遵循數(shù)系擴(kuò)充原則激活學(xué)生學(xué)習(xí)智慧

陳紅贊

摘? 要：“指數(shù)”的教學(xué)難點(diǎn)主要在于師生對其本質(zhì)理解不到位，破解難點(diǎn)的關(guān)鍵是要理解并運(yùn)用好指數(shù)的推廣路徑和原則. 據(jù)此現(xiàn)實(shí)需求，從指數(shù)冪推廣的路徑、定義單位分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是邏輯基礎(chǔ)、在直觀感知的基礎(chǔ)上依據(jù)數(shù)系擴(kuò)充原則形成正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義、對于無理數(shù)指數(shù)冪關(guān)注的是其存在性四個方面對“指數(shù)”教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)進(jìn)行了分析，并分析了教師對“指數(shù)”教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知現(xiàn)狀. 在此基礎(chǔ)上概述了教學(xué)實(shí)施過程，特別是描述了這樣展開教學(xué)之后激活的學(xué)生智慧及其表現(xiàn).

關(guān)鍵詞：指數(shù)；分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；數(shù)系擴(kuò)充原則

“指數(shù)”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”的起始課，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點(diǎn)，教師在教學(xué)中習(xí)慣性的做法是在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)公式后便進(jìn)行大量練習(xí). 在多年的教學(xué)中，筆者一直沒有真正理解，甚至沒有思考過怎樣去理解它. 在最近的一次教研活動中，我們對教材、教師用書、課程標(biāo)準(zhǔn)及相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了反復(fù)研究，終于破解了這個難點(diǎn)，即理解數(shù)系擴(kuò)充的原則，并在教學(xué)中將其顯性化，幫助學(xué)生理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維.

一、對“指數(shù)”教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“教學(xué)提示”中強(qiáng)調(diào)：指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律.《標(biāo)準(zhǔn)》是將指數(shù)冪的拓展過程作為指數(shù)函數(shù)研究的一部分，把指數(shù)冪的運(yùn)算法則看成指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，因此指數(shù)冪的學(xué)習(xí)具有重要意義.

在初中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)系已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，但指數(shù)冪的定義只推廣到整數(shù)指數(shù)冪，“指數(shù)”一課的教學(xué)任務(wù)就是要把指數(shù)冪從整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.

1. 指數(shù)冪推廣的路徑

指數(shù)冪的推廣實(shí)質(zhì)上是將指數(shù)的范圍進(jìn)行逐步推廣，使其對任意實(shí)數(shù)都有意義，即將[ax]的指數(shù)[x]的范圍從整數(shù)逐步推廣到實(shí)數(shù). 推廣的原則與數(shù)系擴(kuò)充的原則基本一致，據(jù)此可以確定如圖1所示的推廣路徑.

[整數(shù)指數(shù)冪[分?jǐn)?shù)指數(shù)冪]有理數(shù)指數(shù)冪[無理數(shù)指數(shù)冪]實(shí)數(shù)指數(shù)冪][圖1]

在推廣過程中要使在擴(kuò)大范圍內(nèi)的指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)與原來的指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)保持一致，此即數(shù)系擴(kuò)充過程中運(yùn)算性質(zhì)的相容性.

2. 定義單位分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是邏輯基礎(chǔ)

人教版教材將上述途徑作為一條暗線，采取了以下的探究方法.

3. 在直觀感知的基礎(chǔ)上依據(jù)數(shù)系擴(kuò)充原則形成正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義

4. 關(guān)注無理數(shù)指數(shù)冪的存在性

對于無理數(shù)指數(shù)冪的意義，在高中階段只能直觀感知. 那么，當(dāng)[x]是無理數(shù)時，[ax]的意義是什么，它是否為一個確定的數(shù)？如果是，它有什么運(yùn)算性質(zhì)？對此，可以利用初中階段借助有理數(shù)認(rèn)識無理數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過有理數(shù)指數(shù)冪認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪，即用有理數(shù)指數(shù)冪夾逼無理數(shù)指數(shù)冪.

與有理數(shù)指數(shù)冪相比，無理數(shù)指數(shù)冪的研究重點(diǎn)是不同的，我們更關(guān)注無理數(shù)指數(shù)冪的存在性及其特有的性質(zhì).

二、“指數(shù)”教學(xué)中教師的認(rèn)知問題分析

“指數(shù)”教學(xué)中出現(xiàn)的問題，大多數(shù)是由教師的認(rèn)知不到位造成的. 只抓顯性知識，在教學(xué)中的具體表現(xiàn)是重知識結(jié)論和公式應(yīng)用，不關(guān)注數(shù)系擴(kuò)充的原則，缺乏對代數(shù)原則的認(rèn)知，不注重原則形成過程中的邏輯推理.

學(xué)生在初中階段經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推廣過程，學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，積累了一定的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，這為“指數(shù)”一課的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ). 但在實(shí)際教學(xué)過程中，教師把更多的注意力集中在具體運(yùn)算上，對數(shù)系擴(kuò)充的原則，指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì)等缺乏必要的關(guān)注，導(dǎo)致師生都不清楚從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪推廣的整體架構(gòu)及遵循的原則. 因此，教師對從哪里入手推廣、按怎樣的邏輯順序展開、每個環(huán)節(jié)如何實(shí)施才能做到邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)榷急容^茫然，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生的被動學(xué)習(xí).

“指數(shù)”的教學(xué)關(guān)鍵是“定原則”，著力點(diǎn)在于指數(shù)冪[ax]的指數(shù)[x]的范圍擴(kuò)充后的意義，內(nèi)容抽象且邏輯性強(qiáng). 基于這樣的現(xiàn)狀，此次教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生回顧正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推廣過程，揭示數(shù)系擴(kuò)充的原則，通過具體例子的講解，幫助學(xué)生理解數(shù)系擴(kuò)充的原則，使學(xué)生借助適當(dāng)?shù)念惐葘ο笳归_學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的深度思考.

三、數(shù)系擴(kuò)充原則指引，開啟智慧教學(xué)

1. 數(shù)系擴(kuò)充原則指引，確定研究套路和研究方法

對于“指數(shù)”一課的教學(xué)，一方面，要銜接第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的內(nèi)容，借助第三章學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建的研究函數(shù)的基本套路展開對本節(jié)課內(nèi)容的探究. 為此，教師先引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.

引言：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)，并初步應(yīng)用它研究了冪函數(shù). 大千世界中有很多現(xiàn)象和規(guī)律都可以用函數(shù)刻畫. 從本章開始，我們將利用上一章所學(xué)的知識、方法和經(jīng)驗(yàn)研究幾個具體的函數(shù).

另一方面，要發(fā)揮章引言的作用，引領(lǐng)學(xué)生了解本章內(nèi)容的整體架構(gòu)，為此設(shè)計問題1.

問題1：閱讀人教版教材第103頁的章頭圖和章引言，本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？涉及哪些函數(shù)？可以解決哪些現(xiàn)實(shí)問題？

通過閱讀，使學(xué)生了解本章學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這兩類基本初等函數(shù)，以及其基本性質(zhì)和應(yīng)用. 細(xì)胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減、測定遺址的年代等現(xiàn)實(shí)問題都可以利用這兩類函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來刻畫它們的變化規(guī)律.

接下來設(shè)計追問，確定本單元的研究套路.

追問：為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到實(shí)數(shù). 大家在初中階段已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪，類比數(shù)系的擴(kuò)充，你覺得指數(shù)冪的拓展路徑是什么？拓展的原則是什么？

通過師生交流，形成共識：拓展路徑是將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理數(shù)指數(shù)冪再拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)冪. 關(guān)鍵是解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪意義的建構(gòu).

拓展原則是使原來的運(yùn)算性質(zhì)在新的數(shù)系中仍然成立，即滿足運(yùn)算性質(zhì)的相容性.

學(xué)生容易得出指數(shù)冪的拓展路徑，但對拓展的原則比較模糊. 在實(shí)際教學(xué)過程中，只有一名學(xué)生提到“運(yùn)算法則應(yīng)該不變”. 對此，教師以初中階段學(xué)習(xí)的正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的推廣為切入點(diǎn)，為學(xué)生舉例講解指數(shù)冪拓展過程中運(yùn)算性質(zhì)的相容性的含義.

通過這個示例的講解，學(xué)生了解了運(yùn)算性質(zhì)的相容性的含義，明確了接下來要研究的內(nèi)容和依據(jù)，并在研究過程中不斷感悟這種相容性.

2. 一般觀念指導(dǎo)，形成概念和性質(zhì)

定義一個數(shù)學(xué)對象，要從情境出發(fā)，經(jīng)歷觀察、比較、分析、抽象的過程，得到其本質(zhì)屬性. 例如，n次方根的情境是低抽象度的數(shù)學(xué)（如二次方根、三次方根等），在此基礎(chǔ)上形成定義，并用根式[an]表示實(shí)數(shù)a的n次方根. 定義了一個數(shù)學(xué)對象，就要研究其組成元素間的關(guān)系，根據(jù)代數(shù)的性質(zhì)是運(yùn)算中的不變性，可以先引導(dǎo)學(xué)生利用定義計算[533]，[533]，[-544]等，觀察其化簡結(jié)果，再根據(jù)定義得出根式的性質(zhì)[ann=a，] 進(jìn)一步化簡[ann].

3. 數(shù)系擴(kuò)充原則指引，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義

對于根式的被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)，存在可以整除和不可以整除兩種情況. 為了討論問題方便，同時不失一般性，我們先將根式的被開方數(shù)限定在正數(shù)范圍內(nèi). 根據(jù)[n]次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，可以得到

這就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)（看成冪的形式）的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式. 那么，當(dāng)根指數(shù)不能整除被開方數(shù)的指數(shù)時，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢？教師以[b]為例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析.

可見，[b=b12]合理的前提是整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)[akn=akn]在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算中仍然成立，這體現(xiàn)了運(yùn)算性質(zhì)[的相容性]. 這種相容性為運(yùn)算帶來極大的方便，也說明了[n]次方根表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的合理性.

繼而讓學(xué)生通過類比，直接將[a23]，[c54]寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式. 這就突破了指數(shù)推廣過程中的難點(diǎn)，學(xué)生真正理解了數(shù)系擴(kuò)充的相容性原則. 之后，通過閱讀獲得正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、有理數(shù)指數(shù)冪的意義即可.

4. 探究無理數(shù)指數(shù)冪的重點(diǎn)是理解其存在性

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生類比認(rèn)識無理數(shù)[2]的過程，設(shè)計方案，并借助軟件解釋[52]的意義，從“不足近似值”和“過剩近似值”兩個方向，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程. 然后，在數(shù)軸上表示這些“不足近似值”和“過剩近似值”的對應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)逼近一個確定的點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)就是這個無理數(shù)指數(shù)冪，從而理解了無理數(shù)指數(shù)冪.

5. 一般觀念指引，激活學(xué)生的智慧

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課內(nèi)容的研究過程. 有學(xué)生提出了將指數(shù)從整數(shù)范圍拓展到分?jǐn)?shù)的思路，如圖3所示.

這個思路源于本節(jié)課的引言，在引言中延續(xù)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，規(guī)定了[S]=[S12]. 按照教師的預(yù)設(shè)，是要將它作為本節(jié)課的課后作業(yè)布置給學(xué)生思考，但學(xué)生自己能提出這個問題，真是意料之外的驚喜.

基于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，教師順勢提問：圖3中方框內(nèi)的規(guī)定合理嗎？是如何推導(dǎo)出來的？學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上經(jīng)過小組合作探究，利用根式的性質(zhì)及數(shù)系擴(kuò)充過程中運(yùn)算性質(zhì)的相容性，給出了如圖4所示的推導(dǎo)過程.

至此，作為執(zhí)教者，筆者深感欣慰. 由此可見，教師在厘清教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的基礎(chǔ)上展開教學(xué)，學(xué)生也會迸發(fā)出他們的智慧.

四、教學(xué)反思

指數(shù)定義的推廣是數(shù)系擴(kuò)充的一部分，在每次擴(kuò)充的過程中，都遵循著同一個原則，即在擴(kuò)充的數(shù)系中依然保有各個運(yùn)算律，因?yàn)檫@些運(yùn)算律是數(shù)系有用、好用的根基所在. 類似地，在指數(shù)冪的每一次拓展過程中，也都遵循著同一個原則：原有的指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)適用于拓展后的指數(shù)冪運(yùn)算，也就是說將指數(shù)的范圍從整數(shù)拓展到實(shí)數(shù)后，其運(yùn)算性質(zhì)保持不變.

通過這次教研活動，筆者深刻感受到：在進(jìn)行教學(xué)前，要深入研讀教師用書，深刻體會教材的編寫意圖和育人功能. 每讀一遍，都如同在與編者對話.《標(biāo)準(zhǔn)》、教材都是“理想課程”，必須通過課堂教學(xué)才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的行動. 課堂教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，而教學(xué)設(shè)計則是銜接課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和課堂教學(xué)的橋梁. 為此，教師在備課時要注重數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，設(shè)計高質(zhì)量的問題，調(diào)動學(xué)生的深度思考與探究，保證課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)品位，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，讓學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升水到渠成.

參考文獻(xiàn)：

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［3］薛紅霞.“一般觀念”指引實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量教學(xué)：“函數(shù)y = Asin[ωx+φ]的圖象”教學(xué)點(diǎn)評［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（4）：36-41.