材料驅動，助推學生空間觀念的發(fā)展

胡夢迪

［摘 要］發(fā)展學生的空間觀念是小學數學教學的重要目標之一，其有益于提升學生的數學核心素養(yǎng)。以一類長方體體積的練習題開始思考，從提供平面素材、增加操作環(huán)節(jié)、重視經驗積累、延伸知識結構四個角度出發(fā)改造習題，有效發(fā)展學生空間觀念。

［關鍵詞］空間觀念；長方體體積；練習題

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0052-04

什么是空間觀念？孔凡哲教授認為空間觀念是學生主動、自覺或自動化地“模糊”二維和三維空間之間界限的一種本領，是一種可以把握的能力；《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出空間觀念是“核心素養(yǎng)”的主要表現之一，是幾何課程改革的一個核心概念。在小學數學課程中，空間觀念主要涉及圖形與幾何領域，下面，筆者就對該領域內“長方體的體積”（人教版教材五年級下冊）這一課的習題進行重新設計，以實現培養(yǎng)學生空間觀念的教學目標。

一、教材習題

習題1（教材第31頁）：一塊長方體肥皂的尺寸如圖1所示，它的體積是多少？

習題2（教材第33頁）：建筑工地要挖一個長50 m、寬30 m、深50 cm的長方體土坑，一共要挖出多少方的土？

學生反饋（見表1）。

習題1和習題2是一類在簡單情境下考查長方體體積計算公式的練習題。這兩題都是提供線段長度，讓學生求體積。根據題目信息，學生很快就能想到套用公式V=abh來解答問題。從學生較高的解題正確率來看，學生對公式掌握得很扎實，偶有出錯也是計算過失，或是沒有進行單位換算，只要仔細審題，這些錯誤是完全可以避免的。因此，用這類練習題來幫助學生鞏固對公式的記憶和應用是非常合適的。然而對立體圖形的教學，不能僅僅止步于學生對公式的熟練應用，更應該發(fā)展學生的空間觀念，讓學生看到線段長度后頭腦中就能構造出長方體的形狀，再進行相關計算。

二、策略探索

五年級學生的抽象思維和空間想象能力正在逐步發(fā)展，習題訓練的重點應是立體圖形在頭腦中表征過程的經驗積累。重新設計習題，即在提供平面素材的基礎上增加動手操作和想象環(huán)節(jié)，讓學生經歷用若干個平面構造成立體圖形的抽象思考過程，以“模糊”二維和三維空間之間的界限，對長方體與其他立體圖形的“面”“體”關系的探究進行拓展延伸，實現發(fā)展學生空間觀念的教學目標。

1.提供平面素材，培養(yǎng)信息分析能力

如何讓學生重新組織材料，經歷構建長方體的過程？筆者設計了一道開放性習題。

學習要求：（1）獨立思考。通過剪、拼、畫、想，你得到的長方體是什么樣的？體積是多少？（2）討論交流。（3）成果分享（以表格的形式呈現，見表2）。

這道習題提供的素材都是長方體的側面，學生需要先分析素材的信息，再建構立體圖形。學生通過讀題，會發(fā)現習題提供的四個長方體側面數量是不同的，其中1號長方體給足了6個面，而其余3個長方體只呈現了6個面中的若干個面。此外，根據側面的長、寬這類長度信息，學生要找出不同面上相同長度的邊，分析哪兩個面上的哪兩條邊進行拼接。經歷了這個信息分析的過程，學生就能根據平面來建構立體圖形了。

2.增加操作環(huán)節(jié)，培養(yǎng)推理想象能力

師：你得到的長方體是什么樣的？

生1：我們小組用剪拼的方法。因為長方體相對的2個面一樣，我們就把這6個面分成3組，將相同長度的邊拼接就得到1號長方體。

生2：我們把3號長方體畫出來了。我們先畫一個長方體，再把長度標上，就得到了長方體的長、寬、高，從而確定了它的形狀。

師：你們不用剪下來拼接就能得出長方體，真厲害！

生3：我看一眼就知道1號和2號長方體的長、寬、高了。因為長方體的面上共有三種不同的長度，而這三種長度正好就是長、寬、高。

生4：我找不到4號長方體的高。

師：其他人找到了嗎？4號長方體的高到底是多少呢？這個疑問先留著，我們待會再解決。

從反饋中可以看出，學生的思維非常清晰。根據題目提供的側面，通過剪、拼、畫等操作，搭建了長方體。有學生甚至能根據側面上的線段的長度關系和位置關系直接想象出長方體的形狀。在這個過程中，學生的推理想象能力發(fā)展過程如圖3所示。

3.重視經驗積累，培養(yǎng)歸納概括能力

經歷了上一個環(huán)節(jié)的操作與想象，學生已積累了對立體圖形的推理和想象經驗，接下來依托這些經驗，學生將能探究更深層次的空間位置關系，歸納概括新的學習經驗。

（1）探究面的位置關系

確定長方體的形狀，是否一定要知道一個長方體的所有側面呢？如減少側面的數量，還能確定其形狀嗎？至少需要哪些面？由此，筆者引導學生對比探究圖2中的四個長方體。

師：同學們，我們已經知道了長方體的側面中隱藏著長方體的長、寬、高。3號長方體只給了2個面，你們也能找到長方體的長、寬、高，4號長方體跟3號長方體一樣，也給了2個面，為什么找不到長方體的高呢？

生1：因為給出的4號長方體的2個面是一樣的，是相對的面，所以不能確定高。

生2：我覺得不一定，如果這2個面是相鄰的，體積就有兩種情況，即15×15×8和15×8×8。

師：看來2個面的位置關系是關鍵，必須是相鄰的面，不能是相對的面。那只留1個面行嗎？

生3：不行！只留1個面就只能獲得長、寬、高三者中的兩個信息。

師：研究到這里，誰能總結一下？

生4：只要確定了相鄰的2個面，長方體的形狀就確定了。

從學生的回答中可以發(fā)現，他們不再依賴于畫圖，通過想象也能理解平面圖形和立體圖形之間的聯系（如圖4）。在這一階段，學生在頭腦中對長方體的表象越來越清晰，他們能夠想象2個面的不同空間位置關系——相鄰和相對，再從中辨別出只有相鄰的面才能確定長方體的形狀。

值得一提的是，開始大部分學生都認為4號長方體不能構成，但經過討論和交流，得出了三種不同的情況：15×8×8，15×15×8，15×b×8（b不一定）。這是一個開放性的設計，促成了學生更為熱烈的討論，他們在對面的位置關系的假設和討論中，空間觀念得到了發(fā)展。

（2）探究立體圖形的平面化

在問題都已解決后，筆者借機引導學生進行深層次的、更抽象的三維到二維的探討。

師：同學們，學到這里，對于長方體的形狀、大小，你有什么想說的嗎？

生5：根據公式V=abh，我知道了長方體的長、寬、高決定了它的形狀和大小。

生6：做了這道題，我知道了只有相鄰2個面也能確定一個長方體的形狀和大小。

師：從線的角度看，一個長方體有12條棱（線），精簡到3條線（長、寬、高）也能確定一個長方體；從面的角度看，一個長方體有6個面，精簡到相鄰2個面也能確定一個長方體。我們剛才所講的“線”“面”“體”就分別代表了幾何空間里的“一維空間”“二維空間”“三維空間”。

師：一個長方體可以精簡到“3線”“2面”，你能畫一畫這樣的變化過程嗎？

（學生思考、討論、畫圖，得出圖5）

這道習題的目的是驅動學生自主地實現面和體之間的轉換。學生解決完這道習題后，他們的空間想象和推理能力已經經歷了一次跳躍，此時筆者趁熱打鐵，通過語言引導和思維導圖的梳理，助推他們對長方體特征進行跨維度的、深層次的把握：原本是三維的長方體，畫在紙上就變成了二維，再通過“線”“面”“體”三維之間的轉化溝通，將長方體精簡成“3線”“2面”。這說明學生已經抓住了畫長方體平面圖形的精髓，學生的空間觀念正逐步發(fā)展完善。

4.延伸知識結構，培養(yǎng)空間思維能力

考慮到在學習長方體之后，學生還要學習正方體、圓柱、圓錐這三類立體圖形，筆者又設計了系列題組。

（1）正方體

（2）圓柱

（3）圓錐

綜上所述，通過這幾道習題，學生經歷了“線”“面”“體”三個空間維度之間的轉換過程，加深了對這類立體圖形的特征理解，教學也初步實現了要有意識地培養(yǎng)學生跨維度的空間觀念的目標。在圖形與幾何領域的教學中，教師要讓學生親身經歷活動，經驗積累多了，不同維度空間之間的界限就會越來越模糊，空間觀念就可以不斷生長和發(fā)展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 唐彩斌.能力為重的問題解決式復習：以“長方體的表面積、體積復習課”教學為例 [J].教學月刊小學版（數學），2013（12）：35-38.

[2] 孔凡哲.小學生空間觀念的發(fā)展對策[J].新教師，2019（10）：38-40.

（責編 覃小慧）