妙用數(shù)形結合　讓初中生數(shù)學解題思路更清晰

摘 要：要想巧妙運用有效的數(shù)學解題技巧，需要能夠深刻理解數(shù)學概念并能靈活運用數(shù)學知識.本課題的研究是基于數(shù)形結合視角，引導學生展開數(shù)學問題的解答，以使學生能夠在解題之中尋求技巧的運用之法，更好地將數(shù)學解題技巧靈活、巧妙運用.通過課題內容的分析，幫助學生構建清晰的數(shù)學解題思路.

關鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)形結合；思維；方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）02-0008-03

在眾多解題方法中，數(shù)形結合是數(shù)學常用的一種解題技巧，能夠給數(shù)學教學帶來很大的推進作用.初中數(shù)學知識中存在大量數(shù)與形的關系，利用數(shù)形結合思想，引導初中生展開對數(shù)學問題的解答，構建起問題中數(shù)與形的關系，是一個值得研究與探索的課題.本文主要是尋找數(shù)形結合思想的應用之法，從對數(shù)形結合思想的理解與分析，到解題技巧的應用注意點，再到數(shù)形結合的應用方法探索，一路展開課題分析，以做到對數(shù)形結合思想的有效探索，從而引導初中生形成良好的數(shù)形結合解題意識.

1 數(shù)形結合的概念及應用意義

1.1 數(shù)形結合概念

數(shù)學問題之中大多存在著“數(shù)”與“形”的關系，將二者聯(lián)系起來，突破單方面的思維探究，即是一次數(shù)與形的結合.在解題過程中以數(shù)促形、以形觀數(shù)，讓整個數(shù)學問題能夠迎刃而解，這就是數(shù)形結合思想.

1.2 數(shù)形結合思想應用意義

首先，將數(shù)形結合思想應用于數(shù)學問題的解答，可以構建起數(shù)與形之間的聯(lián)系，讓數(shù)學問題不再單單是解答一方面的關系，而是二者的思維融合與探討，使整個數(shù)學問題解答變得有趣味，有層次；其次，數(shù)形結合思想也能夠讓原本復雜的數(shù)量關系變得簡單，學生不用再去計算大量的數(shù)量關系，可以直接觀察由題目給出的圖形關系，結合具體的數(shù)量關系內容，展開問題的規(guī)律解答，大大降低了解題的錯誤率，同時解答的時間也能夠大大縮短，有利于數(shù)學問題解答質量的整體提升.

2 數(shù)形結合解題技巧的應用注意點

2.1 懂得從全局出發(fā)

學生要能從全局出發(fā)，學會觀察由數(shù)量之間的關系能構建出一個圖形關系，反之出現(xiàn)一個圖形關系，可以將其轉化為數(shù)量關系.教師要引導學生做好數(shù)量與圖形之間關系的思考與探索，搭建起一條彼此相互聯(lián)系的橋梁.

2.2 懂得從簡思維

運用數(shù)形結合思想解題是為了讓數(shù)學解題變得有邏輯、有技巧、有效率，是將一個數(shù)學問題由難到簡的過程，因此學生要有一個從簡思維，學會從問題中尋找簡便的解答方式.

2.3 懂得概念掌握

在解答一些復雜的方程問題時，如果學生沒有掌握好方程的概念，或不懂得從方程之中尋找到與之對應的函數(shù)關系，就無法將一個數(shù)量關系轉為圖形關系.因此，做好學生對數(shù)學概念知識的認識與理解尤為重要，是教師教學的重中之重.

3數(shù)形結合解題技巧應用于初中數(shù)學問題解答的方法

3.1 數(shù)形結合與初中數(shù)學函數(shù)解題

在數(shù)學學習中，多數(shù)學生都喜歡用數(shù)量關系來解答問題，導致計算時間過長，既耽誤解題的時間，也容易產生解題失誤.函數(shù)問題一直是初中數(shù)學的一個重要問題，鼓勵學生應用數(shù)形結合思想解答函數(shù)問題，是一種有效的初中數(shù)學解題教學.

學會應用數(shù)形結合思想解答初中函數(shù)問題，要先從初中數(shù)學問題之中獲取到函數(shù)中的數(shù)量關系.再由這些數(shù)量關系信息構建起函數(shù)的圖像，由函數(shù)圖像去破解問題之中的數(shù)量關系，從而將看似復雜的函數(shù)問題從簡解答.根據數(shù)與形構建起來的關系，從一個整體層面去解答函數(shù)問題，可以使學生不只去思考一個數(shù)字或者一個圖形的問題.

下面讓我們看一個初中數(shù)學函數(shù)問題：在平面直角坐標系中，分別過點A（m，0），B（m+2，0）作x軸的垂線l1和l2，探究直線l1，直線l2與雙曲線y=3/x的關系.請解答如下的問題：

（1）當m=1時，兩直線與雙曲線的交點到原點的距離是否相等？

（2）兩直線中總有一條與雙曲線相交嗎？

（3）當﹣2＜m＜0時，兩直線與雙曲線的交點在y軸兩側嗎？

（4）當兩直線與雙曲線都有交點時，兩交點的最短距離是否為2？

解題分析 根據題干中的信息條件，可以構建起數(shù)量與圖形間的關系.即看到了題目中的坐標信息及雙曲線，可以快速地從大腦之中檢索出反比例函數(shù)的圖象繪制方法，思考如何利用這些信息去構建圖形，同時，問題中提到的x軸的垂線l1和l2也是用于圖象繪制的條件，所以應先去構建一條數(shù)與形結合的解題思路，再去展開具體問題的解答.

解題過程 可知題中雙曲線可以看作是一個反比例函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，如圖1所示：

首先，思考到y(tǒng)軸是反比例函數(shù)圖象的漸近線，且題中兩條垂線之間的距離為2，就會得到一個結論：這兩條垂線必有一條與反比例函數(shù)圖像相交，從而可以得到第二個問題的答案.其次，根據條件，我們可以得到m=1時，ｌ1為x=1，ｌ2為x=3.此時兩直線與雙曲線的交點分別為M（1，3），N（3，1），利用勾股定理可得MO=NO，從而得第一個問題的答案.最后，根據題目給出的條件信息，可以得到當l2和y軸重合時，即m+2=0，此時m=-2，當l1和y軸重合時，即m=0，進而可知第三個問題是正確的.由此證明下去，分別畫出雙曲線和直線l1、l2有兩個交點的三種情況，可得MN>2，故第四個問題的結論是錯誤的.

解題反思 從本問題的解答過程可以看出，數(shù)形結合思想的應用會讓問題解決變得簡單且有效，有利于學生探究出其中的數(shù)學

規(guī)律，有助于提升學生的數(shù)學解題效率和質量.

3.2 數(shù)形結合與初中數(shù)學全等三角形判定學生要懂得去思考如何在一個復雜幾何圖形之中，將數(shù)量關系尋找出來，要能從問題之中構建圖形，再由圖形來分析出數(shù)量關系，從圖形中尋找到解答問題的突破口.

請看下面這道全等三角形判定問題：如圖2，已知D是AB的中點，∠ACB=90°，求證CD=12AB.

解題分析 根據題目中提供的各種信息，可以知道這是一個關于全等三角形判定的幾何問題.但若只是直觀地去看圖形，不會應用其中的數(shù)量關系去解答，解題也很困難.因此，教師要引導學生利用全等三角形的判定方法，去構建起以形助數(shù)的思路，將圖形之中的數(shù)量關系寫出來，以幫助獲得解題思路.

解題過程 先延長CD至P點，使D為CP中點，連接AP，BP.因為DP=DC，DA=DB，所以四邊形ACBP為平行四邊形，又因為∠ACB=90°，所以平行四邊形ACBP為矩形；∴CD=DP=1／2AB.

解題反思 從解題的過程可以看到圖形是存在的，但是學生必須學會利用圖形之中的條件信息，去構建起一個數(shù)學計算過程，才能有利于推進解題的開展與落實，有利于提升證明的效率和質量.解題過程中，很多學生能看到邊的數(shù)量信息，卻沒有真正看到數(shù)量與圖形之間的關系，不會利用數(shù)量與圖形的關系進行問題的解答，從而導致解答出來的內容無效或者錯誤，無法快速獲得問題的答案.所以，在反思這道問題的解決過程時，學生要懂得從圖形之間的邏輯結構之中探究其中的數(shù)量關系，這樣才能有效尋求出問題的答案.

3.3 數(shù)形結合與初中數(shù)學不等式解答

初中數(shù)學中的一些不等式問題，也可以利用數(shù)形結合思想，將不等式與圖形構建起聯(lián)系，將不等式問題轉化為圖形關系去解答，這樣的解題過程會很有趣，有利于學生尋找到更快、更高效的解題路徑.教師可以結合具體的不等式例題，引導學生學會去對照數(shù)形，探尋二者間相互滲透的方式，以提升解題的效率.學生要能從不等式概念知識之中尋找數(shù)與形的關系，學會利用概念去構建自己的大腦思維.在這個過程中，教師是引導者，要帶領學生去探索數(shù)與形的關系，體會思考問題的方式.

如下題所示內容：根據圖3，使不等式|x-4|+|x-3|

解題分析 先分析題中給出的不等式，可以知道|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上x所對應的點到與4、3所對應的兩點的距離之和，結合圖3可分析出其和的最小值為1，從而即可獲得a的取值范圍.

解題過程 先根據“|x-4|+|x-3|”提示的信息，在數(shù)軸上標注對應的點，由x對應的點到與4、3所對應的兩點距離之和大于等于1，可知a>1.

解題反思 學會利用數(shù)軸上的信息，構建起不等式與圖形之間的關系，將難度很大的問題轉化為簡單問題，是數(shù)形結合思想在解題中的有效體現(xiàn).

綜上所述，通過巧妙應用數(shù)形結合思想，學會將這個思想應用于多種數(shù)學問題解答之中，是能夠提升解題效率的途徑，有助于學生掌握到有效的解題技巧.

參考文獻：

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［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-10-15

作者簡介：黃漢財（1976.11-），男，福建省平和人，本科，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.