的相對立的兩個概念。而反觀上述有理數(shù)和無理數(shù)的定義，就很難感受到這種“對立性”，甚至感到兩個定義表達的概念不在一個范疇內(nèi)。這不免令人困惑。而要弄清這個問題，得從無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)說起。

一、 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與證明

據(jù)相關(guān)文獻記載，無理數(shù)最早是由古希臘畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的。畢達哥拉斯學(xué)派認為“萬物皆數(shù)”，即所有的事物都可以用整數(shù)或兩個整數(shù)的比來表示。通俗地說就是，世界上的數(shù)都是有理數(shù)。但是，學(xué)派中有一個名叫希帕索斯的人卻發(fā)現(xiàn)，正方形的對角線長與邊長的比就無法用兩個整數(shù)的比來表示。在當(dāng)時的背景下，這一發(fā)現(xiàn)對該學(xué)派的哲學(xué)信仰造成了巨大的沖擊，希帕索斯甚至為此付出了生命的代價。最終，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機。

事實上，無理數(shù)與有理數(shù)一樣是客觀存在的，亞里士多德在其著作中用反證法證明了2是無理數(shù)：

［設(shè)計意圖：在學(xué)生按正負性把所給的數(shù)分好類后，啟發(fā)學(xué)生進行二級分類，通過統(tǒng)一它們的“樣子”，引導(dǎo)學(xué)生將所有的數(shù)都化成小數(shù)，從而使所給數(shù)在形式上達到統(tǒng)一，為接下來按小數(shù)來分類做好充分的準備。］

任務(wù)三：抽象概括

引導(dǎo)學(xué)生概括有理數(shù)和無理數(shù)的定義：把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)叫作有理數(shù)，把無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)。

［設(shè)計意圖：帶領(lǐng)學(xué)生通過前面的觀察、計算、分類、歸納，抽象概括出有理數(shù)和無理數(shù)的定義，從而實現(xiàn)“有理數(shù)”和“無理數(shù)”在小數(shù)范疇內(nèi)的對立統(tǒng)一。］

參考文獻：

［1］ 歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2020：224363.

［2］ 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008：95100.