一類二項指數(shù)和的四次冪均值

袁仁杰,王婷婷

(西北農(nóng)林科技大學 理學院,陜西 楊凌 712100)

設q是一個正整數(shù),m、n是任意整數(shù),則二項指數(shù)和定義為

其中:r>s>0是整數(shù);e(y)=e2πiy,i2=-1。

指數(shù)和的估計與許多數(shù)論問題密切相關(guān),如華林問題、素數(shù)分布問題等,在解析數(shù)論的發(fā)展中起著非常重要的作用。各種形式的指數(shù)和C(m,n,r,s;q)在不同參數(shù)下的高次均值計算問題也一直吸引了許多學者的興趣,近年來有許多這方面的研究。例如,Zhang H等[1]證明了當p為奇素數(shù)時,有恒等式

式中,n表示整數(shù)且滿足(n,p)=1。

Chen L等[3]研究了一種新的形式C(m,1,4,1;p)的四次均值,當p是奇素數(shù)時,得到了恒等式

和

事實上,對于常數(shù)α=α(p)也是有來源的。文獻[4]中的定理4-11表明,如果p是一個素數(shù)且p≡1 mod 4,則有

p=α2+β2=α(p)+β(p)。

-1。

近期工作中,Zhang W P等[5]對C(m,n,3,1;p) 的六次均值做了研究,證明了對任意的奇素數(shù)p和滿足 (n,p)=1 的整數(shù)n,有恒等式

其中:4p=d2+27·b2;d是由d≡1 mod 3唯一確定的。

此外,文獻[6-14]中也對二項指數(shù)和的諸多性質(zhì)進行了研究,此處不再贅述。

上述文獻中只對s=1情況下C(m,n,r,s;p)的均值問題做了一些研究,而對于s≥2的情況到目前為止還未看到相關(guān)研究。這是因為隨著s的增大,C(m,n,r,s;p)的均值計算難度會越來越大,對于原來的一些方法可能就不再適用?；诖?本文將嘗試考慮參數(shù)為r=4,s=2下,這種二項指數(shù)和的2k次冪均值的計算問題,即

(1)

其中,k≥2是一個整數(shù)。

當s=2時,如果a通過模p的簡化剩余系時,而a2不完全通過模p的簡化剩余系,那么,這部分內(nèi)容無法直接使用高斯和或者三角恒等式的性質(zhì)來研究。這無疑對C(m,1,4,2;p)的均值計算增加了難度,研究起來會很復雜。本文借助初等和解析方法,利用模p特征的正交和奇偶的性質(zhì)將問題進行轉(zhuǎn)化,再結(jié)合模p的特征和的性質(zhì)給出式(1)在k=2和p≡3 mod 4情況下的一個簡潔的計算公式,即定理1。

定理1令p≡3 mod 4是一個素數(shù)。則有恒等式

p·(7p2-14p-5)。

注1在定理1中,只考慮了p≡3 mod 4這種情況。如果p≡1 mod 4并且k=2時,此情況下的問題研究非常復雜,使用本文的方法無法對其進行研究,故對其確切的計算公式目前還無法給出。

對于素數(shù)p≡3 mod 4和整數(shù)k≥3的情況下,式(1)是否存在一個精確的計算公式?這是一個公開的問題,有待于進一步的研究。

1 若干引理

要證明定理1,需要用到以下5個引理。其中,引理的證明需要用到初等或者解析數(shù)論中的一些知識,詳見文獻[4,15-16],這里不再一一列舉。

引理1令p≡3 mod 4 是奇素數(shù)。若χ為任意模p的非實偶特性,那么有

若χ為模p的任意非實奇特征,那么有

式中,χ2表示模p的勒讓德符號。

證明利用模p的簡化剩余系以及經(jīng)典Gauss和的相關(guān)性質(zhì)將上述均值展開,得到

(2)

如果χ是任一模p的偶特征,那么χ(-1)=1。又χ2(-1)=-1,則有

(3)

如果χ是任一模p的奇特征,那么,χ(-1)=-1,則有

(4)

引理2令p≡3 mod 4 是一個素數(shù),則有恒等式

和

2(1+χ2(2))·p。

證明首先,利用三角和的性質(zhì),有

2p(p-1)-(p+1)=2p2-3p-1

(5)

以上過程中借助了恒等式

注意到τ2(χ2)=-p,類似地,又有

2(1+χ2(2))·p

(6)

由式(5)和式(6),引理2得證。

引理3令p≡3mod 4 是一個奇素數(shù),有恒等式

2(p-1)(p-3)

和

2(p-1)(p-3)。

證明根據(jù)模p特征的相關(guān)性質(zhì),則有

(7)

2(p-1)(p-3)

(8)

根據(jù)特征的性質(zhì),與式(7)類似的,又有

(9)

運用式(9),則有

(p-1)(p-3)-

(p-1)(p-3)-

2(p-1)(p-3)

(10)

那么,由式(8)和式(10),引理3得證。

引理4令p≡3 mod 4,有恒等式

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)。

證明設χ0為模p的主特征,根據(jù)引理1～3的結(jié)果,容易得到

(2p2-3p-1)2-

2p2(p-1)(p-3)+(2p2-3p-1)2-

p2(p-3)2=

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)。

引理4得證。

引理5令p≡3 mod 4,有恒等式

2p2(p-1)(p-3)。

證明結(jié)合引理 1～3的結(jié)果,可推出

4p2·(1+χ2(2))2=

2p2(p-1)(p-3)+

4p2·(1+χ2(2))2-

4p2·(1+χ2(2))2=

2p2(p-1)(p-3)。

引理5得證。

2 定理1的證明

首先,由模p特征的正交性,有

(11)

其次,由引理4和引理5,可以得到

(p-1)(5p3-9p2-7p-1)+

2p2(p-1)(p-3)=

(p-1)(7p3-15p2-7p-1)

(12)

最后,結(jié)合式(11)和式(12),得

7p3-15p2-7p-1

(13)

如果p≡3 mod 4,注意到恒等式

(p+1)2

(14)

由式(13)和式(14),可以推導出恒等式

7p3-14p2-5p

(15)

綜合以上結(jié)果,定理1得證。

3 結(jié)語

本文的主要研究成果是給出了二項指數(shù)和C(m,1,4,2;p)的四次冪均值,即對任意素數(shù)p滿足p≡3 mod 4,有恒等式

p·(7p2-14p-5)。

同時,也提出了幾個關(guān)于這類二項指數(shù)和的 2k次冪均值(k≥2)的有趣的公開問題。