傳送帶模型中的功能關(guān)系

李洪朋

一、設(shè)問的角度

（1）動(dòng)力學(xué)角度：首先要正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，做好受力分析，然后利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合牛頓第二定律求物體及傳送帶在相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的位移，找出物體和傳送帶之間的位移關(guān)系。

（2）能量角度：求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動(dòng)而產(chǎn)生的熱量、因放上物體而使電動(dòng)機(jī)多消耗的電能等，常依據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律求解。

二、功能關(guān)系分析

（1）功能關(guān)系分析：W=ΔEk+ΔEp+Q。

（2）對W和Q的理解：①傳送帶做的功：W=Fx傳。②產(chǎn)生的內(nèi)能：Q=Ffx相對。

水平傳送帶

【問題情境】（2021年8省市模考，遼寧，T10）（多選）如圖所示，甲、乙兩滑塊的質(zhì)量分別為1kg、2kg，放在靜止的水平傳送帶上，兩者相距5m，與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.2t=0時(shí)，甲、乙分別以6m/s、2m/s的初速度開始向右滑行。t=0.5s時(shí)，傳送帶啟動(dòng)（不計(jì)啟動(dòng)時(shí)間），立即以3 m/s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，傳送帶足夠長，重力加速度取10m/s2。下列說法正確的是（）。

A.t=0.5s時(shí)，兩滑塊相距2 m

B.t=1.5s時(shí)，兩滑塊速度相等

C.0～1.5s內(nèi)，乙相對傳送帶的位移大小為0.25m

D.0～2.5s內(nèi)，兩滑塊與傳送帶間摩擦生熱共為14.5J

【答案】BCD

【解析】兩滑塊變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a=μg=2 m/s2，0～0.5s內(nèi)，甲、乙均做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)x=v0t- at2，t=0.5s時(shí)，兩滑塊相距Δx=x0- + =3m，A項(xiàng)錯(cuò)誤。傳送帶啟動(dòng)時(shí)，甲滑塊的速度大小v1'=v1-at1'=5m/s，此時(shí)到與傳送帶速度相等所用時(shí)間Δt1= =1s，因此在t=1.5s時(shí)，甲滑塊速度與傳送帶速度相等，傳送帶啟動(dòng)時(shí)，乙滑塊的速度大小v2'=v2-at=1m/s，到與傳送帶速度相等所用時(shí)間Δt2= =1s，因此在t=1.5s時(shí)，乙滑塊速度與傳送帶相等，故t=1.5s時(shí)，兩滑塊速度相等，B項(xiàng)正確。0～0.5s內(nèi)，乙相對傳送帶的位移大小x1=v2t- at2=0.75m，0.5s～1.5s內(nèi)，乙相對傳送帶的位移大小x2=v0t- =1m，因此0～1.5s內(nèi)，乙相對傳送帶的位移大小為x2-x1=0.25m，C項(xiàng)正確。甲相對傳送帶的位移大小x甲=v1t- at2-v0t1'=6×1.5m- ×2×1.52m-3×1m=3.75m，甲滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q1=μm1g·x甲=7.5J，乙滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q2=μm2g（x1+x2）=7J，因此0～2.5s內(nèi)，兩滑塊與傳送帶間摩擦生熱Q=Q1+Q2=14.5J，D項(xiàng)正確。

【變式訓(xùn)練】（2021年8省市?？迹K，T15）如圖所示，水平傳送帶足夠長，向右前進(jìn)的速度v=4 m/s，與傾角為37°的斜面的底端P平滑連接，將一質(zhì)量m=2 kg的小物塊從A點(diǎn)靜止釋放。已知A、P的距離L=8 m，物塊與斜面、傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1=0.25、μ2=0.20，取重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求物塊：①第1次滑過P點(diǎn)時(shí)的速度大小v1。②第1次在傳送帶上往返運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t。③從釋放到最終停止運(yùn)動(dòng)，與斜面間摩擦產(chǎn)生的熱量Q。

【答案】（1）8m/s （2）9s （3）48 J

【解析】（1）由動(dòng)能定理得（mgsin 37°-μ1mgcos 37°）L= m -0

解得v1=8 m/s。

（2）由牛頓第二定律得μ2mg=ma物塊與傳送帶共速時(shí)，由速度公式得-v=v1-at1，解得t1=6s，勻物塊速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間t2= =3s則物塊第1次在傳送帶上往返運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=t1+t2=9s。

（3）由分析可知，物塊第一次離開傳送帶以后，每次再到達(dá)傳送帶和離開傳送帶的速度大小相等，則根據(jù)能量守恒定律有Q=μ1mgcos 37°·L+ mv2=48 J。

傾斜傳送帶

【問題情境】（改編）如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=30°，傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持v0=2 m/s的速率運(yùn)行，現(xiàn)把一質(zhì)量為m=10 kg的工件（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕輕地放在傳送帶的底端，經(jīng)過時(shí)間t=1.9 s，工件被傳送到h=1.5 m的高處，g取10 m/s2，求：

（1）工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

（2）電動(dòng)機(jī)由于傳送工件多消耗的電能。

【答案】（1）（2）230 J

【解析】（1）由題圖可知，傳送帶長x= =3m工件速度達(dá)到v0前，做勻加速運(yùn)動(dòng)的位移x1= t1

勻速運(yùn)動(dòng)的位移為x-x1=v0（t-t1），解得加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=0.8s加速運(yùn)動(dòng)的位移x1=0.8m，所以加速度a= =2.5m/s2，由牛頓第二定律有μmgcos，θ-mgsin，θ=ma，解得μ= 。

（2）由能量守恒定律知，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能用于增加工件的動(dòng)能、勢能以及克服傳送帶與工件之間發(fā)生相對位移時(shí)摩擦力做功產(chǎn)生的熱量在時(shí)間t1內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移x傳=v0t1=1.6 m，在時(shí)間t1內(nèi)，工件相對傳送帶的位移x相=x傳-x1=0.8 m，在時(shí)間t1內(nèi)，摩擦生熱Q=μmgcos，θ·x相=60J，最終工件獲得的動(dòng)能Ek= m =20J，工件增加的勢能Ep=mgh=150J電動(dòng)機(jī)多消耗的電能W=Q+Ek+Ep=230J。