數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視閾下的初中幾何“一題多解”教學(xué)探究

金木紅

近年來，“核心素養(yǎng)”一詞在數(shù)學(xué)教育研究中“獨(dú)占鰲頭”，成為研究熱點(diǎn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，能用數(shù)學(xué)的思維思考世界，能用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。對(duì)一線教師而言，就是要將日常的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提取出來，以總結(jié)歸納出有效的核心素養(yǎng)的落地途徑。

教學(xué)的根本目的是“授之以漁”，不僅要教給學(xué)生必要的基礎(chǔ)知識(shí)，更要教給學(xué)生基本的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力。初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在教育學(xué)生掌握和理解基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)散性思維多角度思考問題的能力?！耙活}多解”訓(xùn)練就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，運(yùn)用不同的思路和方法以及不同的運(yùn)算過程，去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題的練習(xí)活動(dòng)。一題多解是諸多解題策略的綜合運(yùn)用。這一教學(xué)過程中，學(xué)生的思維積極性得到充分調(diào)動(dòng)，有利于開闊學(xué)生分析問題的視野和思路，有效鍛煉思維的靈活性，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的遷移能力，不斷促成學(xué)生初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。在教學(xué)過程中，應(yīng)積極適宜地開展“一題多解”的訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用“一題多解”力求找到最合理、最簡(jiǎn)便的解法，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)有機(jī)融入。下面筆者以幾個(gè)典型題目為例，通過開展“一題多解”教學(xué)，探究如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例1：如圖，已知∠A=∠F，∠DBA+∠DEC=180°.

請(qǐng)問，BD∥CE嗎？為什么？

解法一：因?yàn)椤螦=∠F

所以DF∥AC

所以∠D=∠DBA

又因?yàn)椤螪BA+∠DEC=180°

所以∠D+∠DEC=180°

所以BD∥CE.

解法二：因?yàn)椤螦=∠F

所以DF∥AC

所以∠DEC+∠ECA=180°.

又因?yàn)椤螪BA+∠DEC=180°.

所以∠ECA=∠DBA.

所以BD∥CE.

分析：本題是湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（義務(wù)教育教科書）平行線判定第2課時(shí)例題的一個(gè)變形題目，目的在于鞏固新知，檢測(cè)學(xué)生對(duì)平行線判定掌握的情況。并且本題可以應(yīng)用一題多解，鼓勵(lì)學(xué)生開動(dòng)腦筋，積極思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本題難度不大，但由于七年級(jí)學(xué)生剛開始接觸幾何知識(shí)，所以能用兩種方法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙懗鼋獯疬^程還是有一定的挑戰(zhàn)的。課堂上，教師要留給學(xué)生充分的時(shí)間思考，并且鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試用不同的解法來解同一道題目，要想數(shù)學(xué)思維得到提升，必須長(zhǎng)期堅(jiān)持“一題多解，一題多練”。

本題考查平行線判定，目前學(xué)習(xí)了三種方法來判定兩直線平行。解法一是利用構(gòu)造同旁內(nèi)角互補(bǔ)，判定兩直線平行。解法二是利用構(gòu)造同位角相等，判定兩直線平行。

例2：如圖，已知∠B=∠C，AB∥CD.

解法一

試判定BE與CF的位置關(guān)系，并說明理由.

解法一：BE∥CF，理由如下：

過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥CD，

所以∠B=∠BEM，∠C=∠CFN

又因?yàn)椤螧=∠C

所以∠BEM=∠CFN

又因?yàn)锳B∥EM，AB∥CD，F(xiàn)N∥CD，

所以EM∥NF

所以∠MEF=∠EFN

則∠BEM+∠MEF=∠CFN+∠EFN

即∠BEF=∠CFE

因此BE∥CF.

分析：本題仍然是考查平行線判定，但是較例1而言，難度上升了許多。題目要求證明BE∥CF，但是BE與CF之間并沒有同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，所以本題需要添加輔助線，這是本題需要最先突破的一個(gè)點(diǎn)。學(xué)生認(rèn)真觀察圖形后能意識(shí)到這一點(diǎn)，但是怎樣構(gòu)造輔助線成了解決此題的“攔路虎”。善于思考的學(xué)生會(huì)類比例1來構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角或者同旁內(nèi)角。解法一是大多數(shù)學(xué)生容易想到的，過拐點(diǎn)作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到兩直線平行。但是此方法要用到多次平行，書寫過程也比較麻煩，初學(xué)者邏輯語言不夠熟練，也容易出錯(cuò)?？荚嚂r(shí)建議用簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、快捷的方法來提高解題效率。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋求更簡(jiǎn)便的方法來解答，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，充分發(fā)揮學(xué)生的邏輯思維能力和分析能力，從而取得突破。本題對(duì)于剛剛開始接觸幾何學(xué)習(xí)的七年級(jí)學(xué)生來說確實(shí)有一定的難度，但是只要老師耐心引導(dǎo)，分解難度，給學(xué)生充分的思考空間，相信一定會(huì)有學(xué)生找出更優(yōu)的解題方法。

解法二：BE∥CF，理由如下：

延長(zhǎng)BE，DC交于點(diǎn)G.

因?yàn)锳B∥CD

所以∠B=∠G

又因?yàn)椤螧=∠FCD

所以∠G=∠FCD

因此BE∥CF.

解法三：BE∥CF，理由如下：

連接BC.

因?yàn)锳B∥CD

所以∠ABC=∠BCD

又因?yàn)椤螦BE=∠FCD

∠EBC=∠ABC-∠ABE

∠FCB=∠BCD-∠FCD

所以∠EBC=∠FCB

因此BE∥CF.

分析：顯然解法二和解法三比解法一要簡(jiǎn)單得多，巧妙地避開了二次平行的煩瑣轉(zhuǎn)化。學(xué)生想到這些方法，說明對(duì)平行線的性質(zhì)和判定已經(jīng)熟練掌握，學(xué)習(xí)達(dá)到一種更高層次。解法二是延長(zhǎng)BE，DC交于點(diǎn)G.構(gòu)造∠G=∠FCD，利用同位角相等，從而兩直線平行。解法三是連接BC，利用AB∥CD，找到內(nèi)錯(cuò)角∠ABC=∠DCB，再運(yùn)用等量減等量差相等，得到∠EBC=∠FCB，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。兩種方法都是構(gòu)造角的關(guān)系，但是后面兩種解法一步到位，直接找到同位角、內(nèi)錯(cuò)角是由BE與CF兩條被截線產(chǎn)生的，簡(jiǎn)單明了，考試肯定首選這兩種解法。當(dāng)然本題也還有其他解法。

解法四：BE∥CF，理由如下：

過點(diǎn)F作FN∥CD，延長(zhǎng)BE交FN于點(diǎn)G.

因?yàn)镕N∥CD

所以∠NFC=∠C

又因?yàn)锳B∥CD，F(xiàn)N∥CD

所以AB∥FN

所以∠B=∠EGF

又因?yàn)椤螧=∠C

所以∠EGF=∠NFC

因此BE∥CF.

[A][B][C][D][E][F][G][N]

解法四

解法五：BE∥CF，理由如下：

過點(diǎn)E作直線MN交AB與點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，交FC于點(diǎn)G.

因?yàn)锳B∥CD

所以∠BME=∠GNC

又因?yàn)椤螧=∠C

所以∠MEB=180°-∠B-∠BME

∠CGN=180°-∠C-∠GNC

所以∠MEB=∠CGN

又因?yàn)椤螩GN=∠EGF

所以∠MEB=∠EGF

因此BE∥CF.

[A][B][C][D][E][F][G][M][N]

解法五

分析：解法四是過點(diǎn)F作FN∥CD，并延長(zhǎng)BE交FN于點(diǎn)G.構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角∠EGF=∠NFC，從而得到BE∥CF;解法五是過點(diǎn)E作直線MN交AB與點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，交FC于點(diǎn)G。構(gòu)造同位角∠MEB=∠EGF，從而得到BE∥CF。兩種方法殊途同歸，都是通過添加輔助線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角或者同位角的關(guān)系來判定兩直線平行。

需要注意的是，學(xué)生剛接觸初中幾何，教師一定要循循善誘做好適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，不能完全放手。特別是基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生，他們?nèi)菀追鸽y，如果多次做不出來，容易灰心喪氣，甚至放棄學(xué)幾何。當(dāng)學(xué)生能比較熟練解答幾何題目后，教師也要學(xué)會(huì)適當(dāng)放手，給予學(xué)生足夠的時(shí)間思考，并要求他們寫下解答思路，并分享給大家。還要鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試其他的做法。長(zhǎng)期堅(jiān)持每道幾何題目都爭(zhēng)取用兩種以上的方法來證明，這樣學(xué)生解答幾何題目的數(shù)學(xué)思維一定能培養(yǎng)起來，也能很好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

以上幾道例題是筆者在平時(shí)課堂教學(xué)中，所任教班級(jí)的學(xué)生主動(dòng)展示的解題方法。學(xué)生們大膽地發(fā)言，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹鼋獯疬^程，甚至課后主動(dòng)把題目和解答過程認(rèn)真整理書寫在錯(cuò)題本上，作為教師，筆者倍感欣慰。教學(xué)應(yīng)該是以學(xué)生的動(dòng)機(jī)和發(fā)展需要來展開的。教學(xué)不是一味地按照課本進(jìn)行，而是教師與學(xué)生共同探討，一起決定學(xué)習(xí)的內(nèi)容和建構(gòu)知識(shí)的過程，是挖掘、拓展教材深刻內(nèi)涵的過程，是開發(fā)和創(chuàng)新課程的過程。只有這樣的教學(xué)才能使教師和學(xué)生得到共同的成長(zhǎng)。

“一題多解”運(yùn)用在教學(xué)中并不是單純地尋找多種解法，它有兩個(gè)作用：一是從多個(gè)角度分析有助于挖掘問題的深層結(jié)構(gòu);二是利用一個(gè)問題來聯(lián)系不同的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。在一題多解中要注意從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。一要注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維;二要注意啟發(fā)學(xué)生的靈感;三要充分利用“學(xué)生渴求他們未知的、力所能及的問題”的心理，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的興趣（例如：田忌賽馬、將軍飲馬、勾股定理等）;四要積極鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、討論問題、解決問題，通過質(zhì)疑、解疑，讓學(xué)生具備創(chuàng)新思維、創(chuàng)新個(gè)性、創(chuàng)新能力。

弗里德曼《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中強(qiáng)調(diào)：“解題不僅僅是為了找到答案”，他說：“應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待題目的態(tài)度，即：把習(xí)題看作是精密研究的對(duì)象，而把解答題目看作是設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo)。”可見，一題多解訓(xùn)練，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的概念、定理及其知識(shí)體系，養(yǎng)成從整體的角度思考問題和解決問題的習(xí)慣，形成舉一反三、追根溯源的能力和敢于探索、勇于創(chuàng)造的精神，從而更好地把握數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，最終達(dá)到潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體參與，教師要有效引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探索并解決問題，讓他們?cè)凇皩W(xué)中做，做中學(xué)”的過程中不斷成長(zhǎng)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)精選典型題目，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索多種解法，從而激發(fā)學(xué)生內(nèi)心深處的創(chuàng)新意識(shí)。同時(shí)，在此過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生站在系統(tǒng)的高度用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待教材各部分知識(shí)，幫助學(xué)生不斷總結(jié)與反思解決問題的方法和技巧，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生認(rèn)知的開發(fā)，使學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，逐步提升數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

吳正憲.數(shù)堂教學(xué)策略：師生互動(dòng)共同創(chuàng)建有效課堂[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

（作者單位：銅仁一中初級(jí)中學(xué)）

編輯：曾彥慧