“探究活動(dòng)：從圓到球”教學(xué)設(shè)計(jì)

張巧巧

摘? 要：“探究活動(dòng)：從圓到球”一課從現(xiàn)象、定義、性質(zhì)和關(guān)聯(lián)四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生類比圓的幾何性質(zhì)探究球的幾何性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“生活現(xiàn)象中的球—球面的形成方式—球與平面的關(guān)聯(lián)—球與幾何體的關(guān)聯(lián)”的探究過程，體會(huì)科學(xué)研究的一般路徑，幫助學(xué)生更加充分地認(rèn)識(shí)客觀世界中的球面與球體，更加深刻地理解球的定義與球的幾何性質(zhì)，更加靈活地發(fā)現(xiàn)球與平面、球與幾何體的關(guān)聯(lián)．

關(guān)鍵詞：從圓到球；類比與轉(zhuǎn)化；單元整體教學(xué)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)內(nèi)容解析

課例“探究活動(dòng)：從圓到球”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊(cè)第八章中球的幾何性質(zhì)的探究活動(dòng)的成果展示課，安排在學(xué)生完成教材必修第二冊(cè)“立體幾何初步”和教材選擇性必修第一冊(cè)“直線與圓的方程”的學(xué)習(xí)，并基本形成初步的章節(jié)知識(shí)框架之后進(jìn)行．

本次從圓到球的探究活動(dòng)采用先整體設(shè)計(jì)后分步實(shí)施的方式進(jìn)行. 借助具體情境引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實(shí)施到整體構(gòu)想，使學(xué)生以小組為單位借助具體主題經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題的過程，并通過參與探究活動(dòng)積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣.

圓是貫穿小學(xué)、初中和高中三個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)研究對(duì)象. 學(xué)生在小學(xué)階段初步直觀感知圖形圓，在初中階段進(jìn)一步應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)，在高中階段充分利用解析法對(duì)圓進(jìn)行代數(shù)刻畫. 知識(shí)橫跨三個(gè)學(xué)段，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象從具體到抽象、從定性分析到定量分析的逐層遞進(jìn)的認(rèn)知過程. 球也是非常重要的數(shù)學(xué)對(duì)象. 事實(shí)上，圓是球在二維平面上的投影，球是圓在三維空間中的拓展. 在高中階段，計(jì)算球的表面積和體積、研究球與平面相截的問題、確定幾何體的內(nèi)切球與外接球等都是非常重要的數(shù)學(xué)問題. 除此之外，球在學(xué)生將來要學(xué)習(xí)的微積分、空間解析幾何、微分幾何等課程中也占有一席之地．

此外，教材調(diào)整了立體幾何模塊與解析幾何模塊的編排順序，借助本次探究活動(dòng)的具體情境可以實(shí)現(xiàn)以立體幾何為主線的單元內(nèi)容整合. 喬治·波利亞曾經(jīng)說過，類比是一個(gè)偉大的引路人. 求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題. 而“立體幾何初步”的教學(xué)內(nèi)容多次采用了類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，如從線線關(guān)系到線面關(guān)系、從平行關(guān)系到垂直關(guān)系等. 因此，可以沿用本章教學(xué)的主要方法——類比與轉(zhuǎn)化，將知識(shí)難點(diǎn)遷移到平面幾何圖形——圓的類似問題中，抓住圓與球的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，由簡(jiǎn)入繁，化繁為簡(jiǎn). 在復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生重新整合不同的知識(shí)和問題，并進(jìn)行比較、歸納和總結(jié)，找出其內(nèi)在聯(lián)系，洞悉數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

基于以上認(rèn)識(shí)，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：球的截面問題，幾何體的外接球問題，類比與轉(zhuǎn)化思想．

2. 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過平面內(nèi)形成圓周的方式，運(yùn)用類比思想，探索空間中形成球面的方式，體會(huì)定義一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本思想.

（2）類比圓的相交弦問題中的特征三角形（由圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形），提煉出球的截面問題中的特征三角形（由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面距離構(gòu)成的直角三角形），提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

（3）借助GeoGebra軟件繪制球的截面立體圖，通過直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證等探究過程，領(lǐng)悟研究幾何問題的基本思路，提高運(yùn)用圖形語言、符號(hào)語言和文字語言表達(dá)與交流的能力.

（4）通過對(duì)幾類特殊三棱錐的外接球的分析和探究，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，并通過探究活動(dòng)的實(shí)踐與展示，體驗(yàn)敢于探究、樂于探索和勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．

3. 學(xué)生學(xué)情分析

本次探究活動(dòng)的參與對(duì)象為高三學(xué)生，具有扎實(shí)的基礎(chǔ)．經(jīng)歷了小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段對(duì)圓和球的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的從定性分析到定量分析的能力，但是還不能系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)球與平面、球與其他幾何體關(guān)聯(lián)后形成的綜合性較強(qiáng)的動(dòng)態(tài)切接問題，不能靈活地將空間問題與平面問題進(jìn)行類比與轉(zhuǎn)化．

將處理圓的基本方法和基本思想類比遷移到球的相關(guān)問題之中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)處理球的切接綜合問題的融會(huì)貫通. 通過這一過程，使學(xué)生在具體的情境中體會(huì)從低維到高維、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象和從已知到未知的探究數(shù)學(xué)問題的方法. 這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)起著十分重要的作用．

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：體會(huì)研究問題的一般路徑，形成探索精神．

4. 教學(xué)策略分析

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的“告訴”，而應(yīng)該是學(xué)生個(gè)性化的“體驗(yàn)”. 本次項(xiàng)目式探究活動(dòng)設(shè)置七個(gè)環(huán)節(jié)（項(xiàng)目選定、制訂計(jì)劃、活動(dòng)探究、作品制作、成果展示、活動(dòng)評(píng)價(jià)、拓展延伸），采用問題引導(dǎo)、合作探究和研究性學(xué)習(xí)的方式，倡導(dǎo)自主探索、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流. 充分利用觀察、思考、探究等，強(qiáng)調(diào)幾何直觀，把空間觀念的建立和空間想象能力的培養(yǎng)放在突出的位置. 此外，教學(xué)中注重發(fā)展合情推理，降低證明要求，滲透類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

“探究活動(dòng)：從圓到球”一課的教學(xué)基本流程為：課前探究，課中展示，課后延伸.

5. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）項(xiàng)目選定.

基于上述對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生學(xué)情和教學(xué)策略的分析，將此次活動(dòng)設(shè)定如下.

主題：從圓到球.

形式：項(xiàng)目式探究.

研究路徑：類比與歸納.

研究重點(diǎn)：以球?yàn)檩d體對(duì)立體幾何內(nèi)容進(jìn)行整合.

研究難點(diǎn)：體會(huì)研究問題的一般路徑，形成探索精神．

（2）制訂計(jì)劃.

本次探究活動(dòng)利用課外時(shí)間及兩節(jié)數(shù)學(xué)課完成，詳情如表1所示.

（3）活動(dòng)探究.

教師課前設(shè)置了詳細(xì)的探究活動(dòng)方案，從情境、研究對(duì)象、研究對(duì)象與其他對(duì)象的關(guān)聯(lián)三個(gè)維度設(shè)置了七個(gè)參考選題. 學(xué)生采用小組合作的方式，結(jié)合選題確立七個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組，即實(shí)例組、定義組、體積組、切面組、截面組、內(nèi)切球組和外接球組. 將各小組的研究成果集結(jié)成冊(cè)（《撐一支長(zhǎng)篙，向青草更青處漫溯》）.

（4）作品制作.

本次探究活動(dòng)的主要成果為：一本以球的幾何性質(zhì)為主要內(nèi)容的研究報(bào)告冊(cè)、一個(gè)圓的相交弦定理的推廣、一種求解三棱錐的外接球問題的解題策略.

（5）成果展示.

① 課堂展示環(huán)節(jié)，實(shí)例組、定義組、截面組和外接球組分別以“知圓與球之用”“辨圓與球之義”“明球與面之理”“悟球與體之法”為主題展現(xiàn)了科學(xué)研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對(duì)象，研究對(duì)象的性質(zhì)，研究對(duì)象與其他對(duì)象的聯(lián)系.

② 借助GeoGebra軟件，學(xué)生分組展示探究成果，問題驅(qū)動(dòng)全體學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)建構(gòu)、合作探究，同時(shí)保證學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)范性，實(shí)現(xiàn)高效課堂．

③ 學(xué)生從課前探究和課上展示中感知研究幾何問題的基本思路，體會(huì)數(shù)學(xué)中的類比與轉(zhuǎn)化思想，將空間問題平面化，螺旋上升地學(xué)習(xí)核心數(shù)學(xué)知識(shí)，重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．

（6）活動(dòng)評(píng)價(jià).

根據(jù)各小組展示的研究成果，現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置教師課堂觀察、教師口頭評(píng)價(jià)、開放式活動(dòng)反饋評(píng)價(jià)、課內(nèi)外作業(yè)等多種評(píng)價(jià)方式，并根據(jù)展示過程中暴露出的研究問題及時(shí)提問修正．

（7）拓展延伸.

① 將各小組的研究報(bào)告集結(jié)成冊(cè)，形成研究報(bào)告冊(cè)（《撐一支長(zhǎng)篙，向青草更青處漫溯》）．

② 幫助學(xué)生對(duì)接清華大學(xué)、浙江大學(xué)、東南大學(xué)、南京大學(xué)、華中科技大學(xué)、華中師范大學(xué)的教授，通過郵件交流的方式為學(xué)生答疑解惑．

③ 幫助學(xué)生聯(lián)系武漢大學(xué)教授，通過視頻采訪的方式解決困惑．

二、成果展示

七個(gè)研究小組的研究?jī)?nèi)容都非常豐富. 在成果展示環(huán)節(jié)，僅讓實(shí)例組、定義組、截面組和外接球組參與現(xiàn)場(chǎng)展示，目的是將四個(gè)小組的展示內(nèi)容作為一個(gè)整體，突出展現(xiàn)科學(xué)研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對(duì)象、研究對(duì)象的性質(zhì)及研究對(duì)象與其他對(duì)象的聯(lián)系. 以下為展示小組的活動(dòng)梗概.

主題1：知圓與球之用.

教師導(dǎo)入：教師與學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)，討論在哪些生活情境中會(huì)遇到圓形或球形的物體，并介紹實(shí)例組的主題、人員構(gòu)成、主講人和關(guān)鍵詞．

實(shí)例組研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)介：實(shí)例組細(xì)心觀察生活，從生活中的各個(gè)領(lǐng)域?qū)ふ覉A與球的身影，并列舉出具體實(shí)例．

教師簡(jiǎn)評(píng)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無處不用數(shù)學(xué).（華羅庚）

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在開放的現(xiàn)實(shí)情境中自主探索、親身體驗(yàn)、積極思考. 配合教師給出的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察生活，關(guān)注科技，關(guān)心時(shí)事，從而提升學(xué)生的民族自豪感和愛國情懷．

主題2：辨圓與球之義.

教師導(dǎo)入：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題“小學(xué)階段用實(shí)驗(yàn)的方法度量了圓的周長(zhǎng)，進(jìn)一步通過分割圓借助圓的周長(zhǎng)求出了圓的面積. 在高中階段我們用什么方法計(jì)算球的體積呢？”進(jìn)行思考，通過互動(dòng)對(duì)球的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行回顧，進(jìn)一步探究球的形成方式，并介紹定義組的主題、人員構(gòu)成、主講人和關(guān)鍵詞．

定義組研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)介：定義組通過四種幾何角度，仿照平面內(nèi)圓周的多種形成方式和圓周的方程，類比得到空間中球面的形成方式（如表2）和球面的方程.

推廣探索：為了激發(fā)學(xué)生的探究熱情，在定義組介紹了球面的四種形成方式之后，教師補(bǔ)充了球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程. 球心在[x0，y0，z0]，半徑是R的球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x-x02+y-y02+z-z02=R2]，參數(shù)方程為[x=x0+Rsinφcosθ，y=y0+Rsinφsinθ，z=z0+Rcosφ][0≤φ≤π，0≤θ≤2π]. 同時(shí)，教師借助GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示．

教師簡(jiǎn)評(píng)：當(dāng)數(shù)學(xué)家導(dǎo)出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風(fēng)景，聽到優(yōu)美的曲調(diào)等一樣而得到充分的快樂.（柯普寧）

【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)置研究問題，引導(dǎo)學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)中運(yùn)用類比的思想從圓周的形成方式類比球面的形成方式，初步形成利用平面問題解決空間問題的意識(shí). 在掌握概念的同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)化歸、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 在此環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)了球面標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的科學(xué)論證，原因有二：其一是由于球面方程的推導(dǎo)涉及三元方程的相關(guān)知識(shí)，雖然不屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，但學(xué)生理解其含義并沒有困難；其二是為學(xué)生埋下自主探究的種子，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究態(tài)度，樹立其自主學(xué)習(xí)的意識(shí)．

主題3：明球與面之理.

教師導(dǎo)入：教師引導(dǎo)學(xué)生思考球與平面的位置關(guān)系，通過現(xiàn)場(chǎng)交流、互動(dòng)，明確了研究球與平面的內(nèi)容和重點(diǎn)，并介紹截面組的主題、人員構(gòu)成、主講人和關(guān)鍵詞．

截面組研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)介：截面組的研究成果主要有兩個(gè). 其一，在圓與直線的相交問題中，抽象出一個(gè)特征三角形（以外接圓半徑[r]，弦心距[d]，半弦長(zhǎng)[l2]構(gòu)成的直角三角形）. 類比這個(gè)特征三角形，在球的截面問題中同樣抽象出一個(gè)由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面圓的距離構(gòu)成的特征三角形，并用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示了截面面積取最值的位置. 其二，類比圓的相交弦定理推廣得到球的相交弦定理，并對(duì)其進(jìn)行了證明. 除此之外，結(jié)合GeoGebra軟件進(jìn)行了數(shù)據(jù)檢驗(yàn)．

類比維度1：球的一個(gè)截面，如表3所示.

類比維度2：球的兩個(gè)截面.

類比圓的相交弦定理，截面組得到了球的相交弦定理：過球內(nèi)任意一點(diǎn)[P]，任意作[nn≥2，n∈N]條與球相交的直線，分別與球交于[An，Bn]兩點(diǎn)，則[PAi ? PBi=PAj ? PBj]，其中[i，j≥2，i，j∈N，i≠j].

下面以[n=3]為例，進(jìn)行定理的證明.

證明：如圖1，作直線[l]與球[O]交于[A]，[B]兩點(diǎn)，任取線段[AB]上一點(diǎn)[P]，過點(diǎn)[P]任意作兩條直線[m，n]，其中直線[m]與球交于[C]，[D]兩點(diǎn)（如圖2），直線[n]與球交于[E]，[F]兩點(diǎn)（如圖3）.

教師簡(jiǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)家通常是先通過直覺來發(fā)現(xiàn)一個(gè)定理，這個(gè)結(jié)果對(duì)于他首先是似然的，然后他再著手去制造一個(gè)證明．（哈代）

反饋評(píng)價(jià)：通過現(xiàn)場(chǎng)提問環(huán)節(jié)了解展示成效.

問題：過球O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)E作球的截面，且球O的半徑為3，OE = 2. 在所有截面中，截面面積的最小值是多少？

思考：該問題可以與圓中的一個(gè)怎樣的問題進(jìn)行類比？怎么解決？

【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)置現(xiàn)場(chǎng)提問環(huán)節(jié)，突出引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來研究球的截面面積的大小的方法．通過課前小組討論，截面組學(xué)生從質(zhì)疑、操作探究到解惑，最終領(lǐng)悟出截面面積的最大值與截面面積的最小值的位置，并將其用軟件進(jìn)行演示. 這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)造性思維. 學(xué)生將圓的相交弦定理類比推廣為球的相交弦定理，并應(yīng)用GeoGebra軟件驗(yàn)證猜想，提升了抽象概括能力. 整個(gè)學(xué)習(xí)過程，學(xué)生獨(dú)立完成，經(jīng)歷了從直觀感知、操作確認(rèn)到抽象概括的全過程，發(fā)展了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

主題4：悟球與體之法.

教師導(dǎo)入：教師引導(dǎo)學(xué)生思考球與幾何體的位置關(guān)系，通過現(xiàn)場(chǎng)交流、互動(dòng)明確球與幾何體的研究?jī)?nèi)容和研究重點(diǎn)，并介紹外接球組的主題、人員構(gòu)成、主講人和關(guān)鍵詞．

外接球組研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)介：外接球組以問題的形式串聯(lián)了整個(gè)研究思路，在展示環(huán)節(jié)提出了以下問題.

問題1：任意三角形都有外接圓嗎？唯一嗎？

問題2：任意三棱錐都有外接球嗎？唯一嗎？

問題3：如何找到三棱錐外接球的球心？如何計(jì)算外接球的半徑？

問題4：研究哪些三棱錐外接球的問題呢？

問題5：直角三棱錐（墻角模型）的外接球的確定方法是什么？

問題6：正三棱錐的外接球的確定方法是什么？

問題7：一般三棱錐的外接球的確定方法是什么？

針對(duì)問題1和問題2，他們分別采用尺規(guī)作圖和GeoGebra軟件畫圖演示的方式，先直觀說明問題，再進(jìn)行推理論證．

學(xué)生類比直角三角形、等腰三角形和一般三角形的外接圓的確定方法，得到直角三棱錐、正三棱錐和一般三棱錐的外接球的確定方法，從找球心、算半徑兩個(gè)層面進(jìn)行了方法概述，如表4所示.

學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)質(zhì)疑和證明.

質(zhì)疑1：用尺規(guī)作圖證明三棱錐的外接球具有唯一性時(shí)，確定球心的方法不夠簡(jiǎn)潔，是否可以調(diào)整成一條面垂線與一個(gè)中垂面的交點(diǎn)？（通過教師引導(dǎo)和學(xué)生討論回答.）

質(zhì)疑2：過三棱錐兩個(gè)側(cè)面的外心作的兩條垂線不能直接確定必然相交，是否需要證明？（全班討論并證明.）

教師簡(jiǎn)評(píng)：在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?nèi)绾沃朗裁?（畢達(dá)哥拉斯）

【設(shè)計(jì)意圖】外接球組嘗試運(yùn)用類比的方法，采用從一般到特殊的方式，展示直角三棱錐、正三棱錐、一般三棱錐外接球的確定方法的研究過程，定性分析球心位置、定量計(jì)算外接球的半徑，探究解決問題的策略與途徑，進(jìn)一步體會(huì)空間問題與平面問題的相互轉(zhuǎn)化．

三、小結(jié)與延伸

1. 課堂小結(jié)

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師提醒學(xué)生結(jié)合下列問題對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)：本節(jié)課我們從哪幾個(gè)方面研究了球的幾何性質(zhì)？在研究過程中用到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？以上四個(gè)研究小組作為一個(gè)整體，展示的邏輯主線是什么？對(duì)你有何啟示？

【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，使學(xué)生結(jié)合展示的具體內(nèi)容對(duì)本次探究活動(dòng)形成全局把握. 將四個(gè)小組的展示內(nèi)容作為一個(gè)整體，突出展現(xiàn)科學(xué)研究的一般規(guī)律，即觀察生活，抽象并定義研究對(duì)象、研究對(duì)象的性質(zhì)及研究對(duì)象與其他對(duì)象的聯(lián)系. 為學(xué)生在后續(xù)自主探究時(shí)確立研究思路奠定基礎(chǔ).

2. 學(xué)生小結(jié)

學(xué)生結(jié)合探究活動(dòng)的過程分享探究的心路歷程．

實(shí)例組：研究開始覺得內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，但是在全面調(diào)查之后發(fā)現(xiàn)生活中很多現(xiàn)象都與數(shù)學(xué)有關(guān)，而且有很多現(xiàn)象暫時(shí)無法解釋，需要不斷進(jìn)行知識(shí)的積累才能得到答案，感悟數(shù)學(xué)源于生活又指導(dǎo)生活.

定義組：感覺探究背后的數(shù)學(xué)思想值得深思，因?yàn)樵谘芯康倪^程中發(fā)現(xiàn)圓是球在二維平面上的投影，球是圓在三維空間中的拓展. 而學(xué)習(xí)中的很多知識(shí)都要用到這種類比與轉(zhuǎn)化的思想，層層推進(jìn)，化繁為簡(jiǎn).

3. 課后延伸

針對(duì)“球面不可展前提下地圖的繪制原理”，展示實(shí)例組通過視頻會(huì)議采訪武漢大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院教授得到的信息.

針對(duì)球體的性質(zhì)，展示定義組通過郵件交流的方式采訪清華大學(xué)、浙江大學(xué)、東南大學(xué)、南京大學(xué)、華中科技大學(xué)、華中師范大學(xué)的教授們得到的信息.

【設(shè)計(jì)意圖】通過兩個(gè)小組獲取信息和知識(shí)的途徑，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一個(gè)窗口，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的道路上保持探究的熱情，懷揣探究的勇氣和創(chuàng)新的精神，不斷拓寬認(rèn)知的邊界．

四、教學(xué)反思

設(shè)計(jì)本次探究活動(dòng)的初心是希望通過活動(dòng)讓學(xué)生直面問題，探索解決之道，在探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生從無到有、從零到一的能力，為學(xué)生成為有創(chuàng)新能力的拔尖人才提供必要的訓(xùn)練和儲(chǔ)備. 但是在活動(dòng)開展的過程中還是遇到了一些問題.

1. 探究活動(dòng)內(nèi)容豐富，難以面面俱到

本次探究活動(dòng)雖然是以“球的幾何性質(zhì)”為研究主體，但是整個(gè)研究涉及“定義概念—推導(dǎo)性質(zhì)—建立聯(lián)系—實(shí)踐應(yīng)用”四個(gè)層面，知識(shí)容量大，研究主線豐富，理論背景較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求較高. 因此，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以將一個(gè)主題研究透徹，而在展示環(huán)節(jié)也較難讓每一名學(xué)生都掌握所有內(nèi)容. 但是可以將小組的研究報(bào)告集結(jié)成冊(cè)，便于存在疑惑的學(xué)生進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)，或者學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)完善．

2. 活動(dòng)戰(zhàn)線長(zhǎng)，知識(shí)掌握效果有差異

球的截面、幾何體的內(nèi)切球、幾何體的外接球等問題是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn). 本次探究活動(dòng)的內(nèi)容還涉及高考不考查的數(shù)學(xué)知識(shí)（如球面的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程，以及球的體積公式的積分算法等），考慮到學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，能力和求知欲強(qiáng)，可以通過延伸和拓展讓學(xué)生進(jìn)一步了解高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)，為進(jìn)一步研究球等幾何體奠定基礎(chǔ)．

3. 過于重視探究結(jié)果，未翔實(shí)記錄各環(huán)節(jié)的得與失

在探究過程中，沒能引導(dǎo)學(xué)生更全面地記錄探究的歷程，對(duì)探究過程中各小組、各成員的表現(xiàn)關(guān)注不足. 應(yīng)該增加多維過程性評(píng)價(jià)，促進(jìn)所有學(xué)生主動(dòng)思考，及時(shí)保護(hù)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的想象力.

本次探究活動(dòng)最終以球的幾何性質(zhì)為落腳點(diǎn). 與傳統(tǒng)課堂中通過大量習(xí)題訓(xùn)練獲得幾何體的外接球不同，本次探究活動(dòng)幾乎沒有設(shè)置訓(xùn)練習(xí)題，希望學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究跳出解題的限制，提升用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 同時(shí)，通過探究活動(dòng)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

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