水平荷載下單樁p-y曲線簡化計算方法對比研究

趙心濤 趙心福 劉欣

（文章編號：1004－5422（2023）02－0219－06

DOI：10.3969/j.issn.1004-5422.2023.02.018

收稿日期：2022-04-11

作者簡介：趙心濤（1983—），男，碩士，講師，從事建筑工程教學和科研工作.E-mail： xintaozhao3@163.com

摘要：對現(xiàn)有的p-y曲線簡化計算方法進行了歸納與總結.通過在水平靜力荷載作用下淤泥質黏土中鋼管樁的模型試驗研究，并結合實際工程案例分析，比較采用各類計算方法對實驗數(shù)據(jù)處理后的土抗力分布，以及擬合p-y曲線.結果表明，采用分段3次擬合法得到的土抗力分布曲線更為合理.各類計算方法擬合的p-y曲線均低于API建議曲線.隨著土層深度的增加，采用分段3次擬合法得到的p-y曲線更加貼近于實際理論曲線分布.

關鍵詞：p-y曲線;水平荷載;歸納總結;API建議曲線

中圖分類號：TU473.12

文獻標志碼：A

0引言

水平承載力作為樁基礎的重要承載特性，在一些特定環(huán)境下，如承受波浪、河流沖刷和潮汐等長期循環(huán)作用的支撐建筑物、橋梁、輸電線路和公路等結構當中常常以水平承載力來控制設計［1-2］.在過去的幾十年當中，p-y曲線方法已經(jīng)廣泛地運用于研究樁與周圍土之間的非線性相互作用，并被廣泛研究，積累了豐富的資料［3-4］.但隨著樁基礎類型的不斷更新，如大直徑鉆孔樁和打入樁等的出現(xiàn)，以及施工技術的快速進步，在利用p-y曲線方法來研究樁—土作用過程時，以往提出來的p-y曲線簡易計算方法標準需要嚴格地考慮其適用范圍及其準確性.因此，本研究對現(xiàn)有的p-y曲線簡化計算方法進行了歸納與總結.通過在水平靜力荷載作用下淤泥質黏土中鋼管樁的模型試驗研究，將加權殘差（WR）法和分段3次擬合法擬合的p-y曲線與API建議曲線進行對比.再以2個典型的工程案例為背景，分析各p-y曲線簡化計算方法的合理性與準確性.

1p-y曲線簡化計算方法

考慮p-y曲線簡化計算，需要得到沿樁身的土抗力值和沿樁身的水平位移值.首先要通過沿樁身布置的應變片的讀數(shù)得到樁身彎矩值，土抗力與水平位移公式為，

=ΔεR（1）

y=∫（∫dz） dz（2）

M=EI（3）

p=-d2Mdz2（4）

式中，Δε為樁身各不同位置處對稱布置的拉、壓應變片測得讀數(shù)的差值，R為樁截面半徑，y為沿樁身方向不同位置處的水平位移，EI為樁的剛度，M為沿樁身方向不同位置處的彎矩，p為沿樁身方向不同位置處的土抗力.

由公式（2）得到的沿樁身水平位移y是由曲率的二次積分得到.從數(shù)學理論上講，二重積分所造成的計算誤差基本可以忽略.由此可推斷出曲率二次積分得到的水平位移y值是可靠的.

Wilson［5］提出，采用5次擬合曲率點得到樁身曲率沿樁軸方向的變化曲線，公式為，

=a+bz+cz2+dz3+ez4+fz5（5）

式中，a、b、c、d、e和f為最小二乘法擬合得到的5次曲線方程的常數(shù)值.

最后通過二次積分曲率擬合方程可以得到沿樁身方向不同位置處的水平位移分布圖.其中，當樁總長度與上直徑的比值大于10時，就可以根據(jù)在樁端底處及土抗力為0位置處的水平位移為0確定積分常數(shù).

由公式（4）可知，沿樁身方向不同位置處的土抗力p值是由彎矩進行二次微分得到的.數(shù)據(jù)點的雙重微分造成的測量誤差將大大增加，從而導致土抗力p值與真實值偏差較大.

因此，本研究p-y曲線簡化計算方法對比研究主要考慮各方法擬合的土抗力p值與理論數(shù)據(jù)值的對比.首先對相關的計算研究方法加以歸納與總結.

1.1分段3次擬合方法

根據(jù)Matlock［6］和 Dunnavant［7］等的研究，分段3次擬合彎矩測點的方法是將每5個連續(xù)的彎矩測點讀數(shù)利用最小二乘法進行3次擬合，再進行二次微分得到土抗力p值，可以分為3個步驟.

1）首先，最靠近土表面的3個測點（包括荷載施加點）的土抗力p值需要三階多項式擬合起始的5個彎矩點（包括荷載施加點，定義彎矩值為 0），并進行二次微分得到；

2）其次，最靠近樁端底的3個測點的土抗力p值需要三階多項式擬合最后5個彎矩點，并進行二次微分得到；

3）最后，中間測點的土抗力p值只需采用最小二乘法將 5個連續(xù)的彎矩點擬合到三階多項式上，然后對三階多項式進行二次微分得到.

Mz=az3+bz2+cz+d（6）

pz=6az+2b（7）

式中，a、b、c和d均為擬合數(shù)據(jù)的常數(shù)值.采用該方法簡化計算至少需要測得沿樁身5個不同位置處的彎矩值.

1.2全段5次擬合法

Reese［8］和Wilson［5］等提出的全段5次擬合彎矩測點的方法是直接將測得的彎矩點利用最小二乘法5次擬合.為了更好地縮小土抗力p值的誤差，其中二次項上的指數(shù)采用2.5代替2.

M（z）=a+bz+cz2.5+dz3+ez4+fz5（8）

式中，a、b、c、d、e和f為最小二乘法擬合得到的5次曲線方程的常數(shù)值.該方法因其計算簡單，得到了廣泛運用.但該方法只有在彎矩變化趨勢明顯時使用，采用此方法可能會在樁端底部得到較大的土抗力值.

1.3WR法

Wilson［5］為了進一步縮小二次微分造成的誤差而提出了WR法.WR法并不是簡單的最小二乘法擬合曲線方程，而是一種數(shù)值微分方法，這樣的方法被廣泛運用到有限元計算當中.WR法的主要步驟是假設z在一定范圍內（如0≤z≤t），并且找到一個近似的函數(shù)uz去代表真實的函數(shù)vz.然而在通常情況下uz≠vz，因此，可以定義Rz=uz-vz，即Rz為近似函數(shù)和真實函數(shù)的差值.雖然在0≤z≤t范圍內，R（z）的值不能為零.但是可以假定函數(shù)φz，使得Rzφz在0≤z≤t范圍內為0，即，

∫t0Rzφzz=0（9）

式中，φz被定義為加權函數(shù)，而uz和vz為弱相等函數(shù).

利用WR法進行一次微分測點彎矩值可以得到樁身方向不同位置處的剪力分布.隨后，利用WR法再一次微分剪力分布就可以得到土抗力p值分布.Wilson［5］提出，樁軸可以等效為離散的有限單元.如果記fz為沿樁軸方向不同位置處彎矩的分布函數(shù)，并假設gz為彎矩分布函數(shù)fz的一次導數(shù)，那么結合公式（9）可得，

∫t0g（z）-f′zφzz=0（10）

式中，fz和gz都可以被記作“有限元類型”里的形狀函數(shù)的線性組合.對于樁軸上的每一個有限元節(jié)點，上述的加權函數(shù)φz可以被視為該形狀函數(shù)，如圖1所示.

由此fz和gz可以被記作“有限元類型”形狀函數(shù)的線性方程組，公式為，

gz=∑ni=0giφz（11）

fz=∑ni=0fiφz（12）

式中，i為節(jié)點單位，范圍為0～n；fi為實際測得的彎矩值；z為實際深度；此時的加權函數(shù)φz可以當作對于節(jié)點i的一個形狀函數(shù).

Wilson［5］將公式 （11）和公式 （12）代入公式 （10），并設計出算法系統(tǒng)用來求得gz的值.因此，可以得到樁身方向不同位置處的剪力分布.再循環(huán)1次以上的步驟就可以得到樁身方向不同位置處的土抗力p值的分布.

Yang等［9］提出一種改進的WR法，即改進加權殘差（SWR）法.在利用WR法進行微分之前先使用Sigmaplot軟件將實際測得的彎矩數(shù)據(jù)點平滑處理，擬合為二維負指數(shù)平滑函數(shù).并且還可以在測得的彎矩數(shù)據(jù)點中增加多個數(shù)據(jù)，來縮小彎矩測點之間的間距，從而得到更準確的曲線趨勢.

1.43次樣條曲線法

Mezazigh等［10］提出了采用3次樣條曲線來擬合彎矩數(shù)據(jù)點，并用二次微分來獲取土抗力值的方法.雖然3次樣條曲線插值法二次微分求土抗力是最簡單的方法，然而精確擬合每一個測點的樣條曲線會出現(xiàn)更大的誤差.因此，本研究暫時不比較該方法.

2鋼管樁水平承載特性試驗

2.1試驗方案

為得到試驗樁在水平靜力載荷作用下的p-y曲線分布，采用1 g的縮尺試驗模擬現(xiàn)場大直徑鋼管樁承載性能.

試驗所用的模型槽尺寸長7 m，寬3.5 m，高4 m.試驗土樣選用淤泥質黏土，黏土充分飽和后，試驗測得飽和黏土含水率為40.5%，孔隙比為1.11.

模型鋼管樁壁厚5 mm，鋼管外直徑10 cm，樁長度3 m.樁身應變片總共22個，沿著樁身方向采取對稱分布的方式布置，間距25 cm，并做好防水，如圖2所示.鋼管樁入土深度2.12 m，如圖3所示.

模型樁水平加載試驗采用分級加載的方式進行，水平荷載施加點在距離土層表面0.5 m處.每級荷載施加50 N，共進行了6次水平荷載試驗.

2.2試驗結果分析

不同荷載作用下沿樁身方向彎矩分布如圖4所示.分別利用WR法、全段5次擬合法和分段3次擬合法對測得的樁身彎矩值進行處理后求得土抗力p值.

不同擬合方法計算的土抗力p值隨土層深度變化的分布圖如圖5所示.比較圖5（A）和圖5（B），可以看出，2種方法擬合得到的土抗力分布基本相同.但采用全段5次擬合法得到的土抗力在樁端底部較大.這是由于全段5次擬合彎矩法二次求導產(chǎn)生土抗力誤差較大，而擬合數(shù)據(jù)點精度不夠造成的.對比圖5（A）和圖5（C），可以得到，土抗力變化規(guī)律基本一致，并且擬合得到的土抗力分布合理.

沿樁身水平位移y可由曲率5次擬合后二次積分得到，并且從數(shù)學理論上來講，二重積分所造成的計算誤差基本可以忽略.基于以上對土抗力分布曲線的對比，本研究將只采用WR法和分段3次擬合法建立p-y曲線并與API建議曲線進行對比.土表面以下1倍樁徑處，采用WR法和分段3次擬合法得到的p-y擬合曲線如圖6所示，均在API建議曲線下方，即極限土抗力pu值均小于API建議值.采用分段3次擬合法求得的極限土抗力值pu較小.利用WR法和分段3次擬合法來進行樁基結構設計不會過高估計樁基水平承載力，結構設計偏安全可靠.

與API曲線對比示意圖土表面以下6倍樁徑處，采用WR法和分段3次擬合法得到p-y擬合曲線如圖7所示，也在API建議曲線下方.且可以推斷出隨著土層深度的增加，采用分段3次擬合法擬合出來的曲線越來越貼近API建議曲線，并在6倍樁徑處基本吻合.3p-y曲線簡化計算方法工程實例驗證

3.1托萊多單樁水平荷載試驗

在托萊多進行的單樁水平荷載試驗［11］中，采用該試驗彎矩實測數(shù)據(jù)點對上述曲線簡化計算方法進行對比擬合.取試驗樁型號為 MaumeeS1（直徑為與API曲線對比示意圖2.44 m，長度為28.37 m）分析，詳細參數(shù)可參考原文文獻.

采用SWR、WR、全段5次擬合和分段3次擬合法得到的土抗力分布對比圖如圖8所示.從圖中可明顯地看到，在靠近土層表面附近，用WR與SWR法計算得到的土抗力p值為負數(shù).除此之外，使用SWR與SW法得到的土抗力p值隨土層深度變化的曲線還會出現(xiàn)幾個明顯不規(guī)則的波峰轉折點.圖8托菜多單樁水平荷載試驗土抗力分布示意圖3.2丹佛單樁水平荷載試驗

在丹佛進行的單樁水平荷載試驗［12］中，采用該試驗彎矩實測數(shù)據(jù)點對上述曲線簡化計算方法進行對比擬合.取試驗樁型號為 CDOTC1（直徑為0.76 m，長度為5.09 m）分析，詳細參數(shù)可參考原文文獻.

采用SWR、WR、全段5次擬合和分段3次擬合法得到的土抗力分布對比圖如圖9所示.由圖中可看出，使用SWR與SW法得到的土抗力p值隨土層深度變化的曲線波動異常，并出現(xiàn)明顯的轉折點.

從上述2例工程實例可以推斷出采用WR與SWR法推算出來的p值對于一些水平荷載樁分析采用是不合理的，計算得到的土抗力值在土體表面可能出現(xiàn)負值，且沿樁身分布波動較大.相反采取分段3次擬合法推算出來的土抗力p值分布較為合理.

4結論

本研究對現(xiàn)有的p-y曲線簡化計算方法進行了歸納與總結.通過在水平靜力荷載作用下淤泥質黏土中鋼管樁的模型試驗研究與2個工程實例分析，對幾種較為典型的p-y曲線簡化計算方法加以比較.主要得出以下結論：

1）采用全段5次擬合、WR與SWR法推算出來的土抗力p值在一些情況下誤差較大.WR與SWR法推算出來的土抗力p值可能在土表面出現(xiàn)負值，并且沿樁身波動幅度較大，出現(xiàn)明顯轉折點.相反，由分段3次擬合法推算出來的土抗力p值分布較為合理.

2）采用WR與分段3次擬合法推算得到的土抗力p值均小于API建議值.因此利用2種方法來進行樁基結構設計不會過高估計樁基水平承載力，結構設計偏安全可靠.

3）隨著土層深度的增加，利用分段3次擬合法推算出來的p-y擬合曲線更加貼近于實際理論曲線分布.

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（實習編輯：姚運秀）

Comparison of Simplified Calculation Methods of p-y Curve of Single Pile under Lateral Load

ZHAO Xintao1，ZHAO Xinfu2，LIU Xin1

（1.College of Agriculture and Forestry Science and Technology，Weifang Vocational College，Weifang 261041，China;

2.Infrastructure Department，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China）

Abstract：

This paper summarizes the existing p-y curve simplification calculation methods of single pile.Through the model test study of steel pipe pile in muddy clay under horizontal static load and the analysis of practical engineering cases，the distribution of soil resistance and fitting p-y curve after processing the experimental data by each kind of calculation method are compared.The results show that the soil resistance distribution curve obtained by piecewise cubic fitting method is more reasonable.The p-y curve fitted by each calculation method is lower than the curve recommended by API.With the increase in soil depth，the p-y curve obtained by piecewise cubic fitting method is closer to the actual theoretical curve distribution.

Key words：

p-y curve;lateral load;summary;API recommended curve