例析高中數(shù)學(xué)問題解決的引導(dǎo)策略

毛嘉欣

摘要：本文以課本例題、課外練習(xí)、高考真題為例，從問題情境、問題表征、模式識(shí)別、變式問題四個(gè)角度分析了高中生數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng)，通過例題的解析闡述解決數(shù)學(xué)問題的四種引導(dǎo)策略：理清問題，跳出情境；多元表征，探尋思路；識(shí)別模式，注重積累；變式問題，關(guān)注發(fā)展.

關(guān)鍵詞：問題解決；問題情境；問題表征；模式識(shí)別；變式問題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）15-0056-03

關(guān)于問題解決的理論國內(nèi)外一直有不少研究，如經(jīng)典的波利亞[1]解題理論、喻平[2]對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)識(shí)等.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，問題解決可以看成是一個(gè)過程性活動(dòng)，包含了問題情境、問題表征、問題提出、問題拓展等要素.隨著新課改的推進(jìn)，課堂教學(xué)越發(fā)重視對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題能力的培養(yǎng)[3].作為數(shù)學(xué)教師，不僅需要從分析問題情境、靈活表征問題、注重識(shí)別模式、拓展變式問題等角度培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，還需要在平時(shí)幫助學(xué)生積累一定的問題模式，厚積薄發(fā)，使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)更易產(chǎn)生新的思路.

1 理清問題，跳出情境

數(shù)學(xué)問題常與一定的情境聯(lián)系在一起，在提倡數(shù)學(xué)與生活、其他學(xué)科間聯(lián)系，提升學(xué)生解決實(shí)際問題能力的今天愈發(fā)突出[4]. 但是，已有研究表明，不少學(xué)生比較畏懼?jǐn)?shù)學(xué)閱讀理解題，覺得無從下手. 因此，解決這類問題的前提是理清問題，跳出情境[5]，具體來說即為梳理題意，簡化情境表達(dá)，將復(fù)雜文字表述轉(zhuǎn)化成與所求聯(lián)系密切、更易發(fā)現(xiàn)情境背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系或規(guī)律的結(jié)構(gòu)形式，以便后續(xù)進(jìn)行分析、推理和運(yùn)算. 在求解問題時(shí)，教師應(yīng)幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)閱讀能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)邊讀題，邊對(duì)情境中蘊(yùn)含的關(guān)鍵信息進(jìn)行分析、整理，以更好地將情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

例1為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班在入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后，由民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率為12，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是12，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率為23. 一條“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為pn.

（1）求p2；

（2）證明：pn-25為等比數(shù)列；

該題題設(shè)較長，初讀不易立即找出題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以在讀后調(diào)整好心態(tài)，再次閱讀、速覽甚至跳過介紹問題背景信息的冗長文字，找出并簡化處理包含數(shù)字的主要信息，理清思路. 就本題而言，可將“達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周”簡記為“5個(gè)→停1周，10個(gè)→停4周”；而對(duì)后續(xù)的一組概率，由于涉及相鄰兩次航班被熔斷的概率關(guān)系，可以以樹狀圖的形式將其表示出來（參考圖1），使問題的呈現(xiàn)方式更符合大腦的認(rèn)知加工模式以跳出情境.

結(jié)合上圖易得對(duì)于（1），第2次航班被熔斷的概率為條件概率，需分第1次航班是否被熔斷進(jìn)行思考，則有p2=12×12+12×13=512；對(duì)于（2），由于pn表示第n次航班被熔斷的概率，若將圖1轉(zhuǎn)化為更為簡潔的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，易得遞推公式pn=12pn-1+13（1-pn-1）n≥2，同時(shí)有p1=12，由此即將情境轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題. 推導(dǎo)易得pn-25pn-1-25=16n≥2，又∵p1-25=110，故數(shù)列pn-25是以110為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列.

2 多元表征，探尋思路

問題表征是指問題在學(xué)生腦中的呈現(xiàn)方式[6]，其表現(xiàn)形式包括系統(tǒng)間表征和系統(tǒng)內(nèi)表征：前者指在文字表征、圖形（表）表征、符號(hào)表征、操作性表征四種數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)間的表征轉(zhuǎn)換；后者包括變量替換、初等幾何變換、恒等變形、映射變換.表征方式的不同會(huì)影響學(xué)生對(duì)問題的理解，進(jìn)而影響解題思路的發(fā)現(xiàn)[7]. 在平時(shí)的課堂教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)不同的角度思考問題，轉(zhuǎn)變學(xué)生看待問題的角度，提高學(xué)生思維的靈活性、解決問題的能力與效率.

3 識(shí)別模式，注重積累

數(shù)學(xué)是一門研究模式的科學(xué).而模式識(shí)別作為一種解題策略，最早源于人工智能領(lǐng)域，具體內(nèi)涵是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，關(guān)聯(lián)、調(diào)用有關(guān)知識(shí)識(shí)別眼前模式以解決問題[8]. 它以問題表征為基礎(chǔ)，又是實(shí)現(xiàn)解題遷移的前提條件.在平時(shí)的教學(xué)中，教師不僅應(yīng)有意識(shí)地揭示自己的思維過程，教會(huì)學(xué)生觀察、分析問題以發(fā)現(xiàn)思路、識(shí)別模式，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“知其然知其所以然”到“何由以知其所以然”的轉(zhuǎn)變，也應(yīng)進(jìn)一步歸納總結(jié)、提煉模式，使學(xué)生在今后遇到復(fù)雜問題時(shí)能夠自主進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化，盡量往熟悉的思路、模式上靠攏，減少出現(xiàn)頭腦空白的狀況.

例3 （2022新高考Ⅱ卷22） 已知函數(shù)fx=xeax-ex.

（3）設(shè)n∈N*，證明：112+1+122+2+…+1n2+n>lnn+1.

不難發(fā)現(xiàn)要證不等式中，不等號(hào)的左邊是n項(xiàng)和的形式，右邊為1項(xiàng)，因此可以試著從兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化求解：一是通過消項(xiàng)求得左式的n項(xiàng)和，或?qū)ψ筮吀黜?xiàng)進(jìn)行放縮得到與右式有關(guān)又易于求和的形式；二是通過構(gòu)造，將右邊 1項(xiàng)拆成n項(xiàng)和的形式，繼而逐一與左邊的每一項(xiàng)進(jìn)行大小比較. 對(duì)于112+1+122+2+…+1n2+n，一時(shí)不易從頭腦中搜索到有關(guān)的求解模型，而對(duì)于lnn+1，常見拆分模式是將其轉(zhuǎn)化為lnn+1=lnn+1-lnn+lnn-lnn-1+…+ln2-ln1+ln1=lnn+1n+…+ln21=ln（1+1n）+ln（1+1n-1）+…+ln（1+11），此時(shí)，要證的命題就轉(zhuǎn)化為1n2+n>lnn+1n或1n2+n>ln（1+1n）. 這時(shí)，如果直接就這一形式構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，構(gòu)造出的函數(shù)似乎有些復(fù)雜.又注意到在后一個(gè)關(guān)系式中，右邊出現(xiàn)了1n，左邊也易于轉(zhuǎn)化為與1n有關(guān)的形式，因此可將要證的命題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為1n1+1n>ln（1+1n），進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g（t）=t1+t-ln（1+t）（t=1n）. 而為方便之后求導(dǎo)，可將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為g（t）=t+1-11+t-ln（1+t），并令x=1+t=1+1n以將其改寫為更易于求導(dǎo)的形式g（x）=x-1x-2lnx，此時(shí)只需通過求導(dǎo)證明g（x）>0（x∈（1，2］）恒成立即可證得原題.

4 變式問題，關(guān)注發(fā)展

題后拓展是問題解決的重要一環(huán)，在解決問題后通過改變部分條件提出新的問題，如求解逆命題、一般化后的命題等，可以讓學(xué)生在一系列的問題變式中意識(shí)到問題是多樣的，體會(huì)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，提高思維的靈活性，促進(jìn)知識(shí)的遷移，最終提高學(xué)生解決問題的能力，以在面對(duì)非常規(guī)的、需要進(jìn)行一定思維努力的問題時(shí)敢于嘗試，敢于類比、聯(lián)想，產(chǎn)生獨(dú)具個(gè)人風(fēng)格的思路.

例5 已知Sn是等比數(shù)列an中的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

該題是人教A版選擇性必修二《等比數(shù)列》中的一道習(xí)題，學(xué)生借助等比數(shù)列的概念及求和公式容易證得結(jié)論，教師在教學(xué)中可以進(jìn)一步設(shè)置如下變式問題以引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)等差與等比數(shù)列聯(lián)系的認(rèn)識(shí)：

變式1已知Sn是等比數(shù)列an中的前n項(xiàng)和，Sp，Sp+q，Sq成等差數(shù)列，求證：ap，ap+q，aq成等差數(shù)列.

結(jié)論：對(duì)于等比數(shù)列，在公比不為1的條件下，3項(xiàng)前n項(xiàng)和 （n最大的那項(xiàng)放中間，且n最大的那項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和） 成等差數(shù)列與對(duì)應(yīng)數(shù)列或各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)差一個(gè)常數(shù)情況下的對(duì)應(yīng)數(shù)列成等差數(shù)列等價(jià).

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［責(zé)任編輯：李璟］