MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動試驗

馬益，賀旭東，陳懷海，鄭榮慧

南京航空航天大學(xué) 航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制全國重點實驗室，南京 210016

振動環(huán)境試驗是檢驗產(chǎn)品結(jié)構(gòu)可靠性的常用手段［1-3］。傳統(tǒng)的單輸入單輸出（Single-Input Single-Output，SISO）振動試驗技術(shù)在模擬動力學(xué)環(huán)境時存在諸多缺點，如局部應(yīng)力過大、推力不足等。相較于SISO 情形而言，多輸入多輸出（Multi-Input Multi-Output，MIMO）振動試驗技術(shù)考慮了各個控制通道之間的相關(guān)性［4］，能夠使得振動試驗的應(yīng)力分布更為合理［5］，并且還能為試驗提供更高量級的推力［6］。因此，MIMO 振動試驗技術(shù)越來越受到工程人員的關(guān)注。

目前，MIMO 隨機振動試驗主要集中于模擬寬帶隨機振動［7］，即根據(jù)試驗要求，控制點處的功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）分布于一個較寬的頻率范圍內(nèi)［8］，常見的功率譜采用多段式的包絡(luò)譜形式?？紤]到實際振動環(huán)境的復(fù)雜性，有時由于結(jié)構(gòu)（如槳葉、活塞、炮振等）產(chǎn)生的振動環(huán)境具有準(zhǔn)周期激勵特征，國軍標(biāo)［9］中推薦采用振源駐留振動的方式，即在寬帶隨機振動的背景上疊加高量級的窄帶隨機振動，該試驗方式即是窄帶加寬帶隨機振動。最新的美軍標(biāo)MILSTD-810H［10］中也對窄帶加寬帶（Random on Random，RoR）隨機振動有相關(guān)規(guī)定。

目前，針對窄帶加寬帶隨機振動試驗的研究較少，特別是在MIMO 振動試驗領(lǐng)域。張步云［11］結(jié)合時域隨機化技術(shù)，將窄帶與寬帶相結(jié)合作為振動控制目標(biāo)，實現(xiàn)了MIMO 窄帶加寬帶隨機振動試驗。但是該方法主要是基于高斯隨機振動，而結(jié)構(gòu)上的實測信號有時具有強的非高斯特征［12-14］，所以就工程意義而言，非高斯隨機振動更受關(guān)注，當(dāng)然實現(xiàn)的難度也更大。

Smallwood［15］利用零記憶非線性變換（Zero Memory Nonlinear Transform，ZMNL）方法將高斯信號轉(zhuǎn)換成了非高斯信號，該方法計算原理簡單，可以快速實現(xiàn)高斯隨機信號向非高斯隨機信號的轉(zhuǎn)化，但是由于其同時對信號的幅值和相位進行調(diào)整，對于功率譜動態(tài)范圍較大的隨機信號會使其變換前后功率譜發(fā)生變化［16］。Steinwolf［17-18］根據(jù)相位與峭度的關(guān)系，提出了相位調(diào)節(jié)法生成非高斯隨機信號，該方法僅對隨機相位部分進行調(diào)整，因此不會對信號的功率譜產(chǎn)生影響。在國內(nèi)，陳家焱［19］、吳家駒［20］、夏靜［21］、朱大鵬［22］等均對非高斯隨機振動進行了相關(guān)研究。

窄帶加寬帶非高斯隨機混合振動試驗中，由于窄帶隨機信號的能量在較窄的頻率范圍內(nèi)要遠大于寬帶隨機信號，所以常用的ZMNL 變換方法并不適用于RoR 非高斯隨機振動環(huán)境試驗。考慮到RoR 非高斯振動信號功率譜的動態(tài)范圍特征，采用相位調(diào)節(jié)法生成非高斯信號更為合適，但是相位調(diào)節(jié)法需要逐次修正相位，使得信號慢慢逼近參考峭度。另外，除了用峭度來描述非高斯隨機信號以外，常常還會考慮信號的偏度特征，所以如果同時考慮信號的偏度和峭度特征，必然降低了相位調(diào)節(jié)法生成非高斯隨機信號的效率。

本文提出一種MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動試驗方式。首先，根據(jù)信號的偏度、峭度與隨機相位的關(guān)系，提出了一種迭代修正的方法，使得信號的偏度和峭度可以快速逼近給定的偏度和峭度，提高相位調(diào)節(jié)法生成具有指定偏度和峭度非高斯隨機信號的效率。然后，根據(jù)MIMO 振動中輸入/輸出的關(guān)系，采用時域逆系統(tǒng)方法實現(xiàn)驅(qū)動信號的生成。其次，對響應(yīng)信號的PSD、偏度和峭度特性分別進行獨立控制。最后，通過三軸振動臺試驗驗證該方法的可行性。

1 基本理論

1.1 窄帶加寬帶信號特征

典型的窄帶加寬帶功率譜是在寬帶功率譜的基礎(chǔ)上疊加高量級的窄帶隨機信號，如圖1 所示其中，f1和f6分別為寬帶隨機信號的起始和終止頻率，f2和f5分別為寬帶隨機信號的拐點頻率，f3和f4分別為各窄帶隨機信號的中心頻率?？梢钥闯?，窄帶隨機信號的功率在中心頻率附近要遠遠高于寬帶隨機信號，所以窄帶加寬帶隨機信號功率譜的動態(tài)范圍較大。因此，為使非高斯變換前后信號的功率譜保持不變，對非高斯變換算法有較高的要求。

圖1 窄帶加寬帶隨機信號的功率譜Fig.1 PSD of narrowband on broadband random signal

1.2 相位調(diào)節(jié)法

功率譜密度可以用來描述平穩(wěn)隨機信號在頻域中的功率分布，由于功率譜僅與傅里葉譜的幅值有關(guān)，所以相位調(diào)節(jié)法不會影響信號的功率譜。假設(shè)某隨機信號的功率譜有N根譜線，則該隨機信號對應(yīng)的偏度S和峭度K可以寫為

式中：A為信號各譜線對應(yīng)的幅值，φ為隨機相位。

對于高斯隨機信號，相位角φ是均勻分布在［-π，π］內(nèi)，使得余弦函數(shù)值均勻分布在［-1，1］范圍內(nèi)，通過隨機值的相互補償，使得式（1）和式（2）中帶三角函數(shù)項的總和趨于0，從而呈現(xiàn)出高斯特征。對于非高斯隨機信號，通過調(diào)節(jié)φ的值可以使得余弦函數(shù)值的分布發(fā)生變化，以i+2j=k項為例，常用的方法可以通過調(diào)節(jié)多組相位角，使其滿足φi+2φj-φk=0，從而增大信號的峭度，直至其逼近給定的參考。另一方面，由于相位調(diào)節(jié)法僅使得隨機相位發(fā)生變化，信號的幅值不參與調(diào)節(jié)，所以不會改變隨機信號的功率譜，相較于ZMNL 變換，相位調(diào)節(jié)法在窄帶加寬帶非高斯隨機振動中更適用。

1.3 非高斯特征與隨機相位的關(guān)系

調(diào)節(jié)隨機相位角對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系，雖然可以使得峭度發(fā)生變化，但是這種調(diào)節(jié)方式必然是費時的。另外，偏度和峭度的調(diào)節(jié)還有可能會相互影響，因為兩者共用同一組隨機相位。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)式（1）和式（2）中所有的相位全部為零時，信號的偏度和峭度將達到最大Smax和Kmax，此時的最大值僅與功率譜的幅值大小有關(guān)。另一方面，既然隨機相位分布在［-π，π］內(nèi)，可以使得信號的偏度趨于0 且峭度趨于3，那么如果改變隨機相位的分布范圍肯定也能改變信號的偏度和峭度。

定義參數(shù)a和b（0＜a＜1， -1＜b＜1）來控制隨機相位的取值范圍，a控制取值寬度，b控制取值位置。所以，當(dāng)隨機相位的分布范圍變?yōu)椋?aπ+bπ，aπ+bπ］時，可以得出當(dāng)b為一定值時，信號的偏度、峭度與a的關(guān)系如圖2 所示?？梢钥闯?，當(dāng)b為一定值時，偏度和峭度與a成反比，即隨機相位取值區(qū)間的寬度會同時影響非高斯隨機信號的偏度和峭度，但是當(dāng)a增大到1 附近時，偏度趨于0 且峭度趨于3，這是因為隨機相位均勻分布在2π 的寬度范圍內(nèi)時會使得隨機信號呈現(xiàn)出高斯分布特征。另外，當(dāng)a為一定值時，信號的偏度、峭度與b的關(guān)系如圖3 所示。當(dāng)a為一定值時，偏度和峭度會隨著隨機相位的取值位置發(fā)生變化，并且偏度和峭度在-1＜b＜1 范圍內(nèi)呈現(xiàn)出對稱的特征。

圖2 偏度、峭度隨a 的變化關(guān)系（b=0.2）Fig.2 Variations of skewness and kurtosis with a for b=0.2

圖3 偏度、峭度隨b 的變化關(guān)系（a=0.2）Fig.3 Variations of skewness and kurtosis with b for a=0.2

既然a和b的變化可以同時帶來偏度和峭度的改變，因此本節(jié)提出采用調(diào)節(jié)參數(shù)a和b的方式迭代計算隨機相位，使非高斯隨機信號的偏度和峭度滿足參考值。

首先，令所有譜線的相位角為零，得到最大偏度Smax和最大峭度Kmax；然后反復(fù)迭代修正a和b的大小，最終使得偏度、峭度與參考偏度和峭度之差在給定的誤差范圍內(nèi)，迭代公式如下

式中：Sr和Kr分別為參考偏度和參考峭度，S和K分為本次迭代時生成的非高斯隨機信號的偏度和峭度。aold和anew以及bold和bnew分別為本次迭代和下一次迭代時采用的參數(shù)a和b。

采用本節(jié)提出的迭代方法生成偏度為0.2、峭度為6 的非高斯隨機信號的時域片段和功率譜密度如圖4 所示?？梢钥闯鲇捎趦H調(diào)節(jié)隨機相位的值，并不會改變信號的功率譜，所以相位調(diào)節(jié)法生成非高斯隨機信號的功率譜可以與參考譜貼合。而采用ZMNL 變換生成非高斯隨機信號的功率譜，受信號動態(tài)范圍的影響，使得變換以后功率譜發(fā)生了較大的變化，無法用于窄帶加寬帶的非高斯隨機信號生成。

圖4 迭代法生成窄帶加寬帶非高斯隨機信號Fig.4 Generation of RoR non-Gaussian random signal by iteration method

當(dāng)隨機相位全部為0 時（即a=0 且b=0），所得非高斯隨機信號的偏度和峭度最大，雖然此時生成信號的功率譜密度仍然滿足給定參考譜要求，但是時域信號更多表現(xiàn)以高量級的窄帶信號疊加高量級的沖擊信號為主，其他的寬帶隨機信號則近似于小量級的噪聲，即合成的信號發(fā)生了“畸變”，如圖5 所示。因此，為避免發(fā)生這種“畸變”現(xiàn)象，本文推薦偏度和峭度的取值范圍分別為

圖5 生成的非高斯隨機信號（ a = b = 0）Fig.5 Generated non-Gaussian random signal（ a = b = 0）

1.4 MIMO 驅(qū)動信號生成

MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動的目標(biāo)是使得控制點處的功率譜與給定的參考譜相匹配。考慮到多通道之間的耦合作用，本節(jié)提出采用時域逆系統(tǒng)方法來生成驅(qū)動信號。

對于n點激勵n點響應(yīng)（n≥2）的線性時不變系統(tǒng)，信號的參考譜在頻域中可以寫為

式中：ri（ii= 1，2，…，n）為第i個點的自功率譜，rij為第i個控制點和第j個控制點之間的互功率譜。

利用Cholesky 分解可以將R分解為下三角矩陣，即

式中：上標(biāo)“H”表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。

通過對分解以后的L矩陣添加隨機相位，再利用時域隨機化算法，可以生成同時滿足參考偏度、參考峭度、自功率譜和互功率譜的時域非高斯隨機信號（yt）。

以兩輸入兩輸出為例進行說明，針對多輸入多輸出情況可以以此類推。由于功率譜R缺少相位信息，時域隨機化算法需要為矩陣L添加隨機相位，即

式中：P為僅包含對角線元數(shù)的隨機相位矩陣，j2=-1。

利用1.3 節(jié)中所述方法調(diào)節(jié)Y（1，1）中隨機相位φ1的取值范圍可以得到第1 個輸出通道中的非高斯隨機信號。然后調(diào)節(jié)Y（2，2）中隨機相位φ2的取值范圍可以得到第2 個輸出通道中的非高斯隨機信號。同時還可以注意到φ1和φ2的調(diào)節(jié)是相互獨立的，也就是說Y（2，2）中隨機相位的調(diào)節(jié)不會影響Y（2，1）的取值，Y（2，1）的取值僅與Y（1，1）中的相位角有關(guān)，所以分別調(diào)節(jié)Y（1，1）和Y（2，2）中的隨機相位不會對最終各通道之間隨機信號的互譜產(chǎn)生影響，從而實現(xiàn)各個通道之間相位調(diào)節(jié)的解耦。

需注意的是，式（9）中的L和P中均有涉及相位。但是L中的相位表示的是2 個不同控制點之間的相位差，即互譜關(guān)系。P中的相位是因為功率譜R中的自譜缺少相位信息而添加的隨機相位。本文所提出的迭代相位調(diào)節(jié)法是針對隨機矩陣P進行調(diào)節(jié)，而生成非高斯隨機信號。由于矩陣P僅包含對角線元素，所以式（8）和式（9）仍然具有關(guān)系：

所以對矩陣P中相位的調(diào)節(jié)并不改變矩陣L中的相位，即不會對控制點之間的相位差產(chǎn)生影響。

對矩陣Y進行時域隨機化處理即可得到時域非高斯隨機信號y（t）。然后，以y（t）作為控制信號，將原問題轉(zhuǎn)換成求系統(tǒng)輸入的逆問題，因此驅(qū)動信號可以寫為

式中：d（t）為各通道的驅(qū)動信號；H為系統(tǒng)傳遞矩陣，可表示為

其中：h為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，可以通過頻響函數(shù)的逆傅里葉變換獲得［23］。

1.5 控制算法

為保證最終控制信號的功率譜、偏度和峭度滿足給定的參考值，還需要引入控制算法調(diào)整輸入信號分別對響應(yīng)的功率譜、偏度和峭度進行控制。

對功率譜的控制采用冪次控制算法，具體表示為

式中：ε為收斂因子。用L（m+1）代替式（9）中的L矩陣用來生成新的驅(qū)動信號d（t）。誤差矩陣Δ為

其中：Lr為參考譜矩陣R的Cholesky 分解的下三角矩陣；Ly為響應(yīng)信號功率譜矩陣Cholesky 分解的下三角矩陣。

對第i（i=1，2，…，n）個通道信號偏度和峭度的修正表示為

式中：ηs和ηk分別為偏度和峭度的收斂系數(shù)。上標(biāo)m+1 和m分別為第m+1 次和第m次迭代修正時對應(yīng)的值。誤差參數(shù)Δs和Δk為

其中：Sr和Sy分別為參考偏度和響應(yīng)的偏度；Kr和Ky分別為參考峭度和響應(yīng)的峭度。

MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動試驗的具體流程如圖6 所示。

圖6 MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動試驗流程圖Fig.6 Flow chart of control method for MIMO RoR non-Gaussian random vibration test

2 試 驗

為驗證提出的MIMO 窄帶加寬帶非高斯隨機振動試驗方法的工程可行性，采用三軸向振動臺進行試驗驗證。振動試驗系統(tǒng)如圖7 所示，控制點1 和2 處的加速度傳感器分別對應(yīng)振動臺臺面的x和y方向的加速度響應(yīng)，VXI 數(shù)采系統(tǒng)和計算機用于采集、發(fā)送和處理信號。試驗頻率范圍為20 ～2 000 Hz，譜線數(shù)400 線。自功率譜控制容差設(shè)置為±3 dB 報警限和±6 dB 停機限，互譜不設(shè)限。2 個控制點間的相干系數(shù)設(shè)為0.6，相位角設(shè)為60°?？刂泣c1 和2 的參考峭度分別為6和5，控制點1 的參考偏度設(shè)為0.2，控制點2 的參考偏度設(shè)為0。

圖7 振動試驗系統(tǒng)Fig.7 Vibration test system

未進行控制時，x和y方向的自功率譜、相干系數(shù)和相位如圖8 所示?？梢钥闯鑫纯刂茣r，x和y方向上的自功率譜均有超出±3 dB 報警限的譜線，因此還需要采用控制算法對其進行修正。

圖8 x 和y 方向未控制的自功率譜、相干系數(shù)和相位Fig.8 Uncontrolled PSD， coherence and phase at x and y directions

修正后x和y方向上的自功率譜、相干系數(shù)和相位如圖9 所示?？梢钥闯?，2 個方向上的自功率譜均控制在±3 dB 報警限內(nèi)，滿足給定的參考要求。相比未控制時的情況，信號高頻處的相干系數(shù)和相位也有所改善。

圖9 修正后x 和y 方向的自功率譜、相干系數(shù)和相位Fig.9 Controlled PSD， coherence and phase at x and y directions

2 個方向上的偏度和峭度控制如圖10 所示，可以看出信號的偏度和峭度經(jīng)過迭代修正以后被穩(wěn)定在了參考值附近。x和y方向上的時域加速度信號片段如圖11 所示，可以看出，時域信號呈現(xiàn)出明顯的非高斯特征。

圖10 x 和y 方向上的偏度和峭度控制Fig.10 Skewness and kurtosis control at x and y directions

圖11 x 和y 方向上的時域加速度響應(yīng)片段Fig.11 Segment of acceleration response at x and y directions in time domain

x和y方向上參數(shù)a和b的迭代取值如圖12所示。可以看出，當(dāng)非高斯隨機信號的偏度和峭度穩(wěn)定在參考值附近時，參數(shù)a和b的取值也隨之穩(wěn)定。

圖12 參數(shù)a 和b 的迭代過程Fig.12 Iteration process of parameters a and b

3 結(jié) 論

1） 非高斯信號的偏度和峭度與隨機相位的取值范圍和取值位置有關(guān)，采用本文提出的迭代相位調(diào)節(jié)法可以快速生成具有指定偏度和峭度的非高斯隨機信號，并且該方法生成的非高斯隨機信號不會對信號的功率譜產(chǎn)生影響。

2） 本文通過時域逆系統(tǒng)方法生成的驅(qū)動信號可以實現(xiàn)各個通道之間相位調(diào)節(jié)的解耦，各通道上隨機相位的調(diào)節(jié)不會相互影響，從而不會影響最終生成各通道之間非高斯隨機信號的相干系數(shù)和相位。

3） 通過三軸向振動臺試驗驗證了本文所提方法的理論可行性和工程有效性。該方法能同時實現(xiàn)對自功率譜、互功率譜、偏度和峭度的控制，可為工程應(yīng)用提供參考。