層級化 多層次 立體化
——陳淑娟老師《包裝的學(xué)問》教學(xué)片斷賞析

文|王明濱

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域迎來了內(nèi)容變化最大和教學(xué)挑戰(zhàn)最強(qiáng)的一次轉(zhuǎn)變。不但課時增加了，相應(yīng)的內(nèi)容也得到了充實(shí)?！鞍b的學(xué)問”作為北師大版“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方體表面積和體積之后的一次“綜合應(yīng)用”，是落實(shí)核心素養(yǎng)的一次實(shí)踐性、探索性和研究性的學(xué)習(xí)。筆者有幸學(xué)習(xí)了廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校陳淑娟老師執(zhí)教的課例《包裝的學(xué)問》。作為“說理”課堂的引領(lǐng)者和踐行者之一，陳老師在課堂上展示出層級化的課程思維，借助《學(xué)習(xí)單》讓學(xué)生思維可視化的教學(xué)手段和立體化的共通能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，值得每一位教師跟進(jìn)學(xué)習(xí)。

片斷一：層級化的課程思維

師：今天要研究的問題是？

生：包裝中的學(xué)問。

師：想一想，在生活中的包裝可能遇到什么樣的數(shù)學(xué)問題？

生：一個東西的外表要用到多少包裝紙？有時候包裝要鑲邊就要計(jì)算棱長總和。

生：這個包裝能容納多少東西？

生：包裝有時候是很多東西放在一起，可能要求重疊的兩個面的面積。

生：還可能讓我們求包裝需要的彩帶有多長。

生：怎樣包裝更節(jié)省紙？

師：那今天我們來研究什么問題呢？

出示任務(wù)：下圖是一盒餡餅的尺寸，商家要把十盒這樣的餡餅包裝成一箱進(jìn)行銷售，請幫他想想，怎樣設(shè)計(jì)紙箱才最節(jié)約紙皮？（紙皮的厚度和銜接處忽略不計(jì)）

【賞析：“我們要建立從培養(yǎng)目標(biāo)到課程標(biāo)準(zhǔn)再到教學(xué)目標(biāo)的層級化的‘樹人’目標(biāo)體系。課程思維本來就需要一致性地思考在目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下的教學(xué)、學(xué)習(xí)、評價的問題，所有單一或點(diǎn)狀的思考都不是課程思維，而是人們常說的教學(xué)思維?！睆摹霸谏钪械陌b可能遇到什么樣的數(shù)學(xué)問題”說開，所有的問題都來源于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。在學(xué)生所有單一或點(diǎn)狀的思考中，逐漸構(gòu)筑出一個龐大的課程體系，涉及到長方體和正方體的棱長總和、表面積、容積和體積等數(shù)學(xué)問題，還有實(shí)際包裝中可能遇到的各種問題。在這樣開放的問題中，體現(xiàn)了問題設(shè)置的“低門檻”和“大空間”的特點(diǎn)，每位學(xué)生都能結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出想研究的數(shù)學(xué)問題。避免一入課就“計(jì)算兩盒糖果包成一包的表面積”的做法。在這段看似輕松隨意的談話中，可以看出一個執(zhí)教者的課程思維，站在更宏觀的角度來思考包裝中可能涉及的數(shù)學(xué)問題。這就要求每一位教師都要像專家一樣來思考我們的教學(xué)，從以往的教學(xué)思維轉(zhuǎn)向課程思維，做到心中既有核心素養(yǎng)目標(biāo)導(dǎo)向，又有課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)準(zhǔn)繩，唯有這樣才有教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)?！?/p>

片斷二：多層次的學(xué)習(xí)路徑

師：怎樣才能最節(jié)約紙皮呢？

生1：我們得出的最佳方案是長30cm、寬20cm、高25cm（如下圖），先把每個人的方案都展示出來，再看哪個表面積是比較節(jié)約的，發(fā)現(xiàn)長、寬、高越接近的，表面積就會越小一些。

方案一的表面積：（20×30+20×25+30×25）×2=（600+500+750）×2=3700（cm2）

生2：為什么不把十個疊在一起呢？

生1：把十個疊在一起（出示方案二），發(fā)現(xiàn)高是50cm，50cm 與另外兩條棱的數(shù)據(jù)差太多了，所以淘汰掉了。

方案二的表面積：（20×50+15×50+20×15）×2=（1000+750+300）×2=4100（cm2）

師：在討論中有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)看似越不可能的方案可能會更好一些。

師：有比較有趣的方案嗎？

生3：有趣的方案就是這個交叉的（出示方案三），但并不是最節(jié)約的。方案一是最節(jié)約的。

方案三的表面積：（40×25+15×25+40×15）×2=（1000+375+600）×2=3950（cm2）

師：還有愿意分享的嗎？

生4：我們討論出來的方法也是一樣的，本來打算十個疊在一起，但不是最節(jié)省的。雖然15×20一開始是最大的面，但是把五個疊在一起后，最大的面就變成20×25，這時就產(chǎn)生了新的大面，所以把兩個20×25 的面疊在一起，就節(jié)省了兩個新的最大的面。

生5：我們還找到了一個比較有意思的方案（出示方案四）。先把它分成三份，豎著放4 個，再往上疊一層，最后橫著放2 個，得出長20cm、寬15cm、高50cm。雖然不是最少的，但剛好也能擺成一個長方體，所以比較有趣。

方案四的表面積：（20×15+15×50+50×20）×2=（300+750+1000）×2=4100（cm2）

師：有什么經(jīng)驗(yàn)要分享給大家？比如怎么更快地得出方案？

生1：首先拿到一個長方體，它總共有三個不同的面。先把最大的面重合，盡量減少最大的面，這樣就能減少包裝紙。

生6：為什么方案四不是最簡的呢？

生1：方案四的高接近長和寬的兩倍，和正方體非常不相似，也沒有把最大的面藏起來。

服務(wù)特點(diǎn)：I）在科學(xué)技術(shù)與醫(yī)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)最權(quán)威的在線檢索與獲取全文的服務(wù)商之一，尤其是nature系列期刊、提供pdf預(yù)覽功能；II）提供優(yōu)先出版服務(wù)（快速，比紙本期刊更快看到最新的研究）；III）提供投稿、審稿服務(wù)（需登陸且需實(shí)際投稿才能一一體驗(yàn)）

生6：那為什么不把十個疊在一起？它們就是把最大的面藏起來的。

生1：十個疊在一起，雖然是把每個圖形最大的面藏起來，但是疊到第五個就會產(chǎn)生新的大面，因?yàn)榇竺媸请S時會產(chǎn)生變化的。

師：比較這些答案，能找到怎樣包裝最節(jié)省材料的奧妙嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)，要表面積最小，它們的長、寬、高要接近一些。

生：第一個是藏大露小，盡量把最大的面藏起來，最小的面露出來；第二個是觀察小的面會不會疊成更大的面；第三個是包裝要接近正方體，長、寬、高越接近，表面積越小。

師：想最節(jié)約包裝的材料，就要讓長、寬、高盡可能接近，把它盡可能拼成一個正方體。

【賞析：“當(dāng)老師理解數(shù)學(xué)的每個主要領(lǐng)域或主題的發(fā)展進(jìn)程，以及基于它們的序列活動時，他們創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境就會特別具有發(fā)展適宜性和有效性。”兒童的學(xué)習(xí)與發(fā)展遵循自然的發(fā)展進(jìn)程。從生生對話和師生對話中可以看出，學(xué)生經(jīng)歷了一個完整的探究過程，這一進(jìn)階過程完全符合SOLO 分類理論，從學(xué)生展現(xiàn)的作品，我們不難劃分出以下五種思維水平。

各個分?jǐn)?shù)等級描述及學(xué)生表現(xiàn)

從十個大面重疊的簡單操作到隨時關(guān)注大面變化，藏大露小，再到不是最節(jié)約，但是有趣的，能結(jié)合實(shí)際需求，最后到長、寬、高盡可能接近，拼成一個近似的正方體。每位學(xué)生用自己的方式和適合的角度切入，沿著這條學(xué)習(xí)路徑，拾級而上，最終一起達(dá)到最高的思維層次。

片斷三：立體化的共通能力

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：我知道了要聽取別人的意見，從中可以得到更多的方法。明白了團(tuán)隊(duì)合作的重要性。

生：我學(xué)會了節(jié)約資源，節(jié)約包裝就是愛護(hù)地球。

生：我知道包裝要盡量把大的面疊在一起，然后長、寬、高也要接近，盡量變成近似的正方體。

師：大家還有沒有新的問題想解決？

生：除了包裝問題，還有體積、容積的問題。有的紙皮很厚，可能要算一下它們的容積。

生：生活中物體的形狀復(fù)雜多樣，可能還要學(xué)到不同物體的包裝方案。比如去旅游時行李箱放不同的物體，就有空間利用率的問題。

生：生活中的包裝還要更深入地研究紙皮的厚度和銜接處。

生：下次可能求的是把物體疊在一起，怎么鑲邊最節(jié)約材料。

師：其實(shí)關(guān)于包裝還有很多數(shù)學(xué)問題，大家可以找一個最喜歡的問題繼續(xù)研究。

【賞析：課堂上學(xué)生信息的來源和學(xué)習(xí)所得，并不是教師講授的結(jié)果，而是同伴之間合作互助的成果。在交流中，學(xué)生從“最節(jié)約的方案”中跳脫出來，去思考更為廣闊的包裝中的學(xué)問，課程在交流中無限地延展，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究提供了可能，也在學(xué)生的心里種下了熱愛數(shù)學(xué)研究的種子。21世紀(jì)初，香港以“學(xué)會學(xué)習(xí)”作為課程發(fā)展路向，著手全方位課程改革。香港在中小學(xué)教育方法上更加注重師生之間、學(xué)生之間的互動。在課堂上，教師需要引導(dǎo)小組討論，以小組為單位給出問題的答案，而在課后作業(yè)或測驗(yàn)考試上，也會運(yùn)用更多項(xiàng)目式的形式，讓學(xué)生以小組為單位共同討論解決問題，并在課堂上給其他學(xué)生演示他們得出的答案，培養(yǎng)十項(xiàng)共通能力。我們可以從陳老師的課堂中對標(biāo)這些共通能力，例如：道德教育、協(xié)作能力、溝通能力、創(chuàng)造力、批判性思考能力、運(yùn)算能力、解決問題能力、自我管理能力以及研習(xí)能力等。通過這種互動式的教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)展更為立體化的共通能力。】

以能力來呈現(xiàn)核心素養(yǎng)是國際上一般的表述方式，帶得走的能力則是核心素養(yǎng)。本節(jié)課我們可以看到陳老師以“包裝”為活動載體，在探究的過程中，學(xué)生的運(yùn)算能力、幾何直觀、推理意識、空間觀念和應(yīng)用意識都得到了很好的培養(yǎng)，有效地落實(shí)了核心素養(yǎng)。

最后，引用崔允漷教授的一段話作為總結(jié)：“如果說教育的目的（培養(yǎng)目標(biāo)）是‘想得到的美麗’，那么課程標(biāo)準(zhǔn)就是‘看得見的風(fēng)景’，而教學(xué)目標(biāo)就是‘走得到的景點(diǎn)’，這種層級化、一致性的‘樹人目標(biāo)體系’，使‘看見的風(fēng)景’既能對標(biāo)‘想得到的美麗’，又能落實(shí)到‘走得到的景點(diǎn)’，加上每門課程的課程標(biāo)準(zhǔn)建構(gòu)的素養(yǎng)導(dǎo)向的目標(biāo)一族，將‘樹人’過程從抽象的目的逐步分解為具體的目標(biāo)，使得教師理解并踐行從‘教書’走向‘育人’有了清晰的路徑，立德樹人根本任務(wù)的‘落實(shí)’有了清晰、可操作的憑依?！卑选跋氲玫健薄翱吹靡姟弊兂伞白叩玫健薄皫У米摺?，陳老師做到了。