三角恒等變換知識的“一線串通”及其教學(xué)論意義*

徐章韜

摘 要：遵循“尋找線索工具—確定基本出發(fā)點(diǎn)—把基本出發(fā)點(diǎn)用到極致—‘更上一層樓”這樣的技術(shù)路線，用微積分工具將三角恒等變換知識“一線串通”。從數(shù)學(xué)教學(xué)論的角度來看，“一線串通”是一種減負(fù)增效的有效主張。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué)；三角恒等變換；微積分；一線串通；減負(fù)增效

*本文系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究2022年度規(guī)劃基金課題“‘雙減政策落地的教師教學(xué)知識研究”（編號：22YJA880068）、華中師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目“‘強(qiáng)師計(jì)劃下數(shù)學(xué)教學(xué)論課程體系的重構(gòu)與實(shí)踐”（編號：202265）的階段性研究成果。

三角函數(shù)又稱圓函數(shù)，是圓的性質(zhì)的解析表達(dá)，也是描述周期性現(xiàn)象的有力模型。曾有很多有價(jià)值的三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材，后又被刪除了一些。從基本與派生的關(guān)系來看，刪除一些內(nèi)容是有道理的。如三角恒等變換中的積化和差、和差化積公式，就是一些派生內(nèi)容，刪除了也不傷根本。但是，從另一個(gè)角度看，這些內(nèi)容畢竟在歷史上起到過重要作用，其中也包含豐富的思想因素。如果能挖掘出一條思想性較強(qiáng)的線索，把碎片化知識點(diǎn)串聯(lián)起來，形成聯(lián)系豐富的知識網(wǎng)絡(luò)，那么具體的知識將增值，課內(nèi)課外的界限將變得模糊，從而學(xué)生的學(xué)習(xí)也會(huì)變得更加自然、深入、有意義。下面，筆者嘗試尋找適當(dāng)?shù)木€索將三角恒等變換的知識串聯(lián)起來，并進(jìn)一步闡發(fā)“一線串通”的數(shù)學(xué)教學(xué)論意義。

一、 三角恒等變換知識的“一線串通”

將數(shù)學(xué)知識“一線串通”可遵循一定的技術(shù)路線。

（一） 尋找線索工具

二、 “一線串通”的數(shù)學(xué)教學(xué)論意義

“一線串通”是教育數(shù)學(xué)的重要主張，筆者在本系列之前的文章中也不斷地強(qiáng)調(diào)過這一點(diǎn)，比如《矩陣與向量、數(shù)列的“一線串通”》一文，還有很多以“從……出發(fā)”“從……到……”為標(biāo)題格式的文章。下面，從數(shù)學(xué)教學(xué)論的角度，結(jié)合現(xiàn)狀，進(jìn)一步談一談“一線串通”的意義。

數(shù)學(xué)教學(xué)論講什么？或者說，數(shù)學(xué)教學(xué)論的課程體系究竟包括哪些內(nèi)容？這個(gè)問題到現(xiàn)在還沒有得到很好的解決。數(shù)學(xué)教學(xué)論要研究教學(xué)中的具體問題，但不能局限于一招一式，應(yīng)該形成技法，形成理論?，F(xiàn)在學(xué)界習(xí)慣談學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)科關(guān)鍵能力的形成，這是應(yīng)該的，但不能因此而否定知識教學(xué)的意義，因?yàn)橹R是能力（素養(yǎng)）之基。沒有知識的多角度認(rèn)識、深度理解及出色應(yīng)用，而大談能力（素養(yǎng)），其實(shí)是割裂了知識和能力（素養(yǎng)）之間的辯證關(guān)系?；谥R論發(fā)展數(shù)學(xué)教學(xué)論，構(gòu)建有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的數(shù)學(xué)教學(xué)論課程體系，使得數(shù)學(xué)教學(xué)論走出一般教學(xué)論的空虛，是應(yīng)該大力研究的一件事。

數(shù)學(xué)教學(xué)論首先要重塑數(shù)學(xué)教師的教育觀念。在聽師范生授課的過程中，能明顯地感受他們身上濃濃的應(yīng)試“刷題”氣息，因?yàn)樗麄兒芏嗑褪沁@樣過來的。改變這一教育觀念的做法是通過具體的例子，曉之以教學(xué)之道，引起他們的共鳴，使他們相信遵循教學(xué)之道，一定會(huì)“減負(fù)增效”。

數(shù)學(xué)教學(xué)論還要講究數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。一般教學(xué)論或大教學(xué)論，視野宏大，給人以方法上的啟發(fā)，但數(shù)學(xué)教學(xué)論要解決數(shù)學(xué)教學(xué)中十分具體的問題，要解決數(shù)學(xué)課程如何與學(xué)生的發(fā)展相遇，數(shù)學(xué)教學(xué)如何與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、心理相遇等問題。這里不唯有理念上、方法上的導(dǎo)向問題，還有一些技術(shù)上、操作上的實(shí)施問題，需要多方面解讀數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)知識，讀出數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)知識的多維屬性，然后結(jié)合具體的學(xué)情作出適宜的選擇。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一線串通”是一種減負(fù)增效的有效主張，并給出了一些處方式的方法：深度分析及適度拓展教材知識，理清知識之間的邏輯關(guān)系，從而“精中求簡”（項(xiàng)武義語），把統(tǒng)攝的核心內(nèi)容和基本的出發(fā)點(diǎn)吃透，一以貫之，打通知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使之主從關(guān)系分明、彼此相互支持，進(jìn)而不斷重復(fù)重點(diǎn)，循著脈絡(luò)而學(xué)，把行為主義學(xué)習(xí)理論的精髓用到極致，理解學(xué)習(xí)即復(fù)習(xí)的要義，這樣就能教得輕松、學(xué)得容易。相對地，一味地刪減教材內(nèi)容，看似可以“減負(fù)”，實(shí)則容易割裂知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，結(jié)果反而因?qū)W不透徹而學(xué)得辛苦。