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    圖上非線性波動(dòng)方程解的爆破

    2023-07-05 23:31:21劉璐璐韓柳呂家鑫王浩東張雪麗
    科技風(fēng) 2023年18期
    關(guān)鍵詞:爆破非線性

    劉璐璐 韓柳 呂家鑫 王浩東 張雪麗

    摘?要:圖作為一種離散結(jié)構(gòu),可以通過一些有意義的連接來表示離散對(duì)象的相互關(guān)系,因此,在實(shí)際應(yīng)用中可以將理論模型離散化,是數(shù)學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域運(yùn)用數(shù)值模擬解決實(shí)際問題的重要工具。圖上的偏微分方程可應(yīng)用于圖像分割、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域,是人們所關(guān)注的熱點(diǎn)話題。而圖上偏微分方程解的存在性、唯一性和漸近行為等一些性質(zhì)已經(jīng)受到眾多學(xué)者的關(guān)注,并得到了大量的研究成果。本文在相關(guān)學(xué)者研究的基礎(chǔ)上用能量方法證明了圖上非線性波動(dòng)方程解的爆破現(xiàn)象,并得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

    關(guān)鍵詞:圖上;非線性;波動(dòng)方程;爆破

    中圖分類號(hào):O175??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    Abstract:As?a?discrete?structure,the?graph?can?represent?the?interrelationship?of?discrete?objects?through?some?meaningful?connections,so?the?theoretical?model?can?be?discretized?in?practical?applications,and?it?is?an?important?tool?for?using?numerical?simulation?to?solve?practical?problems?in?mathematics,biology,sociology?and?other?fields.The?partial?differential?equations?on?the?graph?can?be?applied?to?image?segmentation,dynamical?systems?and?other?fields,and?are?a?hot?topic?of?concern.Some?properties?such?as?the?existence,uniqueness?and?asymptotic?behavior?of?partial?differential?equation?solutions?on?graphs?have?attracted?the?attention?of?many?scholars?and?obtained?a?large?number?of?research?results.In?this?paper,based?on?the?research?of?relevant?scholars,the?explosion?phenomenon?of?the?solution?of?the?nonlinear?wave?equation?on?the?graph?is?proved?by?energy?method,and?the?upper?bound?estimate?of?the?burst?time?of?the?solution?is?obtained.

    Keywords:On?the?graph;Nonlinear;Wave?equation;Blowup

    1?概述

    偏微分方程最早在18世紀(jì)研究微積分對(duì)弦振動(dòng)的相關(guān)力學(xué)問題當(dāng)中提出,經(jīng)過多年的研究,偏微分方程在理論和研究方面都取得了豐碩的成果。在最初的發(fā)展過程中,偏微分方程在經(jīng)典意義下的解需具備該方程的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),這在物理應(yīng)用中有許多局限,所以Schwartz建立了廣義函數(shù)論上的偏微分方程理論,在此基礎(chǔ)上推動(dòng)偏微分方程的快速發(fā)展。在20世紀(jì)60年代,偏微分方程理論在其他數(shù)學(xué)分支中得到了推廣和使用,并形成了以偏微分方程理論為基礎(chǔ)的泛函分析等近代理論。圖是作為了解離散型對(duì)象的重要工具,它在數(shù)學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域具有重要的作用;著名的哥尼斯堡七橋問題、四色定理問題當(dāng)中都包含了圖論的相關(guān)內(nèi)容。在現(xiàn)實(shí)生活中,各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都以圖為橋梁,將理論問題離散化,進(jìn)而進(jìn)行數(shù)值模擬解決實(shí)際問題,因此,圖上的偏微分方程問題的研究也稱為一個(gè)熱點(diǎn)話題。

    圖上的偏微分方程可應(yīng)用于圖像分割、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域,是人們所關(guān)注的熱點(diǎn)話題,圖上的偏微分方程解的存在性、唯一性等一些性質(zhì)也逐漸引起眾多學(xué)者的重視。2005年,Chung?S?Y、Berenstein?C?A[1]在圖上函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了積分、方向?qū)?shù)、梯度等基本概念,并定義離散型拉普拉斯算子,從而討論了ω-Laplacian方程解的性質(zhì)及其反問題。2007年,Chung?S?Y、Chung?Y?S[2]又研究了圖上的熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程,并利用ω-擴(kuò)散核得出方程初邊值問題解的性質(zhì)。2008年,Elmoataz?A、Lezoray?O和Bougleux?S[3]從圖上的能量泛函的極小化出發(fā),引入了圖上的ω-Laplacian算子并將其應(yīng)用于圖像去噪問題。Wojciechowski?R?K[4]研究了無限局部有限連通圖上熱核的隨機(jī)完備性。Chung?Y?S、Lee?Y?S、Chung?S?Y[5]證明了圖上半線性熱方程解在初值為非負(fù)且邊界值消失的情況下方程非平凡解的大時(shí)間行為,并給出方程的物理解釋。王坤、辛巧[6]研究了圖上的p-Laplacian算子Cauchy問題解的性質(zhì),給出了一個(gè)圖上的p-Laplacian方程的解析解論證了理論上的結(jié)果;并對(duì)另一個(gè)圖上的p-Laplacian方程進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證理論結(jié)果。王坤、辛巧在文獻(xiàn)[7]中討論了圖上帶有可變指數(shù)吸收項(xiàng)的熱方程解的性質(zhì),并得到了變指數(shù)q(x)<1時(shí),方程解在有限時(shí)間熄滅,變指數(shù)q(x0)1時(shí)方程解有嚴(yán)格正性,其中x0是圖上的內(nèi)部頂點(diǎn)。辛巧、許璐、王安平[8]研究了無限圖上帶有吸收項(xiàng)的熱方程解的性質(zhì),利用能量方法和比較原理證明了帶吸收項(xiàng)的熱方程在q<1解熄滅,q1時(shí)保持嚴(yán)格正性;同時(shí)還討論了非平凡解的大時(shí)間行為。Xin?Q、Xu?L、Mu?C在文獻(xiàn)[9]中又討論了具有Dirichlet邊界條件和反應(yīng)項(xiàng)的圖上ω?zé)岱匠痰谋片F(xiàn)象。國(guó)內(nèi)外其他學(xué)者也對(duì)圖上偏微分方程解的漸近行為有多方面的研究,具體可參考文獻(xiàn)[1013]。

    綜上所述,圖上的偏微分方程受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注,并得出理論成果,而偏微分方程中非線性波動(dòng)方程解的爆破行為以及爆破時(shí)間也是人們所感興趣的話題,Glassey?R?T在文獻(xiàn)[14]中討論了非線性函數(shù)f(u)在足夠光滑的條件下波動(dòng)方程解的爆破現(xiàn)象,并建立一個(gè)特征函數(shù)得出爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

    本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上討論圖上的非線性波動(dòng)方程解的爆破行為,

    utt(x,t)-Δωu(x,t)=f(u)(x,t)∈S×[0,T)

    u(x,t)=0(x,t)∈S×[0,T)

    u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x)x∈S(1)

    并得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

    本文將引用文獻(xiàn)[1]中圖上微積分的符號(hào),設(shè)G是有限、簡(jiǎn)單的連通圖,V表示圖G的頂點(diǎn)集,它是由頂點(diǎn)集的內(nèi)部S與頂點(diǎn)集的邊界S組成,即V=S∪S,E表示圖G的邊集。將圖上的積分定義為∫Vu(x)=∑x∈Vu(x),其中u(x)∈C(V),C(V)表示定義圖G的頂點(diǎn)集V上的全體函數(shù);用Δω表示ω-Laplacian算子,Δωu(x,t)=∑y∈Vω(x,y)(u(y,t)-u(x,t)),其中ω表示圖G邊上的權(quán)重函數(shù),即V×V→0,SymboleB@

    ,并滿足下面三個(gè)條件:

    (1)對(duì)任意的x∈V,ω(x,x)=0;

    (2)對(duì)任意的x,y∈V,若(x,y)∈E,則ω(x,y)=ω(y,x)>0;

    (3)若(x,y)E,則ω(x,y)=0。

    注:文獻(xiàn)[14]作者研究了連續(xù)型波動(dòng)方程解的爆破性質(zhì),本文將文獻(xiàn)[14]的結(jié)果推廣到圖上的波動(dòng)方程,并得出方程解的爆破性質(zhì)以及爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

    2?波動(dòng)方程解的爆破

    為了方便討論解的爆破現(xiàn)象,我們先引出下面三個(gè)引理。

    引理1[15]設(shè)ψ(x)是一個(gè)特征函數(shù),且ψ(x)=Δωψ(x)+μψ(x)=0,x∈S

    ψ(x)=0,x∈S,函數(shù)具有N個(gè)非負(fù)的實(shí)特征根γi,其中每個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)表示為ψi(x)0,x∈S。

    引理2[14]令u∈C2,λ,α,β為非負(fù)常數(shù),則

    (1)對(duì)任意的x∈S,u(x,0)α,ut(x,0)β,其中α=∫Sψ(x)u(x,0)dx,β=∫Sψ(x)ut(x,0)dx;

    (2)設(shè)f(s)的下界是一個(gè)局部的Lipschitz函數(shù),凸函數(shù)g(s)滿足g(s)-λs0,且sα;當(dāng)s→+SymboleB@

    時(shí),g(s)快速增長(zhǎng)使得T0=∫SymboleB@

    α[λα2+β2-λs2+2∫sαg(ξ)dξ]-12ds收斂。

    引理3?設(shè)φ(t)∈C2,滿足φ″(t)h(φ(t)),(t0),且φ(0)=α>0,φ′(0)=β>0,對(duì)任意的sα有h(s)0,當(dāng)t∈0,T),則

    (1)φ(t)存在,并且φ′(t)>0;

    (2)tSymbolcB@

    ∫φ(t)αβ2+2∫sαh(ξ)dξ-12ds。

    T為φ(t)的存在時(shí)間。

    證明:假設(shè)(1)不成立,令t=t1為且φ′(t1)=0,通過微分不等式可得:

    φ′(t)φ′(0)+∫t0h(φ(s))ds

    使得0=φ′(t1)β+∫t10h(φ(s))ds。

    從定義中的t1可得φ(s)α,其中0SymbolcB@

    sSymbolcB@

    t1。?這與引理3條件矛盾,故(1)得證。

    為了能夠證明(2),利用(1)的結(jié)果并將不等式兩邊同乘以φ′(t)可得:

    φ′(t)φ″(t)φ′(t)h(φ),

    將上式變形可得ddt12φ′(t))2-∫φ(t)αh(ξ)dξ0。

    因此,(φ′(t))2β2+2∫φ(t)αh(ξ)dξ。

    又因?yàn)棣铡洌╰)>0,通過變量分離和積分可得(2)。

    定理1?設(shè)u∈C2,當(dāng)(1)的初值條件足夠大時(shí),方程在有限時(shí)間內(nèi)爆破,即sup0

    =+SymboleB@

    。

    證明:將ψ(x)標(biāo)準(zhǔn)化,使得∫ψ(x)dx=1,令φ(t)=∫Sψ(x)u(x,t)dx,由格林公式可得:

    φ″(t)=∫Sψu(yù)tt(x,t)dx=∫SψΔωudx+∫Sψf(u)dx。(2)

    首先,先計(jì)算上述右式第二項(xiàng)∫Sψf(u)dx,由Jensen不等式可得:

    ∫Sψf(u)dx∫Sψg(u)dxg(∫Sψu(yù)dx)=g(φ)(3)

    再對(duì)(2)右邊第一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算,可得:

    ∑x∈SΔωu(x,t)ψ(x)=∑x∈S∑y∈Vω(x,y)(u(y,t)-

    u(x,t))ψ(x)

    =∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(y,t)-u(x,t))ψ(x)

    +∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(y,t)-u(x,t))ψ(x)

    =∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(y,t)-u(x,t))ψ(x)

    -∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)ψ(x)

    =12∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(x,t)-u(y,t))ψ(y)+

    12∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(y,t)-u(x,t))ψ(x)-

    ∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)ψ(x)

    =-12∑x∈S∑y∈Sω(x,y)(u(y,t)-u(x,t))(ψ(y)-

    ψ(x))-∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)ψ(x)

    =∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)(ψ(y)-ψ(x))-

    ∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)ψ(x)

    =∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)(ψ(y)-ψ(x))+

    ∑x∈S∑y∈Sω(x,y)u(x,t)(ψ(y)-ψ(x))

    =∑x∈S∑y∈Vω(x,y)u(x,t)(ψ(y)-ψ(x))

    =∑x∈SΔωψ(x)u(x,t)

    =-∑x∈Sμψ(x)u(x,t)

    =-μφ(t)(4)

    聯(lián)立(2)、(3)、(4)式可得

    φ″-μφ+g(φ)

    接下來,令h(φ)=-μφ+g(φ),利用引理3的(2)中可得

    tSymbolcB@

    ∫φ(t)α[β2+2∫sαh(ξ)dξ]-12ds=∫φ(t)α[μα2-μs2+β2+2∫sαg(ξ)dξ]-12ds

    φ(0)=α,α>0?φ′(0)=β,β>0從而φ(t)是有限時(shí)間t0SymbolcB@

    T0的奇點(diǎn),且

    T0=∫SymboleB@

    α[μα2+β2-μs2+2∫sαg(ξ)dξ]-12ds,

    方程在有限時(shí)間內(nèi)TSymbolcB@

    T0爆破。

    最后,由φ(t)>0可知

    φ(t)=φ(t)

    =∫Sψ(x)u(x,t)dxSymbolcB@

    supx∈Vu(x,t)∫Sψ(x)dx

    =supx∈Vu(x,t)

    所以,方程在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破現(xiàn)象。

    本文主要討論了圖上波動(dòng)方程解的爆破行為,并給得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。通過本文的問題還可進(jìn)一步討論波動(dòng)方程解的爆破時(shí)間的下界估計(jì),以及解的具體表達(dá)式研究。

    參考文獻(xiàn):

    [1]Chung?S?Y,Berenstein?C?A.ω-h(huán)armonic?functions?and?inverse?conductivity?problems?on?networks[J].SIAM?J?Appl?Math,2005,65(4):12001226.

    [2]Chung?S?Y,Chung?Y?S,Kim?J?H.Diffusion?and?elastic?equations?on?networks[J].Publ?Res?Inst?Math?Sci,2007(3):699725.

    [3]Elmoataz?A,Lezoray?O,Bougleux?S.Nonlocal?discrete?regularization?on?weighted?graphs:a?framework?for?image?and?manifold?processing[J].IEEE?Tans?Image?Process,2008,17(7):10471060.

    [4]Wojciechowski?R?K.Heat?kernel?and?essential?spectrum?of?infinite?graphs[J].Indiana?U?Math?J,2008(58):14191442.

    [5]Chung?Y?S,Lee?Y?S,Chung?S?Y.Extinction?and?positivity?of?the?solutions?of?the?heat?equations?with?absorption?on?networks[J].Journal?of?Mathematical?Analysis?&?Applications,2011,380(2):642652.

    [6]王坤,辛巧.圖上的Laplacian方程解的性質(zhì)及其數(shù)值仿真[J].長(zhǎng)春師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,35(6):913.

    [7]辛巧,王坤.圖上帶有變指數(shù)吸收項(xiàng)的熱方程解的熄滅和正性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2017,47(18):201205.

    [8]辛巧,許璐,王安平.無限圖上帶吸收項(xiàng)的熱方程解的熄滅和正性[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,35(06):727730.

    [9]Xin?Q,Xu?L,Mu?C.Blowup?for?theheat?equation?with?Dirichlet?boundary?conditions?and?a?reaction?term?on?graphs[J].Applicable?Analysis,2014,93(8):16911701.

    [10]Zakrzewski,Wojtek?J.Laplacians?on?lattices[J].Journal?of?Nonlinear?Mathematical?Physics,2005,12(4):530538.

    [11]Elmoataz?A,Lezoray?O,Bougleux?S.Nonlocal?discrete?regularization?on?weighted?graphs:a?framework?for?image?and?manifoldprocessing[J].IEEE?Tans?Image?Process,2008,17(7):10471060.

    [12]Chung?S?Y.Critical?blowup?and?global?existence?for?discrete?nonlinear?pLaplacian?parabolic?equations[J].Disc?Dyna?NatSoc,2014:110.

    [13]Zhou?W?C,Chen?M?M,Liu?W?J.Critical?exponent?and?blowup?rate?for?the?ωdiffusion?equations?on?graphs?with?dirichletboundary?conditions[J].Elec?J?Diff?Equa,2014:113.

    [14]Glassey?R?T.Blowup?theorems?for?nonlinear?wave?equations[J].Mathematische?Zeitschrift,1973,132(3):183203.

    [15]Chung?F?R?K.Spectral?graph?theory[M].Providence:American?Mathematical?Society,1997.

    基金項(xiàng)目:新疆理工學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目“一類具有間接信號(hào)吸收的生物趨化模型解的性質(zhì)研究”(ZQ202203)

    作者簡(jiǎn)介:劉璐璐(1996—?),女,碩士研究生,助教,從事偏微分方程的研究;韓柳(1994—?),女,碩士研究生,講師,從事統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究;王浩東(1994—?),男,碩士研究生,助教,從事統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究;張雪麗(1993—?),女,碩士研究生,教員,從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究。

    *通訊作者:呂家鑫(1995—?),女,碩士研究生,助教,從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。

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