巧用換元法助力初中數(shù)學解題效率提升

摘 要：換元在解數(shù)學題中是不可或缺的一種手段，此篇文章將會仔細分析在因式分解、方程的解法等初中數(shù)學的解題過程中換元思想的使用方法和使用效益，進一步探索在初中數(shù)學的解題過程中換元思想帶來的便利.

關(guān)鍵詞：解題方法；換元思想；換元的應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）02-0025-03

當前的中考評價，已經(jīng)進一步確定了能力立意，這對日常的教學有著很強的指導(dǎo)作用.事實上絕大多數(shù)初中數(shù)學教師，已經(jīng)在這樣的引導(dǎo)下，開始關(guān)注學生的解題效率.對解題效率的理解，可以通俗地理解為在一定時間內(nèi)正確解答題目的速度.不可否認的一個事實是，由于能力立意的進一步確定，無論是在中考數(shù)學試卷上，還是在日常的數(shù)學考查過程中，都出現(xiàn)了一些能力要求較高的題目，這些題目成為名副其實的“拉分王”，要讓學生在面對這些題目的時候，有一個清晰的解題思路，只憑機械地重復(fù)訓練是遠遠不夠的，最有效的方法就是讓學生掌握數(shù)學思想方法，用這些思想方法來支撐起解題效率地提升.

在現(xiàn)代初中階段的數(shù)學教學過程中，“換元思想”是解數(shù)學題中最常使用的方法之一，也是最好用的方法之一，換元思想為解數(shù)學題提供了一種新的思路.換元就是使用一些與本題無關(guān)的元素，借此替代所給的數(shù)學題中一些原來的元素，也就是說想辦法讓學生用一個自己假設(shè)的全新的變量去代替原題目所給條件中的一些不集中的、較為分散的破碎信息.這樣，原本的不集中且很分散的破碎信息就轉(zhuǎn)變成了新的一個整體的變量，重新整合信息會使題目變得簡單且清晰明了，一個簡單的題目形式會有助于解題者發(fā)現(xiàn)題目所給的隱藏條件，這樣對于解題有很大的益處.數(shù)學對于學生來說是比較難的一個科目，它的邏輯性和思維性很強，它要求學生要有一定的邏輯思維能力和轉(zhuǎn)換問題思考的能力.所以，初中數(shù)學教師應(yīng)充分了解換元思想的重要性，積極使用換元思想進行教學，學生也應(yīng)積極學習換元思想，并多多應(yīng)用換元思想去解答相應(yīng)題目.

1 什么是換元？它的特點是什么？

在現(xiàn)代初中數(shù)學的解題教學過程中有許多種方法，但換元無疑是其中最好用的解題方法之一.換元在方法和應(yīng)用的層面上來說，化歸和轉(zhuǎn)化是換元法的最終目的，其中假設(shè)一個元素和原有的元素轉(zhuǎn)換是換元法的關(guān)鍵核心.相信在平常的解數(shù)學題的過程中，學生也遇到過這樣的問題，原題目信息不夠我們?nèi)ソ鉀Q這個問題，或者是原題目所給的信息十分分散，導(dǎo)致我們不能一眼就看出這些信息對我們解題有哪些幫助，進而在我們解題時就會無法進行深入分析和找準正確的思考方向，導(dǎo)致對這個題目束手無策，不知從何下手.這時，換元的思想就可以為我們解題帶來便利和好處，我們可以從換元的基本概念入手，聯(lián)系換元的數(shù)學解題理念，想辦法將原有題目中所給的“舊信息”給替換成自己定義的一個或者多個全新的“新信息”，這樣新形成的題目與原有的題目相比較，新題目的信息之間的聯(lián)系會更加緊密，有助于我們更好地整理出解題思路，解題也會比之前容易得多.換元法對于初中生來說，并不是一些學生所認為的那樣神秘晦澀和難以理解，只要能找準換元思想的核心突破點，那么解題就會事半功倍，“轉(zhuǎn)變”即是換元思想的核心和關(guān)鍵內(nèi)容，經(jīng)過合理的轉(zhuǎn)變，可以將復(fù)雜的問題簡單化處理，將原有題目中所給的不好利用的信息轉(zhuǎn)變成為有效的信息，使解題速度加快，解題方法更簡便.

從已有的教學經(jīng)驗來看，多數(shù)初中學生在初次接觸換元法的時候，都感覺到有一些不適應(yīng).所以，站在教師的角度去理解換元法，不能只看關(guān)于換元法的理論闡述，更要看學生的體驗感與獲得感.根據(jù)筆者調(diào)查研究，學生之所以對換元法有一些不適應(yīng)，很大程度上是因為換元法將學生原先已經(jīng)開始認真思考的、已經(jīng)相對熟悉了的“元”，變成了一個相對陌生的另一個“元”.這兩者之間的切換如果不順利，那么學生對換元法的理解就會出現(xiàn)困難.所以，要讓學生接受換元法這一數(shù)學思想方法，很關(guān)鍵的就是要讓學生認識到換元是有意義的，是能夠化解習題解答難度的，是不會影響最終的解題結(jié)果的.

學生要掌握的換元法，顯然不只是一個簡單的名稱，也不只是在某一個題目當中的運用，教師應(yīng)當站在幫助學生解決一類題目的基礎(chǔ)上，讓學生認識到在這一類題目里，換元法是可以得到運用的.可以說，只有當學生形成良好的換元直覺時，換元法才能真正入腦入心.

2 換元的思想在解題方面的應(yīng)用

站在學生的角度，無論是學生對換元法特點的認識，還是形成換元法運用的必要體驗，其最終的落腳點一定是在解題上.讓學生在解題的過程中認識換元法的特點，認識換元法運用的基本思路，無論是對教師來說，還是對學生來說，都是時間成本較低、理解和運用效果較好的方式.只不過在選擇題目的時候，要有一定要求.盡管換元法在初中諸多知識體系當中都有運用，但是在培養(yǎng)學生體驗換元法的時候，應(yīng)當選擇具有一定代表性的題目.在初中數(shù)學解題過程中，因式分解是十分常見的一種解題方法，并且在初中數(shù)學解題知識點的組成中，因式分解也占有很大的比重，由此可以看出，因式分解在初中生對數(shù)學知識點的掌握和培養(yǎng)方面起著無法替代的作用.下面就以初中二年級教材中的一個關(guān)于因式分解的題目為例，仔細解析在因式分解中換元思想的使用方法.

例 嘗試將下列題目進行因式分解：

上面所給的這兩個題目對于剛剛學習因式分解的初中學生來講是非常復(fù)雜的.因為例題中所給的這兩個題目在解題的元素和步驟方面都有一點復(fù)雜，而對于才學習因式分解的初中生來講，因式分解的基礎(chǔ)還不夠牢固，應(yīng)用還不夠熟練，因此，很難找準解題的關(guān)鍵點，要想一下子就解答出答案明顯是不可能的.特別是第（2）小題，包含了不止一個未知數(shù)，解題十分困難.不過，我們可以使用換元的方法來解答這兩個題目.我們可以用簡單的元素替代原有題目中所給的復(fù)雜的元素.以第（2）小題為例，原來題目中已經(jīng)含有x、y兩個元素了，后面又出現(xiàn)了

含有xy的項，這樣解題就更復(fù)雜了.這時，我們只需要利用預(yù)設(shè)簡單元素的方式代替xy，即令x+y=m，令xy=n，題目就從復(fù)雜轉(zhuǎn)變成簡單的式子，將原來含有多個項的多項式轉(zhuǎn)變成為簡單的二元式子，從內(nèi)部結(jié)構(gòu)上很大程度地進行了簡化，更有利于初中學生進行正確的因式分解.

通過以上分析可以看出，換元思想是在現(xiàn)代數(shù)學的教學過程中使用效果十分顯著的一個解題的新思路和新方法，適用于初中學生解決許多問題.換元的思想有利于培養(yǎng)初中學生的數(shù)學解題思維，提高數(shù)學解題能力，在強化初中學生的邏輯思維能力等方面也有顯著成就，其產(chǎn)生的影響是不可替代的.

筆者曾經(jīng)對學生學習使用換元法的過程進行了跟蹤研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只要學生在換元法運用的過程中有成就感，就能夠化解他們最初的那種不適的感覺.作為數(shù)學教師，應(yīng)當重視學生的這一心理變化，盡管看起來這與換元法沒有直接的關(guān)系，但是卻影響著學生對換元法的認同，影響著學生是否能夠從心理上順利建立起關(guān)于換元法的認識.大量的教學經(jīng)驗表明，數(shù)學教學必須重視學生的這些心理，因為只有幫助學生理順了心理認識，他們才能夠?qū)?shù)學思想方法打開心理接納的大門，才能夠真正去認識這些數(shù)學思想方法的意義與價值.只要做到這一點，那么包括換元法在內(nèi)的數(shù)學思想方法，就更容易在學生的思維當中扎根.

由此可見，在初中數(shù)學問題的教學過程中，初中數(shù)學教師應(yīng)當積極倡導(dǎo)使用換元的思想，教會初中學生學習和掌握換元法，并能夠熟練使用換元法進行解題，從真正意義上提高初中學生的數(shù)學解題水平和相應(yīng)的解決數(shù)學問題的能力.

參考文獻：

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［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-10-15

作者簡介：丁秀珍（1982.11-），女，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.