循“理”入“法”，“理”“法”相融

錢奕杉 蔡燕娟

摘 要：數(shù)的運(yùn)算是一個(gè)推算的過程，其中算理是算法的理論依據(jù)，算法則是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的?！恫缓ㄌ?hào)的三步混合運(yùn)算》一課，讓學(xué)生在混合運(yùn)算兩步變?nèi)降淖兓^程中，經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，進(jìn)一步感受和理解相關(guān)運(yùn)算的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；算理；算法；《不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算》

“不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《整數(shù)四則混合運(yùn)算》單元第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。本課是在不含括號(hào)的兩步混合運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算。學(xué)生之前已經(jīng)初步掌握了一些混合運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則和順序：只含同級(jí)運(yùn)算的兩步式題要按從左往右的順序依次進(jìn)行運(yùn)算；算式里有乘法和加、減法，應(yīng)該先算乘法；算式里有除法和加、減法，應(yīng)該先算除法；算式里有小括號(hào)，應(yīng)該先進(jìn)行小括號(hào)里面的運(yùn)算。但是否真的已經(jīng)深刻體會(huì)到相關(guān)運(yùn)算規(guī)則和順序的合理性，能夠結(jié)合具體的情境活動(dòng)對(duì)這種合理性作出說(shuō)明？我們認(rèn)為，應(yīng)讓學(xué)生在混合運(yùn)算兩步變?nèi)降淖兓^程中，“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”^［1］，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，進(jìn)一步感受和理解相關(guān)運(yùn)算的本質(zhì)。

一、循“理”：在情境中理解算理

我們需要在對(duì)教材內(nèi)容深入分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需求，將抽象、難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)，用形象、具體的情境展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生能積極地去發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)問題，自覺遷移已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的加工，并能在逐步解決問題的過程中經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，理解算理。

《不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算》一課中，理解“同步計(jì)算”是教學(xué)難點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)問題情境，使靜態(tài)的對(duì)象動(dòng)態(tài)化、抽象的概念形象化，帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合具體的數(shù)量關(guān)系理解算理，感受運(yùn)算的合理性。

師 同學(xué)們都喜歡下棋嗎？（出示圖1）從中我們能得到哪些信息？要求什么呢？

生 每副中國(guó)象棋12元，每副圍棋15元；全班一共要買5副棋，而且兩種棋都要買到。要求一共要付多少元。

師 如果你是班長(zhǎng)，你會(huì)怎樣買呢？

（根據(jù)學(xué)生回答，板書四種方案：①買1副中國(guó)象棋和4副圍棋；②買4副中國(guó)象棋和1副圍棋；③買2副中國(guó)象棋和3副圍棋；④買3副中國(guó)象棋和2副圍棋。）

師 如果按照方案①購(gòu)買，要付多少元錢呢？列出綜合算式。

生 12+15×4。

師 如果按照方案②購(gòu)買呢？同樣列出綜合算式。

生 12×4+15。

師 這兩個(gè)算式可以用三年級(jí)學(xué)過的兩步混合運(yùn)算的知識(shí)來(lái)解答。如果按照③、④這兩種方案購(gòu)買，綜合算式怎么列？

生 12×2+15×3和15×3+12×2。

生 12×3+15×2和15×2+12×3。

師 觀察列出的四個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)與之前學(xué)過的兩步混合運(yùn)算相比多了一步，成了三步混合運(yùn)算，那三步混合運(yùn)算該如何計(jì)算呢？先來(lái)算12×2+15×3。

（學(xué)生嘗試計(jì)算，典型解答方式如圖2所示。）

師 觀察2種解法，有什么不同？

生 第①種是按照從左往右的順序，先算2副中國(guó)象棋多少元，就是12乘2的積，再算3副圍棋多少元，就是15乘3的積，最后相加得出結(jié)果，要分三步；第②種是先同時(shí)計(jì)算2副中國(guó)象棋和3副圍棋多少元，即12乘2和15乘3，再把兩個(gè)積相加，只用兩步。

師 第①種方法中能不能先算3副圍棋多少元，即15乘3的積，再算2副中國(guó)象棋多少元，即12乘2的積呢？

生 可以的。

師 為什么可以？

生 15×3+12×2和12×2+15×3的計(jì)算結(jié)果是一樣的。這兩個(gè)綜合算式是解決同一個(gè)問題，因此先算12×2或先算15×3都可以。

師 可以理解為15×3和12×2的地位是相等的，所以它們可以同步計(jì)算，同意嗎？

生 同意。

師 再觀察四個(gè)不同的綜合算式解答過程，有什么相同點(diǎn)？

生 都是分別算出中國(guó)象棋的總價(jià)和圍棋的總價(jià)。

師 是??！這兩個(gè)總價(jià)沒有規(guī)定必須先算誰(shuí)，后算誰(shuí)，先算哪一個(gè)都可以，最后都是把這兩個(gè)總價(jià)相加算出一共要付多少元。既然這兩個(gè)總價(jià)之間都是相互獨(dú)立的，所以這兩個(gè)乘法就可以同步計(jì)算，然后相加就行了。

上述教學(xué)，把算式放到情境中，借助數(shù)量關(guān)系感受運(yùn)算順序，使得已有的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)和算式承載的意義相互印證，讓學(xué)生在交流和分析的過程中主動(dòng)把兩步混合運(yùn)算的運(yùn)算順序遷移到三步混合運(yùn)算中來(lái)，感受“在不含括號(hào)的算式里，有乘、除法，又有加、減法時(shí)，要先算乘、除法，再算加、減法”這一算理的合理性，以及先同時(shí)算出兩個(gè)乘積的必要性，完成運(yùn)算順序的意義建構(gòu)。

二、入“法”：在推理中構(gòu)建算法

核心素養(yǎng)視域下學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅是一個(gè)“算”的過程，更是一個(gè)“想”的過程。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理的過程既包含邏輯清晰地表述所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也包含條理分明地給出知識(shí)之間相互關(guān)系的合理解釋。由此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生在合情推理中構(gòu)建算法。

師 利用12、2、15、3這四個(gè)數(shù)，可以得到這樣的一個(gè)綜合算式：12-2×15÷3。這個(gè)算式中的乘法和除法還能同時(shí)計(jì)算嗎？

生 不可以。因?yàn)?，這里的乘法和除法之間是有聯(lián)系的，算式中的2×15÷3屬于同一級(jí)的兩步計(jì)算，得一步一步進(jìn)行。

師 觀察算式中的運(yùn)算符號(hào)，思考這樣的三步混合運(yùn)算又應(yīng)該怎樣算。

生 在沒有括號(hào)的算式里，如果有乘、除法，又有加、減法，就要先算乘、除，后算加、減；如果只有加、減法或只有乘、除法，就要從左往右按順序計(jì)算。所以，這一算式應(yīng)先算乘法，再算除法，最后算減法。

師 真棒！那12＋2×15-3這一算式的運(yùn)算順序是怎樣的呢？

生 先算乘，后算加、減，即先算出2×15的積；再按從左往右的順序計(jì)算，即12+30=42，42-3=39。

師 回到例題的三步綜合算式12×2+15×3，剛才我們通過具體的情境，理解了為什么可以先同時(shí)計(jì)算兩個(gè)乘法，再計(jì)算加法?，F(xiàn)在，你能不能利用已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算順序的知識(shí)，再來(lái)解釋一下呢？

生 在沒有括號(hào)的算式里，有乘法和加法，按照“先乘除后加減”的運(yùn)算順序，先算兩個(gè)乘法，再算加法。

師 根據(jù)乘法的意義，我們可以將算式還原成最初的狀態(tài)，寫成怎樣的連加算式？

生 12＋12＋15＋15＋15。

師 看，這兒是2個(gè)12和3個(gè)15相加，12×2和15×3屬于兩個(gè)獨(dú)立的沒有關(guān)聯(lián)的整體，所以這兩個(gè)乘法可以同時(shí)計(jì)算。

學(xué)生在三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)兩步混合運(yùn)算時(shí)，其實(shí)已經(jīng)初步體會(huì)和感受了掌握正確算法在計(jì)算中的重要性。在不含括號(hào)的兩步混合運(yùn)算中，有乘法和加、減法，“先算乘法”這個(gè)運(yùn)算規(guī)則和方法背后的算理，是乘法的意義為同數(shù)連加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，所以在含有乘法和加法的算式中，自然應(yīng)該先算乘法。那在不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算中，就需要學(xué)生以已有的運(yùn)算順序和相關(guān)算理為依據(jù)，通過進(jìn)一步的推理，在講道理的過程中厘清不同運(yùn)算的關(guān)系，掌握正確的運(yùn)算方法，去進(jìn)行更加復(fù)雜的混合運(yùn)算。整個(gè)推理活動(dòng)，有效地豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生在原有兩步混合運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上形成了新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，感悟不含括號(hào)的三步混合運(yùn)算與以前學(xué)習(xí)內(nèi)容的一致性——無(wú)論用什么方法計(jì)算，都遵循“先乘除后加減”的運(yùn)算順序。

三、相融：在應(yīng)用中統(tǒng)一“理”“法”

算理和算法的關(guān)系，正如哲學(xué)中理論與實(shí)踐的關(guān)系一樣。算理是計(jì)算過程中的道理，是指計(jì)算過程的思維方式，解決“為什么這樣算”的問題。算法是計(jì)算的方法，主要是指簡(jiǎn)化了復(fù)雜的思維過程，添加了人為規(guī)定的程序化的操作步驟，解決“如何算得方便、準(zhǔn)確”的問題。算理和算法統(tǒng)一，“理”“法”相融，才能真正理解運(yùn)算的意義。教師在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、能力水平、認(rèn)知規(guī)律等因素，從單一到綜合，抓住學(xué)生思維活動(dòng)的焦點(diǎn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的練習(xí)，讓學(xué)生在遷移應(yīng)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題的過程中體會(huì)運(yùn)算靈活性，實(shí)現(xiàn)“理”“法”相融。

師 我們先來(lái)回顧一下之前不同階段所學(xué)的關(guān)于混合運(yùn)算的知識(shí)。（課件出示回顧）今天我們又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了三步混合運(yùn)算，在沒有括號(hào)的算式里，有乘、除法和加、減法，需要先算什么？

生 先算乘、除法，再算加、減法。

師 沒錯(cuò)。今天，我們?cè)僖淮瓮晟屏嘶旌线\(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，也積累了更多的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。不斷的積累和完善，讓我們能夠擁有更多的知識(shí)儲(chǔ)備和相關(guān)能力去解決更復(fù)雜的實(shí)際問題。（出示教材練習(xí)題，見圖3）這里有兩道實(shí)際問題，請(qǐng)同學(xué)們理解題意后，列出綜合算式獨(dú)立解決。

（學(xué)生獨(dú)立完成后交流。）

生 第3題可以從問題出發(fā)去思考，要求兵兵家的人均居住面積比樂樂家大多少，就要知道兵兵家的人均居住面積和樂樂家的人均居住面積各是多少，然后相減。我的綜合算式是：72÷3-85÷5。

生 第4題可以從條件出發(fā)去思考，根據(jù)美術(shù)組有18人，書法組的人數(shù)是美術(shù)組的2倍，就可以算出書法組的人數(shù)，然后算出美術(shù)組和書法組的總?cè)藬?shù)；再根據(jù)合唱組比另外兩組的總?cè)藬?shù)多6人，就可以算出合唱組的人數(shù)。我的綜合算式是：18×2＋18＋6。

生 我在列第3題的綜合算式時(shí)，先寫了72÷3和85÷5，再在兩個(gè)除法中寫了“-”。這樣寫的好處是，既表達(dá)了對(duì)問題解決的理解，又說(shuō)明了運(yùn)算順序。

生 我在列第4題的綜合算式時(shí)，也用了這樣的方法，就是按照先算什么，再算什么的計(jì)算順序來(lái)寫出這個(gè)綜合算式。

生 我覺得用綜合算式計(jì)算比分步列式更簡(jiǎn)單、清晰。

當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問題緊密結(jié)合時(shí)，學(xué)生才能充分運(yùn)用多元思維有效解決實(shí)際問題，并且在解決問題的過程中逐漸融入自己的思維方式，遷移應(yīng)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，感受運(yùn)算順序的規(guī)定性和計(jì)算方法的靈活性，不斷發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)問題的敏感程度和理解程度。

數(shù)的運(yùn)算是一個(gè)推算的過程，其中算理是算法的理論依據(jù)，算法則是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的?！恫缓ㄌ?hào)的三步混合運(yùn)算》這節(jié)課，在兩步變?nèi)降淖兓^程中，關(guān)注直觀、強(qiáng)調(diào)推理、促進(jìn)融合，幫助學(xué)生感悟運(yùn)算的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：18.