初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)的實踐與思考

杜印朝 康珂楠

摘? ?要：章起始課是一章的起點，具有統(tǒng)領(lǐng)全章的作用。教師在進(jìn)行章起始課教學(xué)時，應(yīng)該在剖析學(xué)情、研究教材的基礎(chǔ)上，具有整體觀、基本套路觀、思想方法觀，只有這樣才能真正發(fā)揮章起始課的價值，在提高課堂效率的同時發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：章起始課；單元整體；核心素養(yǎng)；相交線

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2023）14-0031-05

章起始課作為一章的第一課，統(tǒng)領(lǐng)全章，在教材中具有特殊的地位和作用。教師對章起始課的教學(xué)，應(yīng)該讓學(xué)生對本章的知識結(jié)構(gòu)有整體感知和了解，進(jìn)而把握全章的知識主線和研究方法。正如外出旅游一樣，導(dǎo)游往往會在一開始就向游客介紹基本行程，包括要游覽哪些景點、怎么去、如何游覽、耗時多長等，讓游客心中有數(shù)。章起始課也有類似的作用，在新一章知識的一開始，就讓學(xué)生了解本章要學(xué)什么、為什么學(xué)和怎么學(xué)等問題，能為后邊的連續(xù)學(xué)習(xí)打下知識技能和思想方法的基礎(chǔ)。因此，筆者認(rèn)為章起始課應(yīng)立足單元整體視角展開教學(xué)。下面以人教版七年級下冊第五章第一節(jié)“相交線”為例，闡述筆者對章起始課的教學(xué)實踐與思考。

一、背景分析

學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)學(xué)過的直線、射線、線段和角的相關(guān)概念，以及線段和角的度量與大小比較等知識，學(xué)生對圖形有初步的認(rèn)知，具備一定的空間觀念和數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，但對概念學(xué)習(xí)的一般過程比較模糊，運用嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的推理論證方法經(jīng)驗不足。本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括鄰補(bǔ)角、對頂角的概念獲得、性質(zhì)探究和應(yīng)用提升，同時讓學(xué)生對整章的知識框架和整體目標(biāo)有整體把握，這些知識是以后繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時其學(xué)習(xí)方法可以遷移到以后其他圖形的研究中，思考問題的方法甚至可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域。鑒于以上分析，采用單元整體的視角設(shè)計本節(jié)章起始課是可行且有意義的。

二、教學(xué)實踐

（一）情景導(dǎo)入，整體感知

1.情景導(dǎo)入：老師用幻燈片播放章頭圖（縱橫交錯的道路圖片），讓學(xué)生思考這些道路給人們什么形象？再次讓學(xué)生尋找生活中、自己身邊的相交線、平行線的實例，比如教室中黑板面相鄰的兩條邊、相對的兩條邊、操場上的雙杠、中國象棋棋盤上的橫線和豎線等等。

教學(xué)分析：讓學(xué)生從生活中的實物抽象出相交線、平行線，體會數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的意識。

2.整體感知：引導(dǎo)學(xué)生回憶以前學(xué)過的一些平面圖形的相關(guān)知識（直線、射線、線段和角），了解本章研究的主題（相交線、平行線、平移等），明確研究圖形的一般方法（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）。

教學(xué)分析：讓學(xué)生明白要學(xué)的知識從哪里來、要到哪里去，初步了解全章的知識框架和學(xué)習(xí)目標(biāo)，感悟局部和整體的關(guān)系。

（二）數(shù)學(xué)活動，抽象概念

1.觀察剪刀剪紙的過程，引入兩條相交直線所成的角

問題1：（老師展示一把張開的箭刀），同學(xué)們觀察一下它給我們什么樣的形象？

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)給人們兩條相交直線的形象。

問題2：（老師演示用剪刀剪紙的過程，圖1），請同學(xué)們觀察剪的過程中剪刀兩個把手之間的角發(fā)生了什么變化？剪刀刀刃張開的口又怎么變化？

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)握緊把手時，隨著兩個把手之間的角逐漸變小，剪刀刃之間的角邊相應(yīng)變小。

教學(xué)分析：讓學(xué)生經(jīng)歷從剪刀剪紙抽象出兩條直線相交的過程，讓學(xué)生直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識及其現(xiàn)實背景，培養(yǎng)學(xué)生從實際情景中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的能力。

2.探究角的位置關(guān)系

問題1：任意兩條直線AB、CD相交于點O，說出形成幾個角（小于平角）？

老師畫圖2，學(xué)生易發(fā)現(xiàn)形成4個，老師在圖中標(biāo)出∠1、∠2、∠3、∠4.

問題2：這4個角每兩個組成一對， 一共能組成幾對？

學(xué)生易得到共6對，為∠1與∠2、∠1與∠3、∠1與∠4、∠2與∠3、∠2與∠4、∠3與∠4.

問題3：這6對角按照位置關(guān)系分類，可以分成哪幾類？

學(xué)生經(jīng)過獨立思考、合作交流后，把這6對角分成下表中兩類。

教學(xué)分析：調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生在試著分類過程中初步感受這些角的位置特點，并讓學(xué)生體會分類思想。

問題4：我們?yōu)槭裁催@樣分類，每一類角有什么樣的位置關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生首先以第一類中的∠1與∠2為例來研究。觀察它們的位置特點，感知它們的“相鄰”關(guān)系，按照組成角的兩個要素——頂點和邊的位置關(guān)系進(jìn)一步說出它們有公共頂點，有一條公共邊OC，它們的另一條邊OA與OB互為反向延長線。

追問：分類一中另外3對角是否也具有這種位置關(guān)系呢？

師生共同得出鄰補(bǔ)角的概念：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。

問題5：分類二中這2對角在位置上有什么共同的特點？

教師引導(dǎo)學(xué)生以∠1與∠3為例來研究，按照研究第一類角的方法，首先感知它們有“對頂”的位置關(guān)系，進(jìn)一步觀察它們的頂點和角的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們有公共頂點O，沒有公共邊，∠1的兩條邊分別是∠3的兩條邊的反向延長線。

追問：分類二中另一對角是否也具有這種位置關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的語言表達(dá)對頂角的概念：有一個公共頂點， 而且兩邊分別互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角。

問題6：鄰補(bǔ)角、對頂角有什么共同的特點？

學(xué)生易發(fā)現(xiàn)它們都是由兩條直線相交所成的角，都是成對出現(xiàn)的。

教學(xué)分析：讓學(xué)生首先直觀感受鄰補(bǔ)角、對頂角的位置關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生理性分析，從組成角的兩個要素分析它們的位置關(guān)系，最后歸納概括出鄰補(bǔ)角、對頂角的定義，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生形成科學(xué)的思考方法。

3.找一找

（1）找出圖3中的對頂角

（2）找出圖4中的鄰補(bǔ)角

教學(xué)分析：設(shè)計這組練習(xí)是為了讓學(xué)生辨析和掌握鄰補(bǔ)角、對頂角的概念，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，感受幾何直觀。

（三）合作探究，總結(jié)性質(zhì)

問題1：互為鄰補(bǔ)角的兩個角數(shù)量上有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生以∠1與∠2為例研究，由補(bǔ)角的定義易得到：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。

問題2：互為對頂角的兩個角數(shù)量上有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生以∠1與∠3為例來研究。教師首先引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察，然后合理猜測∠1=∠3，再然后使用量角器分別量出∠1與∠3的度數(shù)得后到∠1=∠3.

追問：能用說理的方法推出∠1=∠3嗎？

師生分析思考后，用數(shù)學(xué)符號展示：

因為∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），所以∠1=∠3（同角的補(bǔ)角相等）。

類似地有∠2=∠4. 總結(jié)概括后得到：

對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

教學(xué)分析：探究對頂角的性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、動手操作、推理論證的探究過程，體會分析問題和解決問題的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生講道理、有條理的思維習(xí)慣，滲透從特殊到一般的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素質(zhì)。

（四）一題多變，知識遷移

1.課本原例題

例1：如圖5，直線a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù).

師生共同分析后寫出規(guī)范的解題步驟。

2.課本例題變式一

如上圖，直線a、b相交，若∠1=m°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù).

3.課本例題變式二

如圖，直線a、b相交，若∠2是∠1的3倍，求∠3的度數(shù).

教學(xué)分析：首先應(yīng)用鄰補(bǔ)角和對頂角的性質(zhì)進(jìn)行計算，對本節(jié)課的重點知識進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化，同時培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言書寫過程的能力。其次通過一題多變，讓學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行遷移，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用能力的提高。

（五）學(xué)以致用，解決問題

1.判一判

（1）有公共頂點的兩個角是對頂角。（? ?）

（2）相等的兩個角是對頂角。（? ? ）

（3）若∠1+∠2=180°，則∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角。（? ?）

（4）兩條直線相交所成的四個角中，有公共定點且沒有公共邊的兩個角互為對頂角。（? ? ）

2.練一練

（1）如圖6，三條直線a、b、c相交于點O，則∠1+∠2+∠3=? ? ? ? ? ?.

（2）如圖8，直線a、b相交，若∠1∶∠2=2∶7 ，求∠3的度數(shù)。

3.想一想

如圖7，要測量兩堵圍墻所形成的角的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，你能幫助解決嗎？

教學(xué)分析：“判一判”是為了進(jìn)一步辨析對頂角和鄰補(bǔ)角的定義；“練一練”是對對頂角、鄰補(bǔ)角及前面知識的綜合應(yīng)用；“想一想”需要把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模的思想方法，這道題有不同的解決方案，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生的核心素質(zhì)。

（六）課堂小結(jié)，反思建構(gòu)

老師引導(dǎo)學(xué)生完成以下表格（表2），并回憶學(xué)習(xí)概念的一般過程：情景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用，研究過程中用到了由特殊到一般、數(shù)學(xué)建模等思想方法。

教學(xué)分析：老師引導(dǎo)學(xué)生梳理歸納本節(jié)課所學(xué)習(xí)內(nèi)容，符合“整體—局部—整體”的認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生歸納反思所學(xué)知識及思想方法，建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)。

三、教學(xué)思考

（一）章起始課要有整體觀

章起始課具有承前啟后、開山引路的作用。通過章起始課的教學(xué)，要讓學(xué)生對本章的內(nèi)容框架、知識特點有整體認(rèn)識，形成全局觀念和系統(tǒng)思維習(xí)慣，又要讓學(xué)生對后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法了然于胸，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的預(yù)見性和主動性，提高學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量。

單元整體教學(xué)正是遵循了“整體—局部—整體”的認(rèn)知規(guī)律，按照“總—分—總”的路徑開展教學(xué)。就是首先從整體入手，以單元起始課幫助學(xué)生形成對整個單元的整體認(rèn)知；然后在整體感知的基礎(chǔ)上，進(jìn)行分課時的探究學(xué)習(xí)；最后再回到整體，以單元復(fù)習(xí)課幫助學(xué)生形成更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生遷移應(yīng)用本單元所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題。本節(jié)課首先通過章頭圖、章引言這個“先行組織者”，從實際情景中抽象出相交線和平行線，然后引出本章內(nèi)容總的學(xué)習(xí)框架和學(xué)習(xí)目標(biāo)，最后過渡到相交線這一局部的學(xué)習(xí)任務(wù)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中“既能看到樹木，又能看到森林”，有助于學(xué)生對知識的理解和掌握。

（二）章起始課要有基本套路觀

人們認(rèn)識事物的過程有一定的規(guī)律和方法。每個研究數(shù)學(xué)對象內(nèi)部都存在著一定的邏輯關(guān)系，不同的研究對象之間也存在著很多共性和通性。章建躍博士曾指出，無論是代數(shù)教學(xué)還是幾何教學(xué)，都要重視基本套路的教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維習(xí)慣。立足單元整體視角下的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)基本套路教學(xué)的思想，引導(dǎo)學(xué)生了解一個知識的發(fā)生、發(fā)展過程，認(rèn)識它的呈現(xiàn)形式、結(jié)構(gòu)特點、發(fā)展方向等，感悟?qū)W習(xí)它的基本環(huán)節(jié)和一般步驟，形成知識學(xué)習(xí)的基本套路，從而將本節(jié)課獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、基本套路遷移到后續(xù)同類知識的學(xué)習(xí)中，達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率、發(fā)展核心素養(yǎng)的目的，而章起始課無疑是非常好的時機(jī)。

本節(jié)課在學(xué)習(xí)鄰補(bǔ)角的概念時，引導(dǎo)學(xué)生從組成角的兩個要素（一個頂點、兩條邊）上考慮，學(xué)習(xí)對頂角的概念時采用相同的思路進(jìn)行，感悟相似內(nèi)容研究套路的一致性。學(xué)習(xí)鄰補(bǔ)角、對頂角的一般路徑是：情景—概念—判定—性質(zhì)—應(yīng)用，其實后邊垂線、平行線、三角形、四邊形、函數(shù)等知識的研究也具有相同的套路。這種相對固定的研究套路是我們認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的有效方法，教學(xué)時要合理運用這些基本套路，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維的習(xí)慣。

（三）章起始課要有思想方法觀

數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)活動中解決問題的基本觀點和根本方法，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點，并在認(rèn)識活動中被反復(fù)運用，具有普遍的指導(dǎo)意義。章起始課作為一章的第一課，示范引領(lǐng)作用明顯，我們更應(yīng)該注重通過教學(xué)揭示知識的本質(zhì)，挖掘蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識中的規(guī)律和思想方法，提高學(xué)生對所學(xué)知識及所用方法的認(rèn)知水平，逐步提升學(xué)生自主思考的意識和能力。

本節(jié)課通過設(shè)置剪刀剪紙的情景，引出了兩條直線相交及所成四個角的內(nèi)容，體現(xiàn)了引導(dǎo)學(xué)生在真實情景中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的原則。在研究對頂角的性質(zhì)時，引導(dǎo)學(xué)生先后經(jīng)歷對兩個對頂角的大小進(jìn)行直觀觀察，對結(jié)論合理猜測，動手用量角器測量驗證，進(jìn)行演繹推理等環(huán)節(jié)，最后歸納得到“對頂角相等”這一結(jié)論，幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，感悟了分析問題和解決問題的一般方法。在練習(xí)測量兩堵墻形成的角度（不能進(jìn)入圍墻）一題時，引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生模型觀念和應(yīng)用意識。這些教學(xué)行為都蘊(yùn)含了研究數(shù)學(xué)的一般方法或思想，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要重視單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。單元整體視角下的章起始課的教學(xué)設(shè)計正是基于此理念的有益探索和嘗試。

參考文獻(xiàn)：

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