基于單元整體教學(xué)的二次函數(shù)教學(xué)實踐與思考

作者簡介：施利濃（1984～），女，漢族，浙江慈溪人，杭州市余杭區(qū)太炎中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

摘 要：單元整體教學(xué)是按照教學(xué)單元內(nèi)在的邏輯與結(jié)構(gòu)，基于單元結(jié)構(gòu)要素與內(nèi)容的深入剖析，形成具有總體性的架構(gòu)與設(shè)置，生成具有整體性與系統(tǒng)性的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計。其強調(diào)從單元設(shè)計視角將單元框架內(nèi)所有教學(xué)內(nèi)容或知識點統(tǒng)合性匯總與優(yōu)化。通過文獻(xiàn)梳理和教學(xué)觀察，基于初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的現(xiàn)狀分析，圍繞單元整體教學(xué)的優(yōu)勢與運用原則，以二次函數(shù)為例對單元整體教學(xué)實踐進(jìn)行了探析。研究認(rèn)為，單元整體教學(xué)能夠有效地將課外知識與課內(nèi)知識進(jìn)行有機結(jié)合，提高任課教師課堂教學(xué)的質(zhì)量，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生在較短的時間內(nèi)得以提高數(shù)學(xué)成績。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；單元整體教學(xué)；教學(xué)整合；二次函數(shù)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）18-0093-04

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常常會遇到某些知識點的后續(xù)內(nèi)容，被安排至教材中的另一個單元或者下一冊教材中。這一現(xiàn)象導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識點間割裂現(xiàn)象的出現(xiàn)，不利于知識點的深入講解，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系的有效構(gòu)建，造成新舊知識點關(guān)聯(lián)性上的不足，阻礙了學(xué)生對相關(guān)知識點上的有效運用?；诖?，單元整體教學(xué)被提出并得到了廣泛運用。單元不僅僅是一種重要的課程設(shè)計方式，也是實現(xiàn)有效教學(xué)的重要切入點。知識上的彼此關(guān)聯(lián)，概念上的層層遞進(jìn)，難易度上的由淺至深且循序漸進(jìn)，具備上述特征的單元可以促使學(xué)生的學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性與合理性，有利于實現(xiàn)“教與學(xué)”的雙贏。嚴(yán)格按照教材課時的順序開展教學(xué)，看似規(guī)范性地使用了教材，但其并不能有效地促進(jìn)學(xué)生完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成，相反零碎化的知識探索容易讓學(xué)生在認(rèn)知上出現(xiàn)混淆。而單元整體教學(xué)能夠?qū)λ槠R加以有效串聯(lián)，構(gòu)建出龐大、完整且詳細(xì)的知識框架。這有利于學(xué)生對知識的溫故，有利于學(xué)習(xí)過程的簡化。為此，文章以“二次函數(shù)”為例，對單元整體教學(xué)實踐加以闡述，旨在與同仁交流與共勉。

一、 初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)現(xiàn)狀

通過對中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫中單元整體教學(xué)文獻(xiàn)的研讀和日常教學(xué)觀察，文章認(rèn)為初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)存在以下四個方面的問題。

（一）教師缺乏整體意識

初中數(shù)學(xué)教師在單元整體教學(xué)設(shè)計上缺乏必要的整體意識。目前，各個版本的初中數(shù)學(xué)教材都是按照單元方式編寫的，而我們的任課教師在日常教學(xué)也基本遵照教材上的順序。由于教師教學(xué)設(shè)計缺乏整體意識，導(dǎo)致課上學(xué)生所掌握的知識相對零散，難以建立數(shù)學(xué)知識的整體架構(gòu)，學(xué)習(xí)上的“離位”和“錯位”問題嚴(yán)重。

（二）簡單疊加主次不清

部分教師重視單元整體教學(xué)，但在內(nèi)容設(shè)置上僅僅是一種簡單疊加且主次上也不是非常地明確。部分教師將單元整體教學(xué)誤解為一個單元下的幾個章節(jié)放在一起進(jìn)行教學(xué)，其實從本質(zhì)上來講其做法仍然是一種簡單的疊加。

（三）學(xué)生負(fù)擔(dān)不減反增

雖然，單元整體教學(xué)有諸多優(yōu)勢，但教師為了完成教學(xué)目標(biāo)，過于關(guān)注學(xué)生的記憶、理解以及簡單應(yīng)用水平的提升，忽視了學(xué)生知識掌握的遞進(jìn)性，一味地沿用重復(fù)操練，不僅沒有有效減少學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，而且降低了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

二、 單元整體教學(xué)的優(yōu)勢與原則

（一）單元整體教學(xué)優(yōu)勢

1. 有效縮短教學(xué)課時，知識結(jié)構(gòu)性突出

單元整體教學(xué)在教學(xué)實踐中實施，不僅有利于縮短課時，而且也有利于提高學(xué)生知識的結(jié)構(gòu)性生成。通過單元整體教學(xué)，能夠避免課時教學(xué)中的知識零碎、記憶混亂、機械套用等弊端。同時，運用單元整體教學(xué)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力也會得到有效培養(yǎng)，避免了題海戰(zhàn)術(shù)的出現(xiàn)，提升了學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)了知識教學(xué)向能力教學(xué)的有效轉(zhuǎn)變。

2. 有效生成學(xué)習(xí)體驗，描繪單元學(xué)習(xí)路徑圖

對于教材而言，“教學(xué)單元”可以稱之為“中單元”，幾個主題相同或關(guān)聯(lián)性強的內(nèi)容的“學(xué)習(xí)單元”，可以稱之為“小單元”或者“微單元”。教師基于特定教學(xué)目標(biāo)將教材不同單元（章）的內(nèi)容進(jìn)行深度加工、重新整合的“學(xué)習(xí)單元”，可以稱之為“大單元”。而單元整體教學(xué)強調(diào)教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及數(shù)學(xué)的整體性，對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃，明確安排哪些內(nèi)容，計劃用幾個課時。其在教學(xué)實踐中有利于學(xué)生知識掌握的過程性體驗，有利于學(xué)生單元學(xué)習(xí)路徑圖的描繪。

3. 有效提升綜合能力，實現(xiàn)教師作用最大化

通過單元整體教學(xué)的實施，可以有效促使學(xué)生清晰地了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，知曉其整個單元中的地位與作用，明確學(xué)習(xí)主題、重點以及難點，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)上的高效性。從教師層面來剖析，在單元整體教學(xué)實施過程中，教師所扮演的角色是引導(dǎo)者和組織者，執(zhí)教者可以通過提綱挈領(lǐng)式的教學(xué)設(shè)計，實現(xiàn)統(tǒng)攬全局。同時，通過單元整體教學(xué)設(shè)計，執(zhí)教者能夠更好地把握課堂教學(xué)的主題，合理地調(diào)整課時上的分配與控制教學(xué)的節(jié)奏，真正做到因材施教和因時施教。

（二）單元整體教學(xué)原則

1. 正確認(rèn)識，深入理解

有效踐行單元整體教學(xué)，首先需要正確認(rèn)識與深入理解單元整體教學(xué)。例如，我們在踐行單元整體教學(xué)時，首先要明確數(shù)學(xué)整合性概念，掌握其核心觀點及基本要求。不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維之間的相互聯(lián)系、相互融合構(gòu)成了數(shù)學(xué)的整體。我們在踐行中一定要明確單元整體教學(xué)的真實目的是使數(shù)學(xué)的整體性得到最大限度的發(fā)揮。同時，高效的單元整體教學(xué)是將“內(nèi)容單元”統(tǒng)一到教學(xué)實踐之中，使其成為“學(xué)習(xí)單元”。這就要求踐行者必須全面地掌握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容與本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，為學(xué)生提供整體的學(xué)習(xí)計劃，從而促使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效發(fā)展。

2. 明確目標(biāo)，充分準(zhǔn)備

單元整體教學(xué)具有較強的系統(tǒng)性和整體性，在進(jìn)行單元整體教學(xué)前必須要作好目標(biāo)的明確和相關(guān)的準(zhǔn)備。在具體踐行中，設(shè)計者要尊重學(xué)生的人格，關(guān)注學(xué)生的個體差異，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。同時，踐行者還要充分掌握教學(xué)對象的基本情況，教材中各教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，掌握知識轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)換的規(guī)律，從而實現(xiàn)“見木為林”。當(dāng)然，對于學(xué)生而言，也要讓其了解單元整體教學(xué)，明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，作好學(xué)習(xí)上的準(zhǔn)備。

3. 及時調(diào)整，不斷優(yōu)化

雖然單元整體教學(xué)存在諸多優(yōu)勢，但針對不同的教學(xué)對象以及教學(xué)內(nèi)容，在具體實踐中還需進(jìn)行不斷調(diào)整與優(yōu)化。正所謂：“教無定法，貴在得法。”因此，為了不斷提高單元整體教學(xué)的功能，我們踐行者需要在不斷的實踐中加以優(yōu)化。

三、 單元整體教學(xué)的設(shè)計與實踐

文章以初中數(shù)學(xué)中的“二次函數(shù)”為例，就單元整體教學(xué)的設(shè)計與實踐加以闡述?！岸魏瘮?shù)”是初中數(shù)學(xué)學(xué)科中非常重要的一個學(xué)習(xí)單元，也是中考經(jīng)常出現(xiàn)的考點。基于對單元整體教學(xué)的認(rèn)識與理解，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)研究結(jié)果，筆者對其設(shè)計與實踐如下：

（一）立足學(xué)科高度，厘清知識序列

1. 縱向理序，從單元編排入手

函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心概念之一，也是初中數(shù)學(xué)的重要基本概念。同時，函數(shù)的思想方法貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。二次函數(shù)是對已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中一次函數(shù)、反比例函數(shù)內(nèi)容的豐富，二次函數(shù)各類性質(zhì)的研究過程又對后續(xù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等高中內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，為高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識奠定了基礎(chǔ)。初中的二次函數(shù)是從實際問題出發(fā)，是通過數(shù)形結(jié)合解決一些簡單的問題。而進(jìn)入高中后，學(xué)生對函數(shù)的理解，將從變量間的對應(yīng)變化上升到集合語言中的對應(yīng)關(guān)系。初中階段學(xué)生通過圖象初步了解二次函數(shù)的性質(zhì)，而高中階段的學(xué)生則要學(xué)會用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)二次函數(shù)的抽象性質(zhì)。

2. 橫向比對，從概念內(nèi)容入手

對于初中學(xué)生而言，從內(nèi)容上看難度較大，因為二次函數(shù)涉及的概念非常之多。這一章的內(nèi)容有二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用等。有些概念涉及一元二次方程，有些涉及不等式，學(xué)生往往無法將所學(xué)的內(nèi)容靈活應(yīng)用，在掌握上也還不夠全面。為此，需要在課前對二次函數(shù)所涉及多種含義的概念加以有效整理，歸納出具有等價意義的概念，從而運用于單元整體教學(xué)中。這樣做的好處在于，既可以突破二次函數(shù)的教學(xué)難點，還可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。例如，求函數(shù)表示式的關(guān)鍵是確定原點，據(jù)此寫出其他點的坐標(biāo)。選擇不同的點為原點會影響函數(shù)圖象的位置，學(xué)生對三種函數(shù)表達(dá)式的理解程度，不同形式的表達(dá)式適用情境等概念知識是學(xué)生解題的知識儲備。

3. 高度審視，從大概念上入手

所謂的大概念，主要是指基于事實基礎(chǔ)加以抽象出來，能夠?qū)σ欢ǚ秶鷥?nèi)的物體和現(xiàn)象加以解釋，能夠幫助學(xué)習(xí)者去認(rèn)識世界和理解世界的，具有普適性和可遷移性的一種概括性表達(dá)。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，初中階段應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生從具體的生活情境中建模轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識建立相關(guān)的方程，或者不等式，或者函數(shù)表達(dá)式，表示數(shù)學(xué)問題中的各種關(guān)系。例如，關(guān)于二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用，就是在現(xiàn)實問題中建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量取值范圍內(nèi)的最值。

（二）調(diào)整單元課型，重構(gòu)單元設(shè)計

1. 單元課時序：從遵循到創(chuàng)新，打破課時劃分

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，根據(jù)具體的單元教學(xué)目標(biāo)，整合教學(xué)內(nèi)容，對“二次函數(shù)”的課時進(jìn)行重新劃分、整理。具體為：單元課時安排上共16課時。其中，二次函數(shù)的概念為1課時，二次函數(shù)的圖象［二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象及其特征、二次函數(shù)y=a（x+m）2+k（a≠0）的圖象及其特征、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象及其特征以及拓展課1課時］為4課時，二次函數(shù)的性質(zhì)［通過圖象探索二次函數(shù)性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值問題（最大或最小值）］為2課時，二次函數(shù)的應(yīng)用（二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用——圖形面積問題、二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用——利潤問題以及二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用——距離問題各1課時）為3課時，專題、拓展提升（二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，二次函數(shù)與一元二次不等式的聯(lián)系，二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合，二次函數(shù)中的特殊三角形、特殊平行四邊形存在性問題）為4課時，評價、反饋為2課時。

2. 單元整合課：從割裂到融合，打開內(nèi)容界限

初中階段二次函數(shù)的研究思路是以具體情境為基礎(chǔ)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，研究二次函數(shù)的性質(zhì)。從這一角度理解，二次函數(shù)是幾何圖形的代表，而一元二次方程則是代數(shù)式的代表。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系本質(zhì)上是“數(shù)”與“形”的關(guān)系。探究兩者之間知識點的融合，實現(xiàn)方程和函數(shù)的整合，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”完美結(jié)合，幫助學(xué)生用整體、聯(lián)系的眼光看問題。二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的重要數(shù)學(xué)模型。學(xué)生通過這個實例分析，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。同時，體驗在問題解決的過程中，函數(shù)與方程兩種數(shù)學(xué)模式經(jīng)常需要互相轉(zhuǎn)換的狀況，進(jìn)一步感悟如何用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。

3. 單元拓展課：從無關(guān)到融通，感受核心概念

二次函數(shù)的概念是九年級數(shù)學(xué)教材的一個教學(xué)重點與難點。二次函數(shù)的概念有豐富的內(nèi)涵和外延，函數(shù)的概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重過程性，由直觀到深入，層層遞進(jìn)。有些問題表面上與二次函數(shù)毫無關(guān)系，但實際卻是用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。如何準(zhǔn)確地辨別，關(guān)鍵還在于學(xué)生對函數(shù)概念、二次函數(shù)概念的理解。例如，某天早上8：00，臺風(fēng)的最中心距離甲城200公里正南方向處，向甲城移動速度為25km/m。這個時候有一輛轎車以100km/m的速度朝正西方向運動，出發(fā)點為甲城。請問什么時候車子距離臺風(fēng)中心最近？當(dāng)距離最近的時候車子與臺風(fēng)中心分別位于何處？本題是二次函數(shù)的拓展變式，臺風(fēng)中心的移動時間和臺風(fēng)中心與客車的距離，這兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，但不是二次函數(shù)的關(guān)系，避免進(jìn)入概念誤區(qū)。

（三）立足前概念預(yù)學(xué)，探尋學(xué)習(xí)起點

“前概念”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)概念之前，根據(jù)現(xiàn)有的知識經(jīng)驗與生活經(jīng)驗形成的對事物的認(rèn)識與觀念。在學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念之前，學(xué)生已經(jīng)有了一定的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，例如，一次函數(shù)、反比例函數(shù)。當(dāng)學(xué)到近似或關(guān)聯(lián)的概念時，部分學(xué)生不能正確區(qū)分，容易受前概念的影響。同樣是字母b，一次函數(shù)概念里表示常數(shù)項，而二次函數(shù)概念中卻表示是一次項系數(shù)。這些已有經(jīng)驗對學(xué)生是正向遷移還是負(fù)向遷移，對二次函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)是否存在干擾，教師在課前要有預(yù)判，以免學(xué)生產(chǎn)生思維障礙，阻礙新概念的正確建立。

（四）立足圖象規(guī)范性，實施數(shù)形結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》對二次函數(shù)的內(nèi)容要求是通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)?！皬木唧w函數(shù)的圖象中認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)”是教學(xué)目標(biāo)之一。在教學(xué)過程中，以圖象為導(dǎo)，歸納函數(shù)性質(zhì)，化繁為簡，形象直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。因此，圖象是掌握二次函數(shù)性質(zhì)的有效方法。函數(shù)圖象作圖不夠規(guī)范，會影響學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的分析。傳統(tǒng)的畫圖方式比較費時，對此，教師可借助數(shù)學(xué)專用軟件，如幾何畫板，在教學(xué)中多展示一些二次函數(shù)圖象。初中階段涉及的曲線、教學(xué)目標(biāo)都非常明確，即利用函數(shù)圖象直觀地幫助學(xué)生認(rèn)識這些函數(shù)的性質(zhì)。這與高中階段解析幾何中二次曲線的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)有著本質(zhì)的區(qū)別。教師要以身作則，作圖要規(guī)范，不要給學(xué)生錯誤示范。

（五）立足任務(wù)真實性，實現(xiàn)有效驅(qū)動

二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。二次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)強調(diào)理論與實際相結(jié)合，但初中生對抽象知識與實際問題之間的轉(zhuǎn)化能力較低。因此，無論是問題情境的創(chuàng)設(shè)、教學(xué)活動的組織，還是教學(xué)問題的設(shè)置，都應(yīng)選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認(rèn)知特點的素材。例如，利用二次函數(shù)的最大值解決實際問題中的最優(yōu)化，就可選擇面積、利潤、成本、距離、高度等貼近學(xué)生現(xiàn)實的素材，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有趣的，數(shù)學(xué)是貼近生活的，數(shù)學(xué)是有用的。

四、 結(jié)語

綜上所述，單元整體教學(xué)能有效地將課外知識與課內(nèi)知識有機結(jié)合，能夠提高任課教師課堂教學(xué)的質(zhì)量，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生在較短時間內(nèi)提高數(shù)學(xué)成績?？梢赃@樣講，單元整體教學(xué)為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了思路與路徑。為此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)站在更高的角度去積極地加以探究。

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