借助建模思想優(yōu)化數(shù)學課堂

林金國

摘要：建模思想是運用數(shù)學知識解決實際問題的重要思想，對提升學生的學以致用能力以及數(shù)學建模核心素養(yǎng)有著積極促進作用.高中數(shù)學教學中，教師應(yīng)做好數(shù)學模型的歸納，采取措施將建模思維融入到教學的各個環(huán)節(jié)中，使學生在良好的氛圍中理解數(shù)學模型，掌握建模的步驟及細節(jié)，促進數(shù)學課堂教學效率的有效提升.

關(guān)鍵詞：建模思想；高中數(shù)學；課堂；優(yōu)化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0038-03

數(shù)學模型是從數(shù)學視角提煉有用信息，使用數(shù)學符號、公式，揭示現(xiàn)實情境的抽象化概括[1].構(gòu)建數(shù)學模型的目的在于更好地運用數(shù)學知識解決問題，給人們的生產(chǎn)生活提供指導.

1 指對函數(shù)模型下的教學

指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學基本初等函數(shù)的重要代表，是高中數(shù)學的重要函數(shù)類型，并在生活中的各個領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2].指數(shù)函數(shù)教學中，為使學生牢固掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識，具備構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題的意識與能力.

例1某企業(yè)為研發(fā)芯片技術(shù)，2020年投入研發(fā)資金200萬元，并計劃在以后7年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金均比上一年增長15%.若以2021年為第一年，則從哪一年開始每年投入的資金將超過400萬元？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg1.15≈0.061）

根據(jù)題干描述以2021年為第一年，則第一年投入的資金為200（1+15%）；

第二年投入的資金為200（1+15%）2；

……

則第x年投入的資金為可構(gòu)造函數(shù)模型：y=200（1+15%）x；（n∈N*，1≤x≤7），則由題意可得y＞400，即，200（1+15%）x＞400，整理得到：1.15x＞2，即，x＞lg2lg1.15≈0.3010.061≈4.93，則x≥5，即，從2025年開始每年投入的資金超過400萬元.

指對函數(shù)模型教學時，教師借助多媒體強大的圖像展示功能，指引學生自主學習，給其留下深刻印象，使其學習體驗得到明顯提升.

2 分段函數(shù)模型下的教學

分段函數(shù)是高中數(shù)學的重要函數(shù)之一，能很好地啟發(fā)學生采用分類思想分析問題.在教學中，教師應(yīng)通過列舉生活中常見的情境，使學生認識到分段函數(shù)的作用，把握分段函數(shù)的本質(zhì)，同時，為給學生提供鍛煉機會，使其認識并準確把握到構(gòu)建分段函數(shù)解決實際問題的關(guān)鍵.教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)趣味問題情境，通過給予學生指引或讓學生動手實踐，把握分段的關(guān)鍵，分析出對應(yīng)定義域下的函數(shù)解析式[3].

例2已知等腰直角三角形ABC的腰長為3，在腰AC上取一點F，向其外側(cè)作正方形FCDE，BCD處在同一水平線上依次排列.將正方形紙片向左平移a個單位（0＜a≤3），設(shè)兩個圖形重疊部分的面積為S.則當S=78時，求a的值.

根據(jù)題意需構(gòu)建S關(guān)于a的函數(shù)模型.因a取不同的值重疊的面積并不相同，因此，需按照0＜a≤1、1＜a≤2、2＜a≤3進行分類.當0＜a≤1時，正方形部分和三角形重合，此時，S=a；當1＜a≤2時，此時重合部分為正方形，S=1.當2＜a≤3時，由幾何知識可得S=1-12（a-2）2=-a22+2a-1，則構(gòu)建如下分段函數(shù)模型：

S=a，0＜a≤11，1＜a≤2-a22+2a-1，2＜a≤3

則當0

為增加分段函數(shù)模型構(gòu)建樂趣，教師結(jié)合學生實際情況創(chuàng)設(shè)趣味情境，降低學生模型構(gòu)建難度，使多數(shù)學生理解與掌握圖形運動過程，提高學生構(gòu)建分段函數(shù)正確率.

3 三角函數(shù)模型下的教學

三角函數(shù)模型是高中數(shù)學中較為特殊的一種模型.該種模型的構(gòu)建常?；谙嚓P(guān)幾何圖形且應(yīng)用到的知識點較多，主要有：正弦定理、余弦定理、線段與三角函數(shù)等.解答三角函數(shù)模型時要么借助三角函數(shù)的有界性，要么通過換元將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為其他類型的函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性得出答案.在教學實踐中，為確保高中數(shù)學課堂得到有效優(yōu)化，教師應(yīng)充分把握學生不輕易認輸?shù)男睦?，圍繞具體問題情境組織學生開展三角函數(shù)建模活動[4].同時，學生完成模型構(gòu)建以及解答后，教師讓學生代表講解自身的建模過程，展示建模結(jié)果.教師則根據(jù)學生的綜合表現(xiàn)，有針對性地進行評價，既看到學生代表的閃光點，又要指出其建模中的問題，并借此機會給其他學生帶來提醒，防止以后建模中出現(xiàn)同樣問題[5].

例3已知一直角走廊的寬分別為a，b，一直桿和內(nèi)側(cè)墻角接觸時，桿的兩端剛好和外側(cè)兩個垂直的墻壁接觸，直桿和寬a外側(cè)墻壁的夾角為θ.

（1）求直桿的長度L（用θ表示）；

（2）當a=b=2m時，求通過該直角走廊直桿長度的最大值.

根據(jù)題意結(jié)合平行線性質(zhì)以及三角函數(shù)知識，不難得到模型L=bsinθ+acosθ（0＜θ＜π2），a=b=2m時，y=2（sinθ+cosθsinθcosθ），要想滿足題意只需L≤y，如此便將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值問題.令t=sinθ+cosθ，（0＜θ＜π2），則t∈（1，2]，sinθcosθ=t2-12，則f（t）=2·2tt2-1=4·1t-1t，f（t）在1

4 數(shù)列模型下的教學

數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要地位，在生活中的諸多領(lǐng)域中都能看到數(shù)列模型的應(yīng)用.為更好地應(yīng)用數(shù)據(jù)模型，有針對性地鍛煉學生的數(shù)列模型構(gòu)建能力，教師應(yīng)與時俱進，既要注重借鑒以往成功的教學經(jīng)驗，又要注重新教學思路、教學工具的應(yīng)用[6].

例4某企業(yè)年初在一個項目投入2千萬元.研究得出每年獲得的利潤為投資的50%.同時，企業(yè)每年年底從利潤中取出500萬元進行科研，其余繼續(xù)投入該項目.設(shè)經(jīng)過n年后，該項目的資金為an萬元.若該項目資金達到翻一番，至少需經(jīng)過幾年？（參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3，lg3≈0.5）構(gòu)建數(shù)列模型：an=（1+50%）an-1-500n≥2，an=32an-1-500，整理化簡得到：an-1 000=32（an-1-1 000）n≥2，由題意可得a1=2 000（1+50%）-500=2 500，即數(shù)列{an-1 000}為首項為a1-1 000=1 500，公比為32的等比數(shù)列，整理即得遞推公式：an-1 000=1 500·（32）n-1，即，an=1 500·（32）n-1+1 000，當an≥4 000，得到（32）n-1≥2，兩邊取對數(shù)得到：（n-1）lg32≥lg2，即，n-1≥lg2lg3-lg2≈0.30.5-0.3=32，所以n≥2.5，由n∈N*，n≥3，即，至少經(jīng)過3年，該項目的資金達到翻一番.

5 概率模型下的教學

概率是高中數(shù)學的重點知識，不僅概念較多，而且包含較多公式，對學生的理解、記憶能力要求較高.運用概率知識解決問題時需首先基于對問題情境的理解，判斷其所學的概率類型，而后構(gòu)建對應(yīng)模型[7].

例5從4名男生和2名女生中，任選3人參加學校舉辦的詩歌朗誦比賽活動.

（1）設(shè)選取3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望；

（2）設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P（B）和P（B|A）；

解析

（1）因在備選的學生中女生人數(shù)只有2人，因此，ξ的所有可能取值為0，1，2，構(gòu)建概率模型求得：P（ξ=0）=C34C36=15；P（ξ=1）=C24C12C36=35，P（ξ=2）=C14C22C36=15；則隨機變量ξ的分布列為：

數(shù)學期望E（ξ）=0×15+1×35+2×15=1

（2）由題意可得P（B）=C25C11C36=12，P（A）=C25C11C36=12，P（AB）=C14C11C11C36=15，則P（B|A）=P（AB）P（A）=25；

綜上所述，建模思想是高中數(shù)學各類測試中?？妓枷?，教師應(yīng)做好建模思想講解，圍繞建模思想，結(jié)合不同數(shù)學模型特點，做好教學內(nèi)容以及各個環(huán)節(jié)的精心設(shè)計，引導學生歸納、動態(tài)模擬、相互比賽、改編習題，對數(shù)學建模能力有針對性地鍛煉，使其積累構(gòu)建不同數(shù)學模型的經(jīng)驗.

參考文獻：

［1］?程璞.數(shù)學建模思想在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用探析[J].數(shù)學之友，2022，36（11）：16-17.

[2] 劉娜娜.數(shù)學建模思想在高中數(shù)學概念教學中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（15）：26-28.

[3] 程金鎮(zhèn).在高中數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的策略[J].名師在線，2021（30）：54-55.

[4] 龐艷艷.數(shù)學建模思想在課堂教學中的應(yīng)用[J].安徽教育科研，2021（30）：41-42.

[5] 劉政美.核心素養(yǎng)導向下高中數(shù)學建模思想的培養(yǎng)[J].高考，2021（09）：67-68.

[6] 吳靜怡.數(shù)學建模思想在高中數(shù)學課堂教學中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學教學通訊，2020（18）：45-46.

[7] 許修花.淺談數(shù)學建模思想在高中數(shù)學教學中的滲透[J].高考，2020（14）：96.

［責任編輯：李璟］