以點為“核” 在比對中感知圖像的意義
——《正比例的圖像》教學(xué)及思考

文|年紅梅

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版六年級下冊第六單元。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)舊知

師：還記得什么是正比例嗎？

生：兩個量相除，如果除的結(jié)果是一個定值，這兩個量就成正比例關(guān)系。

生：成正比例的兩個量，它們的比值是一定的。

生：兩種相關(guān)聯(lián)的量，如果比值一定，這兩種量就成正比例關(guān)系。

【反思：回顧舊知，讓學(xué)生再次感受兩種相關(guān)聯(lián)的量需具備怎樣的條件才能構(gòu)成正比例關(guān)系，為學(xué)生從圖像中感知兩種相關(guān)聯(lián)量之間變化關(guān)系做好鋪墊。】

二、借助直覺，猜想驗證

1.借助數(shù)學(xué)直觀進行猜想

師：仔細(xì)觀察表格中兩個量的變化成什么關(guān)系？

生：成正比例關(guān)系。

師：你知道圖1中橫軸和縱軸各表示什么嗎？

圖1

生：橫軸表示汽車行駛了多少小時，是時間；縱軸表示汽車行駛了多少千米，是路程。

師：在這張方格圖中，哪個點能表示出這輛汽車行駛1 小時與行駛80 千米路程的對應(yīng)點？

生：先找出經(jīng)過1 小時對應(yīng)的直線，再找出經(jīng)過80 千米對應(yīng)的直線，兩條直線的交點就是1小時行駛80 千米對應(yīng)的點。

師：第一步先在橫軸上找出1小時的點；第二步，過這個點畫與縱軸平行的直線；第三步，在縱軸上找出80 千米的點；第四步，再過這個點畫與橫軸平行的直線。這樣，兩次畫的直線的交點就是1小時行駛80 千米對應(yīng)的點。

師：表格中的信息可以用下圖中的點表示。（圖2）

圖2

師：這張方格圖中，B 點表示這輛汽車行駛了多少小時？此時行了多少千米？

生：5 小時，行駛400 千米。

師：其他各點呢？想一想，與同伴交流一下。

（學(xué)生回答略）

師：方格圖中的這些點的變化趨勢是怎樣的？拿出你的手，把它的變化趨勢比劃一下。

師：同學(xué)們表示的很對，隨著時間的增加，路程也在不斷增加。

【反思：之所以把教材例2 中標(biāo)好的帶點的方格圖改為直接呈現(xiàn)圖1不帶點方格圖，出發(fā)點是想讓學(xué)生根據(jù)表格中兩個相關(guān)聯(lián)的量體會兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而經(jīng)歷把這種對應(yīng)關(guān)系用點表示出來的過程。讓學(xué)生用手勢來表示這幾組數(shù)據(jù)的變化趨勢，意在讓學(xué)生初步整體感受正比例圖像的特征。整個環(huán)節(jié)學(xué)生參與度高，學(xué)習(xí)興趣濃厚。通過由“形”到“數(shù)”的逆向思考，可以強化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的感悟，同時再次體會兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的對應(yīng)關(guān)系，即比值一定?！?/p>

2.描點連線，驗證猜想

師：請同學(xué)們在《作業(yè)單》中的方格圖中（圖1），描出例題表格中各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點并按照順序連接起來。

反饋：呈現(xiàn)幾個連點成線時線連接的不夠“平滑”的作品。交流在連點成線時要注意的事情。

師：連接圖中各點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：把這些點連接起來，就成為一條直直的線。

生：我們還可以看出正比例圖像是一條直線。

師：在這條直線上任意一點都能找出一組對應(yīng)的數(shù)值嗎？

小結(jié)：在這條直線上任意取一點，都能找出一組對應(yīng)的數(shù)值。反之，一組對應(yīng)的數(shù)值，也只能找出一個對應(yīng)點。

師：（出示圖3，張強連接的圖像）請同學(xué)再次觀察，這些線是怎樣形成的？

圖3

生：先找點，再把這些點用平滑線連接起來。

師：也就是說，這些點都在同一條直線上，直線上任意一點都能直觀地看出汽車行車的時間，同時也能看出這輛汽車行車的路程，更能反映這輛汽車行駛的時間和路程之間的變化關(guān)系。

師：李銘連接的圖像是這樣的（圖4）。仔細(xì)觀察與張強連接的圖像有什么不同？

圖4

生：張強是根據(jù)表格中給出的數(shù)據(jù)連接的。所以，沒有從0 點開始連接。

生：表格里沒有出現(xiàn)0 小時和8 小時，所以我們都沒有從0 點開始連接。也沒有多“伸出去”一點。

師：你們覺得哪種連接好呢？

生：李銘連接得好。李銘連接的圖像不但能看出1 小時之前汽車行駛的路程，還能看出汽車7小時之后行駛的路程。

師：李銘的圖像雖然能看出1小時之前行駛的路程和7 小時之后行駛的路程，但表格中沒有給出數(shù)據(jù)呀！

師：同學(xué)們想一想，這輛汽車在運行時，需要不需要從零點幾小時開始運行？你再看表格中上下兩個省略號表示什么意思？由此你又有什么想說的？

生：李銘同學(xué)連接的圖更能說明表格中兩個省略號所表示的意思，兩者相比我們發(fā)現(xiàn)，李銘的圖像更合理、更接近事實。

【反思：通過找一找、畫一畫、連一連的操作活動，讓學(xué)生動手直觀感知并驗證正比例圖像的特點：兩個相關(guān)聯(lián)的量中，一個量變化，另一個量也隨著變化，但是在變化中存在不變———每組數(shù)據(jù)的比值一定，深度理解正比例圖像隱藏的變化規(guī)律。同時，考慮到學(xué)生按照教材表格中的數(shù)據(jù)來描點、連線，連出來的正比例圖像不會從0 點開始，而教材練習(xí)題中給出的正比例圖像則有從0 點開始連接的，基于發(fā)展性教學(xué)考慮，筆者通過兩種描點、連線的方法，通過比一比、說一說，讓學(xué)生感受兩種不同的連線結(jié)果之間存在的區(qū)別，結(jié)合實際，內(nèi)化哪一種圖像更能描述汽車整個行駛的過程，并從中感受數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系?！?/p>

三、看圖判斷，學(xué)會推理

師：你能不看表格，根據(jù)圖像直接判斷這輛汽車3.5 小時行駛多少千米嗎？

生：3.5 小時在橫軸上3 和4之間，3.5 小時往上畫垂線與這條斜線相交的點，在縱軸上的對應(yīng)位置應(yīng)當(dāng)在240 和320 中間，也就是280 千米。

師：這僅僅是我們的推測，讓我們一起畫圖驗證。

（課件動態(tài)演示）

師：讓我們用同樣的方法試著找一找行駛520 千米需要多少小時？

生：520 千米在縱軸上480 和560 中間，圖像上對應(yīng)的點在橫軸上的位置應(yīng)當(dāng)在6 和7 中間，是6.5 小時。

小結(jié)：線是由點構(gòu)成的，從點的變化可以看出汽車行駛的路程在變化，汽車行駛的時間也在發(fā)生變化。隨著時間的增加，行駛的路程也越來越多，點的位置也越來越高。反之，時間越短，行駛的路程也就越少，點的位置就越來越低。不管時間和路程怎么變，這輛汽車的速度是不變的。

【反思：教師提出：“你能不看表格，根據(jù)圖像直接判斷這輛汽車3.5 小時行駛多少千米？”的問題，意在讓學(xué)生運用推理的方法，直接找出3.5 小時汽車行駛的路程。讓學(xué)生在方格圖上，用“作圖的方法”，畫出3.5 小時與圖像的交點，意在驗證前面的推理，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)及函數(shù)圖像打下一定基礎(chǔ)。“用這樣的方法在直線上任意找出幾個點，說說它們表示的意義”，意在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從直觀地看到憑空地想、最后實現(xiàn)抽象和建模的過程。這樣從靜態(tài)地看和想到動態(tài)地畫和連，從離散的點到連續(xù)的點，從有限的線段長到無限的直線，將抽象的路程、速度、時間這一數(shù)量關(guān)系與幾何直觀對接起來，實現(xiàn)了抽象思維與形象思維的結(jié)合，使正比例圖像的本質(zhì)逐漸變得看得見、看得清、看得遠。讓學(xué)生深深體會到圖像中蘊含著數(shù)量關(guān)系式?！?/p>

四、課堂小結(jié)（略）