半?yún)^(qū)間上 D.H.Lehmer問題余項的一種均值

劉曉瑩,徐哲峰

(西北大學 數(shù)論及其應用研究中心,陜西 西安 710127)

設q>2和a是兩個整數(shù),且(a,q)=1。對每一個滿足1≤b≤q的整數(shù)b,存在唯一的c滿足

對于q=p為奇素數(shù)和a=1,D.H.Lehmer建議研究Q(1,p)的值或者至少給出它的一些非平凡結(jié)論[1]。對D.H.Lehmer提出的問題,Zhang W P[2]證明了

Xu Z F等[4]研究了余項M(a,p)的一種均值,證明了下面的漸近公式

而如果非負整數(shù)s≠2,3,4,有

由此揭示了完整區(qū)間上D.H.Lehmer問題,即經(jīng)典D.H.Lehmer問題余項相消性隨參數(shù)s的不同有著非常顯著的變化。

與文獻[4]中關(guān)于完整區(qū)間上D.H.Lehmer問題余項類似,本文討論半?yún)^(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的一種均值,給出了定理1。

定理1設p≥3為素數(shù),則有漸近公式

對于非負整數(shù)s≠0,1,3,4,有

其中,Ο常數(shù)只依賴于任意小的正數(shù)ε,而Οε常數(shù)依賴于ε和s。

從定理1的結(jié)論來看,對于不同的參數(shù)s,半?yún)^(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的這種雙參數(shù)均值的主項各不相同,但均不為0。而文獻[4]中對于完整區(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的相同形式的均值僅在s=2,3,4時其主項不為0,s取其他非負整數(shù)時主項均為0。從這些結(jié)論可以看出,這兩種區(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的相消性有顯著的差異。

1 若干引理

為方便定理1的證明,本節(jié)先給出7個引理。

引理1設p為奇素數(shù),則對滿足(a,p)=1的任意正整數(shù)a,有

E(a,p)=

式中

證明過程可參考文獻[6]中的引理7.1。

引理2設p為素數(shù),m≥0為任意給定的整數(shù),則有

和

證明過程可參考文獻[6]中的引理4.3。

引理3設q>4為一個奇數(shù),χ為模q的原特征且滿足χ(-1)=-1。則有

證明過程可參考文獻[6]中的引理1.6。

引理4設q≥5為奇整數(shù),χ為模q的原特征且滿足χ(-1)=1,則下述等式成立。

式中,χ4表示模為4的原特征。

證明過程可參考文獻[6]中的引理1.4。

引理5設q和r是滿足q≥2和(r,q)=1的整數(shù),有如下性質(zhì)

和

證明過程可參考文獻[7]中的引理 3。

引理6設q>2為奇整數(shù),m≥0為一個給定的整數(shù),則對任意滿足Res>1的復變量s,有恒等式

證明過程可參考文獻[6]中的引理2.5。

引理7設q>2為奇整數(shù),χ為模q的特征,χ4表示模為4的原特征,則下述漸近公式成立。

特別地,當q=p為素數(shù)且k=2時,有

和

證明設τk(n)[8-10]表示k次除數(shù)函數(shù)(即方程n1,n2,…,nk=n的所有正整數(shù)解的個數(shù)),則對任意參數(shù)q≤N

M1+M2+M3+M4

(1)

分別估計式(1)中的每一項,利用引理5可得

則有

對前面3種情形,有估計式

及

結(jié)合引理6,可以得到

因為(q,2)=1,

所以有

Οs(qε)

(2)

類似地,可得

(3)

則從式(1)～(3)可以得到

(4)

結(jié)合估計[11]

由Cauchy不等式,可得

則有

類似地,有

引理7得證。

2 定理1的證明

首先,利用引理1～4,可得

(2+χ(2)-χ(4))2×

Ο(p)。

當s≥6時,

Ο(p)。

注意到

其次,利用引理2和引理7,則有

當s=3時,有

12χ(4)+4χ(8)]|L(1,χ)|4-

Ο(p)

和

類似地,當s=0,1,4時,可得

和

而當s=2,5時,可得

定理1證畢。

3 結(jié)語

本文主要研究了半?yún)^(qū)間上 D.H.Lehmer問題余項E(a,p)在不完整區(qū)間上的一種均值分布性質(zhì)。利用E(a,p)與Dirichlet L-函數(shù)的關(guān)系以及Dirichlet L-函數(shù)的一些均值性質(zhì),得到對于不同的參數(shù)s,半?yún)^(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的這種雙參數(shù)均值的主項各不相同,但均不為0,再結(jié)合文獻[4]中的結(jié)論可以看出,這兩種區(qū)間上D.H.Lehmer問題余項的相消性有顯著的差異。